2024-2025学年九年级数学上册专题21.1 一元二次方程【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

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\l "_Tc22281" 【题型1 辨别一元二次方程】 PAGEREF _Tc22281 \h 1
\l "_Tc30427" 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc30427 \h 3
\l "_Tc12392" 【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】 PAGEREF _Tc12392 \h 5
\l "_Tc15267" 【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】 PAGEREF _Tc15267 \h 6
\l "_Tc10614" 【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】 PAGEREF _Tc10614 \h 8
\l "_Tc19426" 【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】 PAGEREF _Tc19426 \h 10
\l "_Tc4514" 【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 PAGEREF _Tc4514 \h 11
\l "_Tc10057" 【题型8 根据实际问题列一元二次方程】 PAGEREF _Tc10057 \h 14
\l "_Tc10188" 【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】 PAGEREF _Tc10188 \h 15
\l "_Tc16203" 【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】 PAGEREF _Tc16203 \h 18
知识点1：一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【题型1 辨别一元二次方程】
【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y=1B．ax2+bx+c=0C．3x+1x=0D．x2−2=0
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选D．
【变式1-1】（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．1x2−1=0B．x=5x2C．ax2+x−6=0 D．x(x+1)=5x−1
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．1x2−1=0中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x=5x2，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．当a=0时，ax2+x−6=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．x(x+1)=5x−1是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x−2x−3=0B．x+3x=4
C．ax2+bx+c=0D．−3x2+2x3=1
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A. x−2x−3=0，整理可得x2−5x+6=0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B. x+3x=4，分母中含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意；
C. ax2+bx+c=0，仅当a≠0时，原方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. −3x2+2x3=1，最高次项的次数为3，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x=20，②2x2−3xy+4=0，③x2−1x=4，④x2=0．
A．①②B．①②④C．①③④D．①④
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．据此对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：①3x2+x=20是一元二次方程；
②2x2−3xy+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程；
③x2−1x=4不是整式方程，不是一元二次方程；
④x2=0是一元二次方程．
故选：D．
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程k−3xk−1+2k−3x+4=0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3B．3C．−3D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【详解】解：由关于x的方程(k−3)x|k|−1+(2k−3)x+4=0是一元二次方程，得
|k|−1=2且k−3≠0．
解得k=−3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【变式2-1】（23-24九年级下·河北保定·期末）关于x的方程xa2−7−3x−2=0是一元二次方程，则a= ．
【答案】±3
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
【详解】解：由题意得a2−7=2，
解得：a=±3，
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0a≠0．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式2-2】（23-24九年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程m+1xm2+1+5x−4=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．1B．−1C．0D．±1
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于m的方程和不等式，求解即可得到m的值．
【详解】解：∵关于x的方程m+1xm2+1+5x−4=0是一元二次方程，
∴ m+1≠0m2+1=2，
解得m=1．
故选：A．
【变式2-3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，则m= ．
【答案】4
【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则m−2=2，然后选出合适的值即可．
【详解】解：mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，
∴|m−2|=2，m≠0，
∴m=4或0，m≠0，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键．
【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）关于x的方程ax2−x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a>0 B．a≠0 C．a4x4①x