2024-2025学年九年级数学上册专题21.5 实际问题与一元二次方程【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

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\l "_Tc29334" 【题型1 数字问题】 PAGEREF _Tc29334 \h 1
\l "_Tc16094" 【题型2 增长率问题】 PAGEREF _Tc16094 \h 2
\l "_Tc3025" 【题型3 利润问题】 PAGEREF _Tc3025 \h 2
\l "_Tc17604" 【题型4 图形的面积问题】 PAGEREF _Tc17604 \h 3
\l "_Tc23283" 【题型5 传播问题】 PAGEREF _Tc23283 \h 5
\l "_Tc13310" 【题型6 工程问题】 PAGEREF _Tc13310 \h 5
\l "_Tc31237" 【题型7 行程问题】 PAGEREF _Tc31237 \h 6
\l "_Tc2217" 【题型8 图表信息问题】 PAGEREF _Tc2217 \h 7
\l "_Tc32255" 【题型9 古文问题】 PAGEREF _Tc32255 \h 9
\l "_Tc12266" 【题型10 动点问题】 PAGEREF _Tc12266 \h 10
知识点1：解一元二次方程的一般步骤
（1）审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关系。
（2）设：就是指设元，也就就是设出未知数。
（3）列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。
（4）解：就就是解方程，求出未知数得值。
（5）验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6）答：写出答案。
【题型1 数字问题】
方法总结：三个连续整数：若设中间得一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
三个连续偶数（奇数）：若中间得一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2.
三位数得表示方法：设百位、十位、个位上得数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c.
【例1】（23-24九年级·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ．
【变式1-1】（23-24九年级·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ．
【变式1-2】（23-24九年级·江苏·期中）已知3个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且n=732m+3，求这3个连续整数．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【题型2 增长率问题】
方法总结：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次得增长或降低后得等量关系为a（1±x）²=b.
【例2】（23-24九年级·安徽安庆·期中）为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为a万元，2023年的绿化投资额为2.25a万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（ ）
A．30%B．40%C．50%D．60%
【变式2-1】（23-24九年级·江苏镇江·期中）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程 ．
【变式2-2】（23-24九年级·四川绵阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 ．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
(3)该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润．
【题型3 利润问题】
方法总结：利润问题常用得相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率.
【例3】（23-24九年级·山东菏泽·期中）某旅游景点的门票价格是20元/人，每天接待游客500人，已知该景点每天要支出100元卫生费，每售出一张门票要上缴10元其它费用．
(1)景点每天获利润多少元？
(2)进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，每天接待游客人数就会减少50人．当门票价格为多少时，可获利润8900元？
【变式3-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出320−10a件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元B．24元C．26元D．28元
【变式3-2】（23-24九年级·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件80元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数y=30−0.2x，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的30%．若商店计划每周销售该头盔获利200元，则每件头盔的售价应为 元．
【变式3-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）根据以下素材，解决生活问题
【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天可多售出5箱．
【问题解决】
思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元．
思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加12%，又要让顾客实现最优惠，问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？
思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？
【题型4 图形的面积问题】
方法总结：根据图形的面积与图形得边、高等相关元素得关系，将图形的面积用含有未知数得代数式表示出来，建立一元二次方程.
【例4】（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为150m2的长方形花园ABCD，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，BC边留有2m的门EF，如果栅栏的长为33m．
(1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？
(2)若给定墙长为am，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ．
【变式4-1】（23-24九年级·山东淄博·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=7，b=3，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．42B．363C．253D．21
【变式4-2】（23-24九年级·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，AB=am，AD=bm，面积为Sm2．现将边AB增加1m，边AD增加2m，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为2Sm2，则S的值是 ．

【变式4-3】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）

A．7+352B．5+12C．5+32D．2+1
【题型5 传播问题】
【例5】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（ ）支小分支．
A．6B．7C．8D．9
【变式5-1】（23-24九年级·宁夏银川·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯45次，则参加酒会的人数为 人.
【变式5-2】（23-24·陕西渭南·模拟预测）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生?
【变式5-3】（23-24九年级·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
(1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
(2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
(3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【题型6 工程问题】
【例6】（23-24九年级·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【变式6-1】（23-24·重庆·二模）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖12m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
【变式6-2】（23-24·重庆·中考真题）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
【变式6-3】（23-24九年级·云南·期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【题型7 行程问题】
【例7】（23-24九年级·重庆万州·期中）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加110m小时，求m的值．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆北碚·阶段练习）1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快m千米/小时(m>0)，乙开车时间比甲开车时间少124m小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快14m千米/小时，乙步行了13小时后到达目的地，求m的值．
【变式7-3】（23-24九年级·重庆丰都·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【题型8 图表信息问题】
【例8】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元．
（1）填表（结果需化简）
（2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
【变式8-1】（23-24九年级·湖北·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
【变式8-2】（23-24九年级·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【变式8-3】（23-24九年级·江苏苏州·期中）某旅行社一则旅游消息如下：
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000元和24000元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000元，乙公司员工多少人？
【题型9 古文问题】
【例9】（23-24九年级·湖南怀化·期中）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”聪明的你认为竿长为（ ）
A．2尺B．10尺C．2尺或10尺D．无法确定
【变式9-1】（23-24九年级·北京西城·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝ 尺，EB＝ 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．
【变式9-2】（23-24九年级·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·北京海淀·期中）阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：

(1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步；
(2)中间小正方形的面积为 平方步；
(3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ；
(4)你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽．
【题型10 动点问题】
【例10】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，问：
(1)当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
(2)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰三角形．
【变式10-1】（23-24九年级·湖南永州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为ts．
(1)填空：BQ=_____cm，PB=_____cm；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(3)是否存在t的值，使得四边形APQC的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】（23-24九年级·海南海口·阶段练习）如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形．动点P和动点Q分别从点B和点C同时出发，沿着△ABC逆时针运动，已知动点P的速度为1cm/s，动点Q的速度为2cm/s．设动点P、动点Q的运动时间为ts．
(1)当t为何值时，两个动点第一次相遇；
(2)从出发到第一次相遇这一过程中，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形的面积为83cm？
【变式10-3】（23-24九年级·上海·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t秒．
(1)求证：当t=32时，四边形APQD是平行四边形；
(2)PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
(3)若△DPQ是以PD为腰的等腰三角形，求t的值． 时间
第一周
第二周
清仓时
单价（元）
80

40
销售量（件）
200
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
7
70
5
5
40
发布日期
10月8日
10月11日
10月12日
发布次数
第1次
第2次
第3次
票房
10亿元
12.1亿元
旅游人数
收费标准
不超过10人
人均收费2400元
超过10人
每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500元