2024-2025学年九年级数学上册专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版），共10页。

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\l "_Tc3683" 【题型1 直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc3683 \h 1
\l "_Tc22373" 【题型2 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc22373 \h 2
\l "_Tc21955" 【题型3 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc21955 \h 3
\l "_Tc26216" 【题型4 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc26216 \h 4
\l "_Tc2409" 【题型5 十字相乘法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc2409 \h 5
\l "_Tc30986" 【题型6 用适当方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc30986 \h 7
\l "_Tc23023" 【题型7 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc23023 \h 7
\l "_Tc15064" 【题型8 用换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc15064 \h 8
\l "_Tc5253" 【题型9 解含绝对值的一元二次方程】 PAGEREF _Tc5253 \h 8
\l "_Tc15542" 【题型10 配方法的应用】 PAGEREF _Tc15542 \h 9
知识点1：直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）将方程(2x－1)2=9的两边同时开平方，
得2x－1= ，
即2x－1＝ 或2x－1＝ ，
所以x1＝ ，x2＝ ．
【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2+9＝0B．－2x2=0C．x2－3=0D．(x－2)2=0
【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如果关于x的一元二次方程x−52=m−7可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ．
【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程xx+4=6．
解：原方程可变形，得：x+2−2x+2+2=6．x+22−22=6，x+22=10．直接开平方并整理，得．x1=−2+10，x2=−2−10．
我们称小明这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程x+5x+9=5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：x+a−bx+a+b=5．x+a2−b2=5，∴x+a2=5+b2．直接开平方并整理，得．x1=c，x2=d．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
(2)请用“平均数法”解方程：x−5x+7=12．
知识点2 配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用配方法解方程，补全解答过程．
3x2−52=12x．
解：两边同除以3，得______________________________．
移项，得x2−16x=56．
配方，得_________________________________，
即(x−112)2=121144．
两边开平方，得__________________，
即x−112=1112，或x−112=−1112．
所以x1=1，x2=−56．
【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）用配方法解方程x2−6x−1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．x−32=9B．x−32=10C．x+32=8D．x−32=8
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解方程：x2+2mx−m2=0．
【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x−8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
②请写出你认为正确的解答过程．
知识点3 公式法解一元二次方程
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 公式法解一元二次方程】
【例3】（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得x=−6±62−4×4×12×4，则该一元二次方程是 ．
【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用公式法解一元二次方程：x−23x−5=0．

解：方程化为3x2−11x+10=0．
a=3,b= ，c=10．
Δ=b2−4ac= −4×3×10=1>0．
方程 实数根．
x= = ，
即x1= ，x2=53．
【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）用公式法解方程−ax2+bx−c=0 (a≠0)，下列代入公式正确的是（ ）
A．x=−b±b2−4a×(−c)2×(−a)B．x=b±b2−4ac2a
C．x=b±b2−4a×(−c)2×(−a)D．x=−b±b2−4ac2a
【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用求根公式法解得某方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根互为相反数，则（ ）
A．b=0B．c=0C．b2−4ac=0D．b+c=0
知识点4 因式分解法解一元二次方程
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 因式分解法解一元二次方程】
【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）关于x的一元二次方程xx−2=2−x的根是（ ）
A．−1B．0C．1和2D．−1和2
【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程x2−3x=−2x+6的过程：
解：方程两边因式分解，得xx−3=−2x−3，①
方程两边同除以x−3，得x=−2，②
∴原方程的解为x=−2．③
(1)上面的运算过程第______步出现了错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2−2n，例如：2※3=22−2×3=−2．若x※5x=0，则方程的根为（ ）
A．都为10B．都为0C．0或10D．5或−5
【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程
（1）4y2=3y；
(2)(2x+3)(2x−3)−x(2x+3)=0．
【题型5 十字相乘法解一元二次方程】
【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x+c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2−11x−10=0按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）
A．(x−2)(6x+5)=0B．(2x+2)(3x−5)=0
C．(x−5)(6x+2)=0D．(2x−5)(3x+2)=0
【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）试用十字相乘法解下列方程
(1)x2+5x+4=0；
(2)x2+3x−10=0．
【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）解关于x的方程x2−7mx+12m2=0得（ ）
A．x1=−3m，x2=4mB．x1=3m，x2=4m
C．x1=−3m，x2=−4mD．x1=3m，x2=−4m
【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）阅读下面材料：
材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y
示例1：分解因式：x2+5xy+6y2
解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；
∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；
示例2：分解因式：x2−4xy−12y2．
解：如图3，其中1=1×1，−12=−6×2，而−4=1×2+1×(−6)；
∴x2−4xy−12y2=(x−6y)(x+2y)；
材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；

示例3：分解因式：x2−4xy+3y2−2x+8y−3．
解：如图5，其中1=1×1，3=(−1)×(−3)，−3=(−3)×1；
满足−4=1×(−3)+1×(−1)，−2=1×(−3)+1×1,8=(−3)×(−3)+(−1)×1；
∴x2−4xy+3y2−2x+8y−3=(x−y−3)(x−3y+1)
请根据上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：x2+3x+2= ；x2−5xy+6y2+x+2y−20= ；
（2）若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy−6y2−2x+my−120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy−6y2−2x+my−120=−1的整数解．
【题型6 用适当方法解一元二次方程】
【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)x2=4x；
(2)x−32−4=0；
(3)2x2−4x−5=0；
(4)x−1x+2=2x+2．
【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2+4x−2=0；
(2)xx+3=5x+15.
【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程
(1)3x2=54；
(2)x+13x−1=1；
(3)4x2x+1=32x+1；
(4)x2+6x=10．
【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用适当的方法解下列方程．
(1)(x+2)2−25=0；
(2)x2+4x−5=0；
(3)2x2−3x+1=0．
【题型7 用指定方法解一元二次方程】
【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：
(1)x2−4x−1=0（用配方法）
(2)3x2−11x=−9（用公式法）
(3)5x−32=x2−9（用因式分解法）
(4)2y2+4y=y+2（用适当的方法）
【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用指定的方法解方程：
(1)12x2−2x−5=0（用配方法）
(2)x2=8x+20（用公式法）
(3)x−32+4xx−3=0（用因式分解法）
(4)x+23x−1=10（用适当的方法）
【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）按指定的方法解下列方程：
(1)x2=8x+9（配方法）；
(2)2y2+7y+3=0（公式法）；
(3)x+22=3x+6（因式分解法）．
【题型8 用换元法解一元二次方程】
【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知a2+b2a2+b2+2−15=0，求a2+b2的值．
【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程x2+x2+2x2+2x−3=0，则x2+x的值是（ ）
A．−3B．1C．−3或1D．3或−1
【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）若a+5ba+5b+6=7，则a+5b= ．
【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）利用换元法解下列方程：
(1)2x4−3x2−2=0；
(2)(x2−x)2−5(x2−x)+4=0．
【题型9 解含绝对值的一元二次方程】
【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0解得x1=5,x2=−2（舍去）；
②当x