2024-2025学年九年级数学上册专题21.5 实际问题与一元二次方程【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

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\l "_Tc29334" 【题型1 数字问题】 PAGEREF _Tc29334 \h 1
\l "_Tc16094" 【题型2 增长率问题】 PAGEREF _Tc16094 \h 3
\l "_Tc3025" 【题型3 利润问题】 PAGEREF _Tc3025 \h 6
\l "_Tc17604" 【题型4 图形的面积问题】 PAGEREF _Tc17604 \h 9
\l "_Tc23283" 【题型5 传播问题】 PAGEREF _Tc23283 \h 12
\l "_Tc13310" 【题型6 工程问题】 PAGEREF _Tc13310 \h 15
\l "_Tc31237" 【题型7 行程问题】 PAGEREF _Tc31237 \h 18
\l "_Tc2217" 【题型8 图表信息问题】 PAGEREF _Tc2217 \h 22
\l "_Tc32255" 【题型9 古文问题】 PAGEREF _Tc32255 \h 26
\l "_Tc12266" 【题型10 动点问题】 PAGEREF _Tc12266 \h 29
知识点1：解一元二次方程的一般步骤
（1）审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关系。
（2）设：就是指设元，也就就是设出未知数。
（3）列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。
（4）解：就就是解方程，求出未知数得值。
（5）验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6）答：写出答案。
【题型1 数字问题】
方法总结：三个连续整数：若设中间得一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
三个连续偶数（奇数）：若中间得一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2.
三位数得表示方法：设百位、十位、个位上得数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c.
【例1】（23-24九年级·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ．
【答案】10x+(x+3)=(x+3)2
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键．
根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可．
【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则个位数上的数字是x+3，
由题意可得：10x+(x+3)=(x+3)2．
故答案为：10x+(x+3)=(x+3)2．
【变式1-1】（23-24九年级·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ．
【答案】56
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设较小的一个数为x，则另外一个数为(x+1)，根据两个数的平方和是113，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设较小的一个数为x，则另外一个数为(x+1)，
依题意，得：x2+(x+1)2=113，
整理，得：x2+x−56=0，
解得：x1=7，x2=−8（舍去），
∴x+1=8
∴这两个数的积为7×8=56，
故答案为：56．
【变式1-2】（23-24九年级·江苏·期中）已知3个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且n=732m+3，求这3个连续整数．
【答案】这3个连续整数为4，5，6
【分析】本题考查有理数的加法和二元一次方程的应用，根据题意列出方程再进行计算即可．
【详解】设这3个连续整数为x，x+1，x+2，
由题意可得，x+x+1+x+2=3x+3=m，
x2+(x+1)2+(x+2)2=3x2+6x+5=n，
又知n=73(2m+3)，
即3x2+6x+5=73(6x+9)，
解得x=4或−43（舍去），
故x=4，
x+1=5，x+2=6．
故这3个连续整数为4，5，6．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【答案】257
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是x，则十位数字是x+3，个位数字是2x+3．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程．
【详解】解：设该三位数的百位数字是x(x为正整数），则十位数字是x+3，个位数字是2x+3．则：
100x+10x+3+2x+3=52x+32+12，
整理，得：5x2−13x+6=0，
所以x−25x−3=0．
所以x−2=0或5x−3=0，
解得，x=2或x=35（舍去），
则x+3=5，2x+3=7，
则该三位数是257．
答：这个数是257．
【题型2 增长率问题】
方法总结：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次得增长或降低后得等量关系为a（1±x）²=b.
【例2】（23-24九年级·安徽安庆·期中）为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为a万元，2023年的绿化投资额为2.25a万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（ ）
A．30%B．40%C．50%D．60%
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，利用2023年该市的绿化投资额=2021年该市的绿化投资×（1+额这两年该市绿化投资额的年平均增长率），可得出关于x的一元二次方程求解，取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，
根据题意得：a1+x2=2.25a，
1+x2=2.25，解得：x1=0.5，x2=−2.5（不符合题意，舍去），
∵ 0.5=50%，
∴这两年该市绿化投资额的年平均增长率为50%．
故选：C．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏镇江·期中）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程 ．
【答案】251−x2=16
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降价的百分率为x，根据经过两次降价后的价格=原价×（1−每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：251−x2=16，
故答案为：251−x2=16．
【变式2-2】（23-24九年级·四川绵阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 ．
【答案】50%
【分析】本题主要考查二次函数中的增长率问题，注意题目中的要求是到第三个月末累计进馆608人次，求和的方式觉得方程的结构，不要受思维定势，列错方程是解决问题的关键．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，
则由题意得：128+128(1+x)+128(1+x)2=608
化简得：4x2+12x−7=0
∴(2x−1)(2x+7)=0；
∴x1=0.5=50%或x1=−3.5（舍）；
答：进馆人次的月平均增长率为50%；
故答案为：50%．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
(3)该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润．
【答案】(1)4800元
(2)60元
(3)20235元
【分析】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建列方程是关键．
（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
（3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到8000元．
【详解】（1）解：由题意，得60(360−280)
=4800元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）解：设每件商品应降价x元，由题意，得(360−x−280)(5x+60)=7200，
化简为x2−68x+480=0
解得x1=8，x2=60，
∵要更有利于减少库存，
∴x=60.
