2025版高考数学全程一轮复习学案第八章解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第八章解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系，共5页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(2)几何法：在同一平面直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1+k2|x1－x2|＝__________________＝1+1k2|y1－y2|＝________________．
【常用结论】
圆锥曲线中的中点弦的有关结论
设AB为圆锥曲线的弦，点M为弦AB的中点，O为坐标原点：
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”．( )
(2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．( )
(3)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C只有一个公共点”．( )
(4)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( )
2．(教材改编)直线y＝x＋1与椭圆x25+y24＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
3．(教材改编)直线y＝13x-72与双曲线x29－y2＝1的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4．(易错)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．(易错)已知直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于两个不同的点A，B，且AB的中点横坐标为2，则k的值为________．
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
必备知识
1 2 1 0
夯实基础
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：直线y＝x＋1过点(0，1)，将(0，1)代入x25+y24＝1得0＋14<1，即点(0，1)是椭圆x25+y24＝1内的点，
所以直线y＝x＋1与椭圆x25+y24＝1的位置关系是相交．
故选A.
答案：A
3．解析：由双曲线的方程x29－y2＝1可得双曲线的渐近线方程y＝±13x.y＝13(x－72)与直线y＝13x平行且直线y＝13(x－72)过定点(72，0)，在双曲线的内部，直线与双曲线只有一个交点．故选B.
答案：B
4．解析：∵点(0，1)在坐标轴y轴上，
∴很明显y轴是抛物线y2＝4x的切线，此时直线的斜率不存在，
当过点(0，1)作直线斜率存在时，设为k，直线方程为y＝kx＋1，
把y＝kx＋1代入抛物线方程y2＝4x得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，
当k＝0时，y＝1，此时直线与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，
当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，得k＝1，此时直线与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，
∴有三条直线与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，
综上所述，故选C.
答案：C
5．解析：∵直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x相交于不同的两点A，B，∴k≠0，
由y=kx-2，y2=8x，可得k2x2－4kx－8x＋4＝0，
∴x1＋x2＝4k+8k2，
由AB中点横坐标为2，
∴x1＋x2＝4k+8k2＝4，解得k＝－1或者k＝2，
检验，当k＝－1时，方程k2x2－4kx－8x＋4＝0只有一个解，即A，B两点重合，∴k≠－1，∴k＝2.
答案：2方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C的交点个数
a＝0
b＝0
无解
曲线C为双曲线，直线l为其渐近线
________
b≠0
有一解
对双曲线来说，直线l可能平行于渐近线；对抛物线来说，直线l可能与抛物线的对称轴平行或重合
________
a≠0
Δ>0
两个不相等的解
________
Δ＝0
两个相等的解
________
Δ<0
无解
________
标准方程
结论
x2a2+y2b2＝1(a>b>0)
kAB·kOM＝－b2a2
y2a2+x2b2＝1(a>b>0)
kAB·kOM＝－a2b2
x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)
kAB·kOM＝b2a2
y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)
kAB·kOM＝a2b2
y2＝2px(p≠0)
kAB＝py0(y0为M的纵坐标)
x2＝2py(p≠0)
kAB＝x0p(x0为M的横坐标)