2024-2025学年九年级数学上册专题21.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

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\l "_Tc28968" 【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 PAGEREF _Tc28968 \h 1
\l "_Tc446" 【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】 PAGEREF _Tc446 \h 2
\l "_Tc23813" 【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】 PAGEREF _Tc23813 \h 2
\l "_Tc714" 【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 PAGEREF _Tc714 \h 2
\l "_Tc3745" 【题型5 由一元二次方程的两根求值】 PAGEREF _Tc3745 \h 3
\l "_Tc18392" 【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】 PAGEREF _Tc18392 \h 3
\l "_Tc18804" 【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】 PAGEREF _Tc18804 \h 3
\l "_Tc12938" 【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 PAGEREF _Tc12938 \h 4
\l "_Tc3190" 【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc3190 \h 4
\l "_Tc25174" 【题型10 一元二次方程中的新定义问题】 PAGEREF _Tc25174 \h 5
知识点1：一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
注意它的使用条件为，a≠0，Δ ≥0.
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（23-24九年级·黑龙江绥化·开学考试）已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根分别为m、n，则1m+1n= ．
【变式1-1】（23-24九年级·广西来宾·期中）若a，b是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则a−2b−2的值为 ．
【变式1-2】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）设方程2x2+3x+1=0的根为x1、x2，则x12+x22= ．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知 x1，x2 是方程 2x2+3x−7=0 的两个根，则 x13x2+x1x23 的值为（ ）
A．214B．−2598C．−638D．−1338
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】
【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）若关于x的方程3x−1x−2m=m−12x的两根之和与两根之积相等，则方程的根为 ．
【变式2-1】（23-24·山东济南·二模）若关于x的一元二次方程x2+mx−6=0有一个根为x=2，则该方程的另一个根为x= ．
【变式2-2】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m与2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=c(a≠0)的一根为2，则另一根为 ．
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】
【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，则代数式m2−4m−2n+2023的值为（ ）
A．2022B．2023C．4039D．4040
【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设x1、x2是方程x2−3x−2020=0的两个根，则x12−2x1+x2= ．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设α，β是x2+x+18=0的两个实数根，则α2+3α+2β的值是 ．
【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知a，b是方程x2−5x+7=0的两个根，则a2−4a+b−3= ．
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，则代数式1a2+1+1b2+1的值是（ ）
A．3B．1C．−3D．−1
【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知m,n是方程x2+x−3=0的两个实数根，则m3−3m+n+2024的值是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知x1,x2是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式x13−2024x1+x22的值为（ ）
A．4049B．4048C．2024D．1
【变式4-3】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）已知：m、n是方程x2+3x−1=0的两根，则m3−5m+5n= ．
【题型5 由一元二次方程的两根求值】
【例5】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m与2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=−2，x2=3，则b+c的值是（ ）
A．-10B．-7C．-14D．-2
【变式5-2】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ．
【变式5-3】（23-24九年级·四川广安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+12k2﹣2＝0．设x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，则k的值为 ．
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】
【例6】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知s满足2s2−3s−1=0，t满足2t2−3t−1=0，且s≠t，则s+t= ．
【变式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若两个不同的实数m、n满足m2=m+1，n2−n=1，则m2+n2= ．
【变式6-2】（23-24九年级·全国·竞赛）已知实数a、b分别满足a=16a2+13和12b2=3b−1，那么ba+ab的值是 ．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）若a4−3a2=1，b2−3b=1，且a2b≠1，则ba2的值是 ．
【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为m，则方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0的两根分别是（ ）．
A．m+1，−m−1B．m+1，−m+1
C．m+1，m+2 D．m−1 ，−m+1
【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，则a+b+c的值是 ．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．
【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数B．(p−2)2+(q−2)2＜8
C．q是正数，p是负数D．(p−2)2+(q−2)2>8
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】
【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+(2m−1)x+m2+3=0的根，则m等于( )
A．−3B．5C．5或−3D．−5或3
【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程x2−11x+30=0的两个根，则该三角形第三边m的取值范围是 ．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形ABCD的两邻边AB，AD的长度恰为方程x2−mx+1=0的两个实数根，则正方形ABCD的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有两个实根x1和x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在矩形，x1和x2是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为2？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】
【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程4x2−5x−m+5=0的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是 ．
【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·阶段练习）若关于x的方程x2+px+q=0的两根同为负数，其中p2−4q≥0，则（ ）
A．p>0且q>0B．p>0且q<0C．p<0且q>0D．p<0且q<0
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+1−2m=0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>0B．m>12C．m<12D．m<0
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】
【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0a≠0的两个实数根，若满足x1−x2=x1⋅x2，则称此类方程为“差积方程”．例如：x−12x−1=0是差积方程．
(1)判断方程6x2−5x+1=0是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程x2−m+2x+2m=0是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(ax²+bx+c=0a≠0为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【变式10-1】（23-24九年级·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 x2+x=0是“差1方程”． 已知关于 x的方程 x2−m−1x−m=0（m是常数）是“差1方程”，则 m的值为
【变式10-2】（23-24九年级·四川·阶段练习）已知对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算：a@b=aba+b，如6@15=6×156+15=31021=107，已知m，n是一元二次方程x2−21x+7=0的两个不相等的实数根，则[(m+n)@mn]@3= ．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x1请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程x2+k+9x+k2+8=0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2=−121，求k的值．