长沙市明德中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题及参考答案

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2022年10月
时量：120分钟 总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={0，1，2，3}，，则（ ）
A．{1，2，3}B．
C．{0，1，2，3，4}D．
【分析】利用并集的定义直接求出．
【解析】解：集合，1，2，，
∴．
故选：．
2．命题“存在，”的否定形式是（ ）
A．任意，B．任意，或
C．存在，D．存在，或
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在，”的否定形式是“任意，或”．
故选：．
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【分析】对于，结合不等式的性质，即可求解，对于，结合特殊值法，即可求解，对于，结合函数的单调性，即可求解，对于，结合作差法，即可求解．
【解析】解：对于，，
，，
，故错误，
对于，令，，，满足，但，故错误，
对于C，，
，
在上单调递增，
，故C正确．
对于D，，
，
，故D错误，
故选：C．
4．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【分析】直接利用同一函数的定义和函数的定义域的应用判断、、、的结论．
【解析】解：对于，，，故错误；
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，，，，，故错误．
故选：．
5．当时，函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】由，利用基本不等式的性质求解即可；
【解析】解：∵，∴
∴
当且仅当时，即等号成立
∴函数的最小值为
故选：A．
6．命题“任意，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【分析】命题“，”为真命题，可得，令，，，利用二次函数的单调性即可得出函数取得最小值，进而判断出结论．
【解析】解：命题“，，”为真命题，
∴
令，，，
则函数在，上单调递增，
∴时，函数取得最小值，．
∴．
因此命题“任意，”为真命题的一个必要不充分条件是．
故选：A．
7．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用二次函数根的分布求解即可．
【解析】解：令，
则由已知可得函数与轴有两个不同的交点，
且都在2的右侧，
如图所示：
由图可得：，
解得：，
故的取值范围为：，
故选：．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】由题意可得或或或，画出可行域，计算出面积即可．
【解析】解：由题意可得或或或，
画出可行域，如图所示，
点集所表示的平面区域的面积是4，
故选：．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知，，且，，则a取值可能为（ ）
A．B．0C．1D．2
【分析】由已知中 且，，代入可构造关于的不等式，解不等式结合，可得满足条件的值．
【解析】解： 且，，
即，
解得：，
又，
，或，或，
故满足条件的的取值集合为，1，，
故选：．
10．下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数在（0，）上是增函数
B．函数在上是减函数
C．函数的单调递减区间是
D．已知在R上是增函数，若，则有
【分析】根据二次函数的性质、反比例函数的单调性、以及函数单调性的定义逐项判断即可．
【解析】解：对于的单调递增区间为，故在上是增函数，故正确；
对于：函数在，上单调递减，故正确；
对于：要求函数的单调减区间，只需，解得，故该函数的单调递减区间为，，故错误；
对于在上是增函数，若，所以，，所以（a），（b），两式相加得（a）（b），故正确．
故选：ABD．
11．对于数集M，若对于任意a，，有，，则称集合M为闭集合，则下列说法中错误的是（ ）
A．集合M={，0，1}为闭集合
B．集合为闭集合
C．正整数集是闭集合
D．若集合，为闭集合，则为闭集合
【分析】根据已知新定义对应各个选项逐个判断即可．
【解析】解：选项：因为，，所以集合不是闭集合；
选项：设，，，，则，，
所以集合为闭集合，故正确；
选项：设，为任意两个正整数，当时，不是正整数，
所以正整数不是闭集合，故错误；
选项：设，，，，
由可知集合，为闭集合，2，，而，
故不为闭集合，故错误．
故选：．
12．若x，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是3B．的最小值为6
C．的最小值为2D．的最大值为
【分析】根据基本不等式及函数的单调性逐项判断即可．
【解析】解：对于选项：由题干可得：，所以，，，当且仅当取得等号，所以选项错误．
对于选项：由题干可得：，所以
，，当且仅当取得等号，所以选项正确．
