浙江省丽水市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 要使在实数范围内有意义，x可以取的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数即可得出答案．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，
，
故选：D．
2. 用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个a的值可以是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的平方、有理数的大小比较法则解答即可．
【详解】解：当时，，，，
，
，
命题“若，则”是错误的，
故选：C．
3. 一个多边形内角和的度数不可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理．边形的内角和是，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答．
【详解】解：不能被整除，
故选：B．
4. 已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，先设，再把代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，且经过
∴设电流I与电阻R满足
把代入，
解得
∴该蓄电池的电压是
故选：A
5. 下列条件，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可.
【详解】解：A、由AB∥CD，AB＝CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；
B、由AB＝CD，BC＝AD可以判断四边形ABCD是平行四边形；
C、由∠A＝∠C，AD∥BC，可以推出∠B＝∠D，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD，∠A＝∠B不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
6. 若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将代入即可求出的值，再根据解答即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
∵，，，，
∴B选项符合题意．
故选：B．
7. 在直角坐标系中，点和点关于原点成中心对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．据此解答即可．
【详解】解：∵点和点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，
∴的值为．
故选：D．
8. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，由题意得出，求出的值，从而得出方程为，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得：，
∴方程为，
∴，
∴或，
解得：，，
∴方程的另一个根是，
故选：C．
9. 如图，一个转盘被分成4等分，每份内均标有数字，旋转这转盘5次，得到5个数字，经统计这列数的平均数为2，下列判断正确的是（ ）
A. 中位数一定是2B. 众数一定是2
C. 方差一定小于2D. 方差一定大于1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，根据中位数、众数、方差的定义判断即可得出答案．
【详解】解：当这列数为1，1，1，3，4时，平均数为，中位数为，众数为1，方差为，故A、B不符合题意；
当这列数为2，2，2，2，2时，平均数为，中位数为2，众数为2，方差为，故D不符合题意；
故选：C．
10. 如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接，等积法判断①和②，四边形的内角和为360度，结合菱形的对角相等，判断③，连接，过点作，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可．
【详解】解：菱形，
∴，
连接，
当P为中点时，则：，
∵于点E，于点F，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
，，
∴，
∴；故②正确；
∵于点E，于点F，
∴，
∴，
∵，
∴；故③正确；
连接，过点作，则垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
∵，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为，故④错误；
连接，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的最大值为；故⑤错误；
故选B．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】解：，
故答案：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12. 若方程经配方法转化成，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．利用完全平方公式把变形为一般式，从而得到的值．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
13. 如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 ____________________（用α的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，设与交于点，由作图可得：平分，垂直平分，从而得出，，由矩形的性质得出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，设与交于点，
由作图可得：平分，垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x=_____．
【答案】12或8
【解析】
【分析】先根据中位数和平均数的概念得到平均数等于 ，由题意得到=10或9，解出x即可．
【详解】∵这组数据的中位数和平均数相等，
∴=10或9，
解得：x=12或8，
故答案是：12或8．
【点睛】考查了中位数的概念：一组数据按从小到大排列，最中间那个数（或最中间两个数的平均数）就是这组数据的中位数．
15. 《九章算术》中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为 _____尺．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设尺，则尺，尺，再利用勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
设尺，则尺，尺，
则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴该问题中门宽为尺，
故答案为：．
16. 两个边长分别为，的正方形按如图两种方式放置，图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则大正方形的面积为_________（用m，n的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式．根据题意，用含，的代数式表示出和，进一步用和表示出即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，
，
所以，
则，
即大正方形的面积为．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18～20题每题8分，第21～23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17. 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【小问1详解】
解：，
，
，
即，；
【小问2详解】
解：，
，
则或，
解得，．
18. 如图，Px,y是平面直角坐标系中的一点．
