2025版高考数学全程一轮复习学案第七章立体几何与空间向量高考大题研究课六向量法求空间角与距离

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第七章立体几何与空间向量高考大题研究课六向量法求空间角与距离，共5页。试卷主要包含了两条异面直线所成的角，故选A等内容，欢迎下载使用。

1.两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs 〈u，v〉|＝______＝________．
2．直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝________＝________．
3．平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝________＝________．
4．点P到直线l的距离
设AP＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝AP2-AQ2＝________．
5．点P到平面α的距离
若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝|AP·nn|＝________，如图所示．
【常用结论】
1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量u与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs 〈u，n〉|，不要误记为cs θ＝|cs 〈u，n〉|.
2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是[0，π2].
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．( )
(4)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．( )
2．(教材改编)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A．3010 B．12
C．3015 D．1510
3．(教材改编)已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量AF＝(0，12，0)，则点F到平面ABC的距离为________．
4．设M，N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________．
5．已知平面AB1C∥平面A1C1D，AD＝(－1，0，0)，平面A1C1D的一个法向量为m＝(1，1，1)，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为________．
向量法求空间角与距离
必备知识
1．u·vuv u·vuv
2．u·nun u·nun
3．(2) n1·n2n1n2 n1·n2n1n2
4．a2-a·u2
5．AP·nn
夯实基础
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2.
解析：建系如图，设BC＝CA＝CC1＝2，
则B(0，2，0)，D1 (1，1，2)，A(2，0，0)，F1 (1，0，2)，BD1＝(1，－1，2)，AF1＝(－1，0，2)，
故csBD1，AF1＝-1+46×5＝3010.故选A.
答案：A
3．解析：由题意，点F到平面ABC的距离为AF·nn＝0，12，0·1，2，16＝66.
答案：66
4.
解析：建系如图，设AB＝2，
则M(2，2，1)，N(1，2，2)，B(2，2，0)，A′(2，0，2)，C(0，2，0)，
则MN＝(－1，0，1)，BA'＝(0，－2，2)，BC＝(－2，0，0)．
设平面A′BCD′的法向量为n＝(x，y，z)，
故BA'·n=-2y+2z=0，BC·n=-2x=0，
令z＝1，则y＝1，x＝0，所以n＝(0，1，1)，
所以MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为|cs 〈MN，n〉|＝|12×2|＝12.
答案：12
5．解析：由题意得d＝AD·mm＝13＝33.
答案：33