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元
（3）解：由题意，得60+60(1+x)+60(1+x)2=285
化简为(x+32)2=4
解得x1 = 12 , x2 = −72（舍）
∴1月60件，每件利润80元；2月90件，每件利润74元；3月135件，每件利润65元
60×80+90×74+135×65=20235
∴总利润为20235元．
【题型3 利润问题】
方法总结：利润问题常用得相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率.
【例3】（23-24九年级·山东菏泽·期中）某旅游景点的门票价格是20元/人，每天接待游客500人，已知该景点每天要支出100元卫生费，每售出一张门票要上缴10元其它费用．
(1)景点每天获利润多少元？
(2)进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，每天接待游客人数就会减少50人．当门票价格为多少时，可获利润8900元？
【答案】(1)景点每天获利润4900元
(2)门票价格为40元时，可获利润8900元
【分析】本题主要考查有理数四则运算的应用以及一元二次方程的应用：
（1）根据“总利润=总收入-总支出”列式计算即可；
（2）根据“总利润=总收入-总支出”列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：利润=20−10×500−100
=10×500−100
=5000−100
=4900（元）
答：景点每天获利润4900元
（2）解：设门票价格为x元时，可获利润8900元，根据题意得，
x−10×500−x−205×50−100=8900
解得，x1=x2=40，
答：门票价格为40元时，可获利润8900元
【变式3-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出320−10a件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元B．24元C．26元D．28元
【答案】A
【分析】根据利润和售价建立一元二次方程组，得到a2−50a+616=0，解方程组得到售价，最后对售价的合理性进行判断即可得到最终的答案．
【详解】设商店的获利为x元，
得x=320−10aa−18，
当x=400时，320−10aa−18=400，
得a2−50a+616=0，
a−22a−28=0，
解方程得a=22元或a=28元，
当a=28元，28−1818>25%，
∴a=28元舍去，
∴a=22元，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识．
【变式3-2】（23-24九年级·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件80元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数y=30−0.2x，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的30%．若商店计划每周销售该头盔获利200元，则每件头盔的售价应为 元．
【答案】100
【分析】根据题意，列方程表示每周利润x−80y=200，代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
x−80y=200，
即x−8030−0.2x=200，
解得，x1=100，x2=130，
∵每件头盔的利润不能超过进价的30%，
∴每件头盔的售价不能超过80×1+30%=104元，
所以x=130舍去，
所以售价应为100元，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）根据以下素材，解决生活问题
【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天可多售出5箱．
【问题解决】
思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元．
思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加12%，又要让顾客实现最优惠，问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？
思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？
【答案】思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用：
思考1：售价与进价之差为每箱利润，乘以销量即为总利润；
思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，则销量为560−x+50箱，每箱利润为x−40元，根据第二天的利润比第一天增加12%列一元二次方程，解方程即可；
思考3：先求出剩余牛奶的箱数，降价后的销量刚好等于该数时，可以使超市利益最大化，由此可解．
【详解】解：思考1：60−40×50=1000（元），
即第一天售出A款牛奶所获利润为1000元，
故答案为：1000；
思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，
由题意得：560−x+50x−40=1000×1+12%，
整理得x2−110x+3024=0，
解得x1=54，x2=56，
∵要让顾客实现最优惠，
∴第二天A款牛奶的每箱售价为54元．
思考3：∵第一天销量为：50箱，第二天销量为：5×60−54+50=80（箱），
∴第三天销量为：200−50−80=70（箱），
设第三天A款牛奶的每箱售价为y元，
则560−y+50=70，
解得y=56，
第三天售出A款牛奶所获利润为：70×56−40=1120（元），
1000+1120+1120=3240（元），
即销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为3240元．
【题型4 图形的面积问题】
方法总结：根据图形的面积与图形得边、高等相关元素得关系，将图形的面积用含有未知数得代数式表示出来，建立一元二次方程.
【例4】（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为150m2的长方形花园ABCD，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，BC边留有2m的门EF，如果栅栏的长为33m．
(1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？
(2)若给定墙长为am，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ．
【答案】(1)花园的长20m或15m，宽为7.5m或10m
(2)15≤a