（1）用二次根式表示线段的长．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，坐标两点的距离公式．
（1）由坐标两点距离公式求解即可；
（2）由坐标两点距离公式求解即可；
【小问1详解】
解：，，
，即段的长为；
【小问2详解】
解：若，，
则，
即的长为4．
19. 设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？
【答案】（1）
（2）估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人10人
【解析】
【分析】（1）根据每天生产的工艺品数量=每名工人每天生产的工艺品数量×工人人数进行求解即可；
（2）根据结合反比例函数的性质可求出的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得；
【小问2详解】
解：由题意得，
∴当时，；当时，，
∵，
∴函数值随自变量的增大而减小，
∴，
∴估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人10人．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意得到是解题的关键．
20. 下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表．
（1）依据样本估计该校八年级女生的平均身高．
（2）写出这10名女生身高的中位数和众数．
（3）请你依据这个样本，设计一个挑选40名女生组成方队的方案（要求选中女生的身高尽可能接近）．
【答案】（1）该校八年级女生的平均身高约为；
（2）中位数是，众数为
（3）由于平均数为，中位数为，众数为，所以可挑选161﹣162的女生参加，比较整齐
【解析】
【分析】本题考查了求平均数、中位数、众数、样本；
（1）平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数；
（2）根据中位数和众数的定义解答；
（3）根据中位数和众数的意义回答．
【小问1详解】
解：平均数，
所以该校八年级女生的平均身高约为；
【小问2详解】
解：162出现了3次，次数最多，所以众数为，
10个数据按从小到大的顺序排列后，第5、第6个数是161、162，
所以中位数是；
【小问3详解】
解：由于平均数为，中位数为，众数为，所以可挑选161﹣162的女生参加，比较整齐．
21. 如图，在中，，，将补成一个矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形的另一边上．
（1）请用三角板画出一个矩形的示意图．
（2）若，求出你所画矩形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握矩形的性质．
（1）利用三角板即可画出符合题意的矩形；
（2）作于，由含角的直角三角形的性质得出，再求出的面积，进而即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，矩形即所求：
【小问2详解】
解：作于，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22. 为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
【答案】问题1：29500元；问题2：元；问题3：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元．
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的相等关系．
问题1：根据题意原售价基础上减去500元即可；
问题2：原售价减去每台下降的部分即可得出答案；
问题3：根据总利润每台利润销售数量列方程求解即可．
【详解】解：问题1：当团购3台时，每台空调的团购价为（元）；
问题2：设团购数量增加台，表示每台空调的团购价为（元）；
问题3：根据题意，得：，
整理，得：，
解得（舍去），，
答：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元．
23. 已知反比例函数．
（1）若反比例函数的图象经过点，求的值．
（2）若点，在函数的图象上，比较，，的大小．
（3）反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析，反比例函数的性质，
（1）将点坐标代入求出即可；
（2）根据反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可；
（3）由反比例函数的性质可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程构成方程组，即可求解；
根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得：，
∴的值为；
【小问2详解】
∵中，
∴反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴，，，
∴；
【小问3详解】
证明：∵反比例函数，
∴该图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵，且，
∴的最大值为，最小值为，
∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，
∴，，
∴，
②－①，得：，
∴．
24. 如图，在中，点是边上一点，将沿折叠后，点的对应点为点．
（1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是菱形．
（2）如图2，当点恰好落在上，且时，求的值．
（3）如图3，当，，时，连接，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为2分、3分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当时，求的长．
②当时，求的长．
③当点恰好落在上时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）；；
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可得，，，结合平行线的性质得出，从而推出，即可得出结论；
（2）由“”证明得出，即可得解；
（3）①由等腰直角三角形的性质可得，由折叠的性质得出，，即可求解；②通过证明四边形为平行四边形，得出，由勾股定理得出的长，由平行线的性质和折叠的性质可证，即可得解；③由面积公式求得的长，的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形平行四边形，
∴，，，
∴，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：①如图，连接，设与交点，
∵，，，
∴，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，如图，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴设，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，．
∴由①知：，，
∴，
∴，
在中，，
由轴对称的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∵将沿折叠后，点的对应点为点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．身高（cm）
154
158
161
162
165
167
人数
1
2
2
3
1
1
素材1
某款中央空调每台进价20000元．
素材2
团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元．
规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决
问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价．
问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价．
问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．