2025年高考数学一轮复习-拓展拔高2-指数与对数的运算-专项训练【含解析】

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这是一份2025年高考数学一轮复习-拓展拔高2-指数与对数的运算-专项训练【含解析】，共8页。试卷主要包含了证明等内容，欢迎下载使用。

1. [2024·琼海模拟]37277+3= （）.
A. 9B. 19C. 3D. 39
2. [2024·绵阳模拟]设a=lg94，则3a的值是（）.
A. 1B. 2C. 4D. 9
3. [2024·河南模拟]已知函数fx=lg2x,0A. −4B. −2C. 2D. 4
4. [2024·天津模拟]已知2a=5,lg83=b，则4a−3b=（）.
A. 25B. 5C. 259D. 53
5. [2024·陕西模拟]若a>0且a≠1,lg3a=b,lg4a=c，且b=cd，则dlg23=（）.
A. 2B. 12C. 3D. 13
6. 已知实数a，m，n满足3a=m，23a=n，a=12lg22m+n，则nm=（）.
A. 2B. 12C. 3D. 13
7. [2024·大连模拟]若实数a,b满足4a+lg3a=8b+3lg27b，则（）.
A. a<3b2B. a>3b2C. a>b3D. a8. [2024·河南联考]若函数fx=lnx2+a−x为奇函数，则f0+f1=（）.
A. 0B. ln2−1C. ln2+1D. ln 2
综合提升练
9. （多选题）已知正数x，y，z满足3x=4y=12z，则（）.
A. 1x+1y=1zB. 6z<3x<4yC. xy<4z2D. x+y>4z
10.（多选题）下列结论正确的是（）.
A. e3+e5>e3⋅e5B. lg 3+lg 5>lg 3⋅lg 5
C. 2π+6π>3π⋅5πD. lg310+lg510>lg310⋅lg510
11. eln 3−8114+lg3+13−12= ______
12. 已知实数a，b满足4a+2a=3，lg233b+1+b=23，则a+32b=______
应用情境练
13. [2024·郑州模拟]地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M.若A地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为E1，B地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E2，则E1是E2的______倍.
14. [2024·文昌预测]荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中呈指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，当荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg X=nlg 1+p+lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为______.(参考数据：1013≈2.154,1014≈1.778)
创新拓展练
15. [2024·宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音1d的音阶频率为f，则简谱中七个音1d，2re，3mi，4fa，5s，6la，7si组成的音阶频率分别是f，98f，8164f，43f，32f，2716f，243128f，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比值是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为α ，βα>β，α 称为全音，β 称为半音，则lg α5+lg β2−lg 2=______
16.(2024·九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记u⊗v为uv除以p的余数,um,⊗为um除以p的余数;设a∈X,1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗两两不同,若an,⊗=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是以a为底b的离散对数,记为n=lg(p)ab.
(1)若p=11,a=2,求ap-1,⊗.
(2)对m1,m2∈{0,1,…,p-2},记m1⊕m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时,m1⊕m2=0).证明:lg(p)a(b⊗c)=lg(p)ab⊕lg(p)ac,其中b,c∈X.
(3)已知n=lg(p)ab.对x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y1=ak,⊗,y2=x⊗bk,⊗.证明:x=y2⊗y1n(p-2),⊗.
注:一般地,设n为正整数,a和b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和b模n同余,记作a≡b(md n).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12≡-6(md 9).
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拓展拔高2-指数与对数的运算-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. [2024·琼海模拟]37277+3= （ B ）.
A. 9B. 19C. 3D. 39
[解析]37277+3=37337+3=37−37+3=37−37+3=3−2=19.故选B.
2. [2024·绵阳模拟]设a=lg94，则3a的值是（ B ）.
A. 1B. 2C. 4D. 9
[解析]由a=lg94，得9a=4，即32a=4，所以3a=2.故选B.
3. [2024·河南模拟]已知函数fx=lg2x,0A. −4B. −2C. 2D. 4
[解析]∵f1=41−2=14，∴ff1=f14=lg214=−2.故选B.
4. [2024·天津模拟]已知2a=5,lg83=b，则4a−3b=（ C ）.
A. 25B. 5C. 259D. 53
[解析]因为2a=5，b=lg83=13lg23，即23b=3，所以4a−3b=4a43b=2a223b2=5232=259.故选C.
