2024-2025学年九年级数学上册专题21.3 二次根式的加减【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（原卷版）

这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题21.3 二次根式的加减【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（原卷版），共10页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22604" 【题型1 同类二次根式】 PAGEREF _Tc22604 \h 1
\l "_Tc1557" 【题型2 分母有理化】 PAGEREF _Tc1557 \h 2
\l "_Tc6923" 【题型3 二次根式的加减】 PAGEREF _Tc6923 \h 3
\l "_Tc16039" 【题型4 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc16039 \h 3
\l "_Tc13322" 【题型5 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc13322 \h 4
\l "_Tc23598" 【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 PAGEREF _Tc23598 \h 4
\l "_Tc4100" 【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】 PAGEREF _Tc4100 \h 5
\l "_Tc24624" 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 PAGEREF _Tc24624 \h 5
\l "_Tc7000" 【题型9 二次根式中的新定义类问题】 PAGEREF _Tc7000 \h 7
\l "_Tc23244" 【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc23244 \h 8
知识点1：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.
【题型1 同类二次根式】
【例1】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A．136和32B．a和2a
C．12和13D．3和9
【变式1-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式2a−3与12是同类二次根式，则a= ．
【变式1-2】（23-24九年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与12合并的是（ ）
A．2B．8C．118D．0.2
【变式1-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式，求x2+y2的平方根．
知识点2：分母有理化
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型2 分母有理化】
【例2】（23-24九年级·河北衡水·期末）已知a=45−3，b=5+3，则a与b的关系是（ ）
A．互为相反数B．相等C．互为倒数D．互为负倒数
【变式2-1】（23-24九年级·上海·期末）计算：11−2+22= ．
【变式2-2】（23-24九年级·上海浦东新·期末）2a−1的一个有理化因式是（ ）
A．2a−1B．2a−1C．2a+1D．2a+1
【变式2-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．
11+2=2−1；12+3=3−2．
验证：11+2=2−12+12−1=2−12−1=2−1；
12+3=3−23+2(3−2)=3−23−2=3−2．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
13+4=_______，16+7=______；
(2)通过上述探究，猜想1n+n+1=______（n>0，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：11+2+12+3+13+4+…+12022+2023+12023+20241+2024
知识点3：二次根式的加减
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如
【题型3 二次根式的加减】
【例3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）计算
(1)3−27−81+(−2)2
(2)169+6−26+13
【变式3-1】（23-24九年级·山东聊城·期末）计算313−248+27结果为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）212−613+348= ．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）计算：a−ba−b−a+b−2aba−b．
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（23-24九年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a=23和b=32的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2=12，b2=18，则a25−2B．5−2>2+52>2+2
C．2+52>5−2>2+2D．5−2>2+2>2+52
【变式4-3】（23-24九年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：
12+1=2−12+12−1=2−1
13+2=3−23+23−2=3−2
14+3=4−34+34−3=4−3=2−3
(1)化简：19+8=______，191+90=______；
(2)利用上面的规律，比较13−12______14−13（填“>”或“0．
【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】
【例6】（23-24九年级·山东滨州·期中）先化简，再求值：x6−x+x+5x−5，其中x=43−613+312÷42．
【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）设x=2-12+1，y=2+12−1，求x2−3xy+y2值.
【变式6-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）若a=5+2，b=5−2，求：
(1)a2−b2；
(2)求a3b+ab3．
【变式6-3】（23-24九年级·河北衡水·阶段练习）已知x=2−3，y=2+3．
(1)求x+y和xy的值；
(2)求x2+y2−3xy的值；
(3)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．
【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】
【例7】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知：y＝x−4+4−x＋5，化简并求xx+xy−yy−xy的值．
【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）已知x+1x=3，求x2+1x2−19的值．
【变式7-2】（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）已知实数a、b满足aa−b=b3a+5b，求代数式a+2ab+3b2a+ab+b的值．
【变式7-3】（23-24九年级·山东威海·期中）已知a+b=−8，ab=12，求bba+aab的值．
【题型8 二次根式混合运算的实际应用】
【例8】（23-24九年级·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地ABCD，长BC为128米，宽AB为50米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为13+1米，宽为13−1米．
(1)求长方形绿地ABCD的周长；
(2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？
【变式8-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=2ℎg（不考虑风速的影响，g≈10m/s2，5≈2.236）

(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【变式8-2】（23-24九年级·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B．
(1)图①截出的正方形木板A的边长为_______dm，B的边长为_______dm；
(2)求图①中阴影部分的面积；
(3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【变式8-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【题型9 二次根式中的新定义类问题】
【例9】（23-24九年级·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算⊗如下：
a⊗b＝aba>0aban），则①m+n=______，mn= ______，
∴②mn+m+n+1=______，m+1n+1=______，
∴③m=______，n= ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去），
∴④8−215=______；
在得到a±2b的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如a±cb（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，c≠2）的式子的一般方法，通过思考，他发现当c=2k（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为a±2b就可以化简了．
(2)请你根据小聪的方法化简8−43=______．
接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如a±db（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将a±db看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即a±db=a±db1=2a±db2=4a±4db2，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了．
(3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想．
【变式10-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 x=2−3,y=2+3.求 x2+xy+y2的值．佳佳先将 x²+xy+y²利用完全平方公式转化为：x2+xy+y2=x+y2−xy
∵x=2−3,y=2+3
∴x+y=2−3+2+3=4，xy=2−32+3=1，∴原式=42−1=15.
(1)若 x=3−5,y=2+5,求： x2−6x+9y2−4y+4的值；
(2)若 x=7+2,y=7−2,求： x2+y2+2xy−3x−3y的值．
【变式10-2】（23-24九年级·江西吉安·期末）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【变式10-3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，∵a−b2=a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号，
例如：当a>0时，求a+4a的最小值．
解∵a>0∴a+4a≥2a⋅16a又∵2a⋅4a=4，∴a+4a≥4，即a=2时取等号．
∴a+4a的最小值为4．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当x>0时，当且仅当x=__________时，x+1x有最小值__________．
(2)当m>0时，求m2+5m+12m的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？