河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A 或x>1
B. 或x>2
C.
D.
2. 已知函数满足：，，则下列说法正确的有（ ）
A. 是周期函数
B.
C.
D. 图象的一个对称中心为
3. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
4. 若一枚质地均匀骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （ ）
A 2B. 4.5C. 9.5D. 10
7. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9. 已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的可能取值为（ ）
A. B. C. 3D.
10. 如图，直线与半径为1的圆相切于点，射线绕着点逆时针方向旋转到，在旋转过程中射线交圆于点，设，且恒满足，射线扫过圆内部（阴影部分）的面积为，则下列正确的是（ ）

A. B. 的单调递增区间为
C. 点为的对称中心D. 在瞬时变化率最大
11 已知函数，则（ ）
A. 在上的最大值为B. 为偶函数
C. 为奇函数D. 在上单调递减
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数，存在使得，则实数的值为_________.
13. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______．
14. 已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值．
16. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求解析式，并求在区间的最小值．
17. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）点是上的一点，，且，求周长的最小值.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．
19. 设函数.
（1）设，在处取得最大值，求；
（2）关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.