5. [2024·陕西模拟]若a>0且a≠1,lg3a=b,lg4a=c，且b=cd，则dlg23=（ A ）.
A. 2B. 12C. 3D. 13
[解析]由题意得d=bc=lg3alg4a=lga4lga3=lg34，所以dlg23=lg34×lg23=lg34lg32=2lg32lg32=2.故选A.
6. 已知实数a，m，n满足3a=m，23a=n，a=12lg22m+n，则nm=（ A ）.
A. 2B. 12C. 3D. 13
[解析]由题意得3a=m，12a=n2，
由a=12lg22m+n，得2a=lg22m+n，化简得22a=2m+n，即4a=2m+n.
因为3a×4a=12a，所以m2m+n=n2，即2m−n⋅m+n=0.
由指数函数的值域可得m>0，n>0，所以n=2m，即nm=2.故选A.
7. [2024·大连模拟]若实数a,b满足4a+lg3a=8b+3lg27b，则（ A ）.
A. a<3b2B. a>3b2C. a>b3D. a[解析]由题意知，a>0，b>0.
∵4a=22a，8b=23b，3lg27b=lg3b，∴22a+lg3a=23b+lg3b，
∴22a+lg3a+lg32=23b+lg3b+lg32，即22a+lg32a=23b+lg32b.
∵y=lg3x 在0,+∞ 上单调递增，∴lg32b∴22a+lg32a<23b+lg33b.
设fx=2x+lg3x，则f2a∵y=2x 与y=lg3x 在0,+∞ 上单调递增，∴fx在0,+∞ 上单调递增，∴2a<3b，即a<3b2.故选A.
8. [2024·河南联考]若函数fx=lnx2+a−x为奇函数，则f0+f1=（ B ）.
A. 0B. ln2−1C. ln2+1D. ln 2
[解析]f−x=ln−x2+a+x=lnx2+a+x，
因为fx 为奇函数，所以fx+f−x=0，即lnx2+a−x+lnx2+a+x=ln [x2+a−x⋅x2+a+x]=ln [x2+a−x2]=ln a=0，解得a=1，经检验，a=1满足题意,
所以fx=lnx2+1−x，所以f0+f1=ln2−1.故选B.
综合提升练
9. [2024·湖北联考]（多选题）已知正数x，y，z满足3x=4y=12z，则（ ABD ）.
A. 1x+1y=1zB. 6z<3x<4yC. xy<4z2D. x+y>4z
[解析]设3x=4y=12z=t，t>1，则x=lg3t，y=lg4t，z=lg12t，
所以1x+1y=1lg3t+1lg4t=lgt3+lgt4=lgt12=1z，A正确；
因为6z3x=2lg12tlg3t=2lgt3lgt12=lg129<1，所以6z<3x，
因为3x4y=3lg3t4lg4t=3lgt44lgt3=lgt64lgt81=lg8164<1，所以3x<4y，
所以6z<3x<4y，B正确；
因为x+y−4z=lg3t+lg4t−4lg12t=1lgt3+1lgt4−4lgt12=lgt3+lgt4lgt3lgt4−4lgt3+lgt4=lgt3−lgt42lgt3lgt4lgt3+lgt4>0，所以x+y>4z，D正确；
因为1z=1x+1y=x+yxy，则xyz=x+y>4z，所以xy>4z2，C错误.
故选ABD.
10. [2024·陕西模拟]（多选题）下列结论正确的是（ BD ）.
A. e3+e5>e3⋅e5B. lg 3+lg 5>lg 3⋅lg 5
C. 2π+6π>3π⋅5πD. lg310+lg510>lg310⋅lg510
[解析]因为e3+e5e3⋅e5=1e5+1e3<12+12=1，所以e3+e5因为0因为3π⋅5π=3×5π>2×6π ，2π+6π2×6π=12π+16π<1，
所以3π⋅5π>2×6π>2π+6π ，C错误；
因为lg310+lg510lg310⋅lg510=1lg510+1lg310=lg 5+lg 3=lg 15>1，所以lg310+lg510>lg310⋅lg510，D正确.故选BD.
11. [2024·四川适应性考试]eln 3−8114+lg3+13−12= −1 .
[解析]eln 3−8114+lg3+13−12=3−34×14+lg3+13+1−1=3−3−1=−1.
12. 已知实数a，b满足4a+2a=3，lg233b+1+b=23，则a+32b=1.
