2024-2025学年九年级数学上册专题21.2 二次根式的乘除【八大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

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\l "_Tc17922" 【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 PAGEREF _Tc17922 \h 1
\l "_Tc12513" 【题型2 二次根式乘除法混合运算】 PAGEREF _Tc12513 \h 3
\l "_Tc17041" 【题型3 最简二次根式的辨别】 PAGEREF _Tc17041 \h 6
\l "_Tc1355" 【题型4 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc1355 \h 8
\l "_Tc18856" 【题型5 由最简二次根式的概念求值】 PAGEREF _Tc18856 \h 9
\l "_Tc15136" 【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】 PAGEREF _Tc15136 \h 10
\l "_Tc15998" 【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】 PAGEREF _Tc15998 \h 12
\l "_Tc12996" 【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】 PAGEREF _Tc12996 \h 14
知识点1：二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（23-24·四川绵阳·一模）若等式(x−1)(x+2)=x−1⋅x+2成立，则字母x应满足条件（ ）
A．x≥0B．x≥−2C．−2≤x≤1D．x≥1
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义可以得知x−1≥0，x+2≥0构成不等式组就可以求出其x的取值范围．
【详解】解：∵x−1+2=x−1⋅x+2，
∴x−1≥0x+2≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件及不等式组的解法，根据二次根式有意义的条件列出不等式组是解答关键．
【变式1-1】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）若xx−4=xx−4在实数范围内成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≥4C．0≤x4
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的除法法则，根据ab=ab(a≥0、b>0)直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵xx−4=xx−4，
∴x≥0，x−4>0，
解得：x>4，
故选：D．
【变式1-2】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）当x≤2时，下列等式一定成立的是（ ）
A．x−22=x−2B．x−32=x−3
C．x−2x−3=2−x⋅3−xD．3−x2−x=x−3x−2
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式和分式的有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：A．当x≤2时，x−2≤0，故x−22=−(x−2)，选项错误；
B．当x≤2时，x−30)
【答案】−43
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：2316a÷−23ab×164b
=8a3÷−23ab×b3
=8a3×−32ab×b3
=−43．
【变式2-3】（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)3220×−1348÷223；
(2)3a2b⋅b2a÷213b．
【答案】(1)−310
(2)328
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可；
（2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可．
【详解】（1）解：3220×−1348÷223
=32×25×−433÷263
=35×−433×326
=−35×433×326
=−35×433×326
=−310
（2）3a2b⋅b2a÷213b
=3a2b⋅b2a÷43b
=3a2b⋅b2a÷43b
=3a2b⋅b2a×3b4
=3a2b⋅b6a4a
=328
知识点2： 最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型3 最简二次根式的辨别】
【例3】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式13，48，x2+y2，0.5，3x2中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含开方开的尽的因式或因数，被开方数不含分母，进行判断即可．
【详解】解：在二次根式13，48，x2+y2，0.5，3x2中，只有x2+y2的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因式或因数，是最简二次根式；
故选A．
【变式3-1】（23-24九年级下·河南新乡·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．13B．12C．0.25D．5
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、13的被开方数中含有分母，不属于最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、12的被开方数中有开得尽的因数4，不属于最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、0.25=0.5是有理数，不属于最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、5属于最简二次根式，故此选项符合题意，
故选：D．
【变式3-2】（23-24九年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ．
【答案】答案不唯一，如2
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据二次根式的性质和最简二次根式的概念进行解答即可．
【详解】解：∵被开方数不大于5的最简二次根式，
∴可取2，答案不唯一．
故答案为：2．
【变式3-3】（23-24九年级上·上海青浦·期中）在a2−b2、x3、y5、8中最简二次根式是 ．
【答案】a2−b2
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可解答．
【详解】解：a2−b2是最简二次根式，符合题意；
x3=3x3，不是最简二次根式，不符合题意；
y5=5y5，不是最简二次根式，不符合题意；
8=22，不是最简二次根式，不符合题意；
综上：最简二次根式有a2−b2，
故答案为：a2−b2．
【题型4 化为最简二次根式】
【例4】（23-24九年级上·河南鹤壁·期中）将632化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．632B．1262C．9142D．3142
【答案】D
【分析】根据二次根式的化简方法即可得．
【详解】解：原式=63×22×2=7×9×22=3142，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．
【变式4-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）将 1.5化为最简二次根式为 ．
【答案】62/126
【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键．
最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可．
【详解】解：1.5=32=32=62，
故答案为：62．
【变式4-2】（23-24九年级下·河南新乡·阶段练习）若y>0，则二次根式 −81x3y3化为最简二次根式为 ．
【答案】−9xy−xy
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断x≤0，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵二次根式−81x3y3中−81x3y3≥0，y>0，
∴x≤0，
∴ −81x3y3=−92x2xy2y=9−xy−xy=−9xy−xy，
故答案为：−9xy−xy．
【变式4-3】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期末）当a0,∴x-y>0,xy>0,即xyx-y>0.
∴xyx-y=xyx-y2,
∴xyx-y·x2-2xy+y2xy=xyx-y2·x2-2xy+y2xy=xyx-y2·x2-2xy+y2xy=(xy)2(x-y)2·(x-y)2xy=xy;
(3) ∵0