对于选项：由题干可得：，，，，
，当且仅当，取得等号，所以正确．
对于选项：由题干可得：，令，则有知．
原式在上单减，所以时即时有最大值，所以正确．
故选：．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合，若函数，，则函数的值域是________．
【分析】先求解，然后根据函数的单调性进行求解即可．
【解析】解：，
当时，，
即的值域为，，
故答案为：，
14．若，，则的取值范围为________．
【分析】根据已知条件，结合不等式的基本性质，即可求解．
【解析】解：，
，
，
，
，
故的取值范围为．
故答案为：
15．已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是________．
【分析】先由二次不等式求出集合，根据已知集合中所有整数的元素和为18可判断的范围
【解析】解；由可得
①若，则，则其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去
②若，则，不符合题意
③若，则，由知中的整数有3，4，5，6，
∴
故答案为：
16．函数的定义域为D，若对于任意，，当时都有，则称函数在D上为非减函数，设在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③；
则________；等于________．
【分析】由新定义可知（1），，，当，时，，从而求得．
【解析】解：，，
（1），，
（1），，
当，时，，
故，
故，
故，
故答案为：1；
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
已知全集U={2，4，6，8，10}，．
（1）若中有3个元素，求实数t的取值范围；
（2）若中有四个元素，求实数t的值．
【分析】
（1）若中有3个元素，则集合A中有2个元素，根据一元二次方程根的关系即可求t的值；
（2）若中有4个元素，则等价为为单元素集合，然后进行求解即可．
【解析】
解：（1）全集U={2，4，6，8，10}，
由中有3个元素，则集合A中有2个元素，即方程有两个不相等的实数解，
∴，
∴或，
（2）中有四个元素，为单元素集合，由，
解得，
当时，方程化为，解得，所以，满足条件；
当时，方程化为，解得，所以，不满足条件；
综上知，．
18．（本题满分12分）
已知集合，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】
（1）先求出集合，，若，则有，解不等式组即可；
（2）根据条件便知，所以便有，或，所以解不等式即可得到的取值范围．
【解析】
解：（1）；
∴
若，则：；
解得；
的取值范围为；
（2）是的必要不充分条件；
能得到，而得不到；
；
∴或；
∴或；
∴实数的取值范围为R．
19．（本题满分12分）
如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为y．
（1）求出y关于x的函数的解析式；
（2）若周长y大于9，求上底CD长的取值范围．
【分析】
（1）作，分别垂直，交于，，连结，求出，又在直角中，进一步求出，从而求出梯形的周长与间的函数解析式，根据，，可求出定义域；
（2）利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．
【解析】
解：（1）作，分别垂直，交于，，
连结．由圆的性质，是中点，设，
．
又在直角中，，
，其定义域是；
（2）令，则，且，
，
∵周长y大于9
∴，解得：
∴，
∴，
∴，
∴上底CD长的取值范围
20．（本题满分12分）
（1）若的解集为，求实数a，b的值；
（2）当时，求关于x的不等式的解集．
【分析】
（1）题意转化为1，是方程的解，从而列方程解得；
（2）根据不等式，再分类讨论求不等式的解集．
【解析】
解：（1）的解集为，
，是方程的解，
故，
解得，；
（2）∵，
①当时，
不等式的解集为或，
②当时，
不等式的解集为，
③当时，
不等式的解集为或，
④当时，不等式的解集为．
21．（本题满分12分）
已知，．
（1）①求的值；
②当时，求；
（2）当时，求的解析式；
（3）求方程的解．
【分析】
（1）根据自变量的范围选择对应的解析式代入求解；
（2）代范围求出解析式；
（3）先将方程化简一下，再求解．
【解析】
解：（1）①
②当时，，，
故．
（2）由（1）知，当时，．
当时，，，故．
当时，，，故．
所以当时，的解析式为．
（3），，
所以方程为
解得或．
22．（本题满分12分）
已知函数，a为实数．
（1）当时，判断并用定义证明函数在区间（0，1]上的单调性；
（2）是否存在实数a（），使得在闭区间上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出．
（2）化简函数为分段函数，通过讨论的范围，列出关系式求解即可．
【解析】
解：（1）当时，，
当，时，，
，
在，上恒成立，
在，上单调递减；
（2），，
，（先用特殊值约束范围），
，在上递增，
必在区间，上取最大值2．
当，即时，则，，成立，
当，即时，，则（舍，
综上，．