[解析]因为lg233b+1+b=23，化简得lg23b+1+3b+1=3，所以lg23b+1+2lg23b+1=3，
又4a+2a=22a+2a=3，所以构造函数fx=2x+x，
因为函数y=2x，y=x在−∞,+∞ 上均单调递增，所以fx 在−∞,+∞ 上单调递增，因为f1=3，所以2a=lg23b+1=1，解得a=12，b=13，所以a+32b=1.
应用情境练
13. [2024·郑州模拟]地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M.若A地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为E1，B地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E2，则E1是E2的104.8 倍.
[解析]由题意知lg E1=4.8+1.5×7.8=16.5，lg E2=4.8+1.5×4.6=11.7，所以E1=1016.5，E2=1011.7，故E1E2=，则E1=104.8E2.
14. [2024·文昌预测]荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中呈指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，当荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg X=nlg 1+p+lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为115.4% .(参考数据：1013≈2.154,1014≈1.778)
[解析]由题意得lg 100X0=6lg 1+p+lg X0，即2+lg X0=6lg 1+p+lg X0，可得1+p=1013≈2.154，解得p≈1.154=115.4%.
创新拓展练
15. [2024·宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音1d的音阶频率为f，则简谱中七个音1d，2re，3mi，4fa，5s，6la，7si组成的音阶频率分别是f，98f，8164f，43f，32f，2716f，243128f，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比值是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为α ，βα>β，α 称为全音，β 称为半音，则lg α5+lg β2−lg 2=0.
[解析]因为相邻两个音的频率比值分别为98，98，256243，98，98，98，
由题意知α=98，β=256243，所以lg α5+lg β2−lg 2=lg [985×2562432÷2]=lg 1=0.
16.(2024·九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记u⊗v为uv除以p的余数,um,⊗为um除以p的余数;设a∈X,1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗两两不同,若an,⊗=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是以a为底b的离散对数,记为n=lg(p)ab.
(1)若p=11,a=2,求ap-1,⊗.
(2)对m1,m2∈{0,1,…,p-2},记m1⊕m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时,m1⊕m2=0).证明:lg(p)a(b⊗c)=lg(p)ab⊕lg(p)ac,其中b,c∈X.
(3)已知n=lg(p)ab.对x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y1=ak,⊗,y2=x⊗bk,⊗.证明:x=y2⊗y1n(p-2),⊗.
注:一般地,设n为正整数,a和b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和b模n同余,记作a≡b(md n).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12≡-6(md 9).
[解析] (1)若p=11,a=2,且注意到210=1024=93×11+1,
则ap-1,⊗=210,⊗=1.
(2)当p=2时,此时X={1},此时b=c=1,b⊗c=1,
故lg(p)a(b⊗c)=0,lg(p)ab=0,lg(p)ac=0,
此时lg(p)a(b⊗c)=lg(p)ab⊕lg(p)ac.
当p>2时,因为1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗相异,所以a≥2,
而a∈X,故a,p互质.
设n=lg(p)a(b⊗c),n1=lg(p)ab,n2=lg(p)ac,
则∃k1,k2∈N,使得an1=pk1+b,an2=pk2+c,
故an1+n2=(pk1+b)(pk2+c),故an1+n2≡bc(md p),
设n1+n2=t(p-1)+s,0≤s≤p-2,则n1⊕n2=s,
因为1,2,3,…,p-1除以p的余数两两相异,
且a,2a,3a,…,(p-1)a除以p的余数两两相异,
所以(p-1)!≡[a×2a×3a…×(p-1)a](md p),故ap-1≡1md p,
故as≡bc(md p),而an≡b⊗c(md p)=bc(md p),其中0≤n≤p-2,
故s=n,即lg(p)a(b⊗c)=lg(p)ab⊕lg(p)ac.
(3)当b≥2时,由(2)可得bp-1≡1md p,若b=1,则bp-1≡1md p也成立.
因为n=lg(p)ab,所以an≡b(md p).
另一方面,y2⊗y1n(p-2),⊗≡y2y1n(p-2),⊗≡(x⊗bk,⊗)(ak,⊗)n(p-2)
≡(xbk)akn(p-2)≡(xbk)bk(p-2)≡x(bp-1)k-1≡x(1)k-1(md p)≡x(md p).
因为x∈X,所以x=y2⊗y1n(p-2),⊗.