2025年高考数学一轮知识点复习-8.2两直线的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮知识点复习-8.2两直线的位置关系-专项训练【含答案】，共6页。试卷主要包含了已知A，已知点A，已知光线经过直线l1等内容，欢迎下载使用。

1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.已知A（4，0）到直线4x－3y＋a＝0的距离等于3，则a的值为（ ）
A.－1 B.－13或－19
C.－1或－31 D.－13
3.已知点A（1，2）与B（3，3）关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为（ ）
A.2，－132 B.－2，－72
C.－2，32 D.2，132
4.已知点A（0，－1），点B在直线x－y＋1＝0上，直线AB垂直于直线x＋2y－3＝0，则点B的坐标是（ ）
A.（－2，－3） B.（2，3）
C.（2，1） D.（－2，1）
5.（多选）已知直线l：（a2＋a＋1）x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C.直线l过定点（0，1）D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
6.（多选）已知直线l过点P（1，2），且点A（2，3），B（4，－5）到直线l的距离相等，则l的方程可能是（ ）
A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0
C.3x＋2y－7＝0 D.2x＋3y－7＝0
7.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜＝ .
8.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝3对称的直线方程是 .
9.已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，－1）的两条平行直线，当l1与l2之间的距离最大时，直线l1的方程是 .
10.已知光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射.
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线l3的方程.
11.直线l：y＝k（x＋2）上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则k的取值范围是（ ）
A.（－2，2） B.（－3，3）
C.（－1，1） D.（－33，33）
12.（多选）若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的有（ ）
A.直线l2的斜率为定值B.当c＝25时，｜PQ｜的最小值为32
C.当｜PQ｜的最小值为1时，c＝20D.c≠10
13.设△ABC的一个顶点是A（3，－1），角B，C的角平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是 .
14.已知直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点为M.
（1）求过点M且与直线l3：x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程；
（2）求过点M，且点P（4，0）到它的距离为3的直线的方程.
15.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且｜OM｜＝4，｜ON｜＝8，工厂A在公路n上，｜OA｜＝2，工厂B到m，n的距离分别为2，4.货车P在公路l上.
（1）要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？
（2）P在什么位置时，工厂B搬运工与工厂A搬运工走的路程差距最多？（假设货物一次性搬运完）
参考答案与解析
1.A 若两直线平行，则a（a＋1）＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件.
2.C 由距离公式可得，｜4×4－3×0+a｜42＋32＝3，即｜a＋16｜＝15，解得a＝－1或a＝－31，故选C.
3.A 易知kAB＝12，则直线ax＋y＋b＝0的斜率为－2，所以－a＝－2，即a＝2.易知AB的中点坐标为（2，52），代入2x＋y＋b＝0，得b＝－132.故选A.
4.B 设B（a，b），则由题意可得a－b＋1＝0 ①，且kAB＝b+1a－0＝2 ②，由①②解得a＝2，b＝3.即点B的坐标是（2，3），故选B.
5.AC 对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知（a2＋a＋1）·（－1）＝1×（－1），解得a＝0或a＝－1，不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点（0，1），正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴，y轴上的截距分别是－1，1，不正确.
6.AC 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为3−(−5）2－4＝－4，所以直线l的方程是y－2＝－4（x－1），即4x＋y－6＝0；当直线l经过线段AB的中点（3，－1）时，l的斜率为2−(−1）1－3＝－32，此时l的方程是y－2＝－32（x－1），即3x＋2y－7＝0.
7.25 解析：设A（x，0），B（0，y），∵AB中点P（2，－1），∴x2＝2，y2＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴｜AB｜＝42＋22＝25.
8.x＋2y－7＝0 解析：设直线x－2y＋1＝0关于直线x＝3对称的直线为l2，则l2的斜率为－12，且过直线x－2y＋1＝0与x＝3的交点（3，2），则l2的方程为y－2＝－12（x－3），即x＋2y－7＝0.
9.x＋2y－3＝0 解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2之间的距离最大.因为A（1，1），B（0，－1），所以kAB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12（x－1），即x＋2y－3＝0.
10.解：（1）由3x－y+7=0，2x＋y+3=0，得x＝－2，y=1，所以M（－2，1）.
所以点M关于x轴的对称点P的坐标为（－2，－1）.
（2）法一 设直线MN的倾斜角为α，则直线l3的倾斜角为180°－α，易知kMN＝0－11−(−2）＝－13，所以直线l3的斜率k3＝13.
故反射光线所在的直线l3的方程为y＝13（x－1），即x－3y－1＝0.
法二 由题意知反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程.
易知直线PN的方程为y－0－1－0＝x－1－2－1，整理得x－3y－1＝0，
故反射光线所在的直线l3的方程为x－3y－1＝0.
11.D 直线l：y＝k（x＋2）上存在两个不同的点到原点的距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以｜2k｜k2+1＜1，解得－33＜k＜33.故选D.
12.ABD 因为l1∥l2，所以a3＝2，c5≠2，所以a＝6，c≠10，故A、D正确；因为｜PQ｜的最小值为两平行直线间的距离，所以当c＝25时，d＝｜10－25｜62＋82＝32，故B正确；当｜PQ｜的最小值为1时，d＝｜10－c｜62＋82＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误.
13.y＝2x＋5 解析：A关于直线x＝0的对称点是A'（－3，－1），关于直线y＝x的对称点是A″（－1，3），由角平分线的性质可知，点A'，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.
14.解：（1）由x－2y+3=0，2x+3y－8=0，得x=1，y=2，则M（1，2）.
因为直线l3：x＋3y＋1＝0的斜率为－13，所求直线与直线l3垂直，
所以所求直线的斜率为3，其方程为y－2＝3（x－1），即3x－y－1＝0.
（2）由（1）知M（1，2），则当直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝1，点P（4，0）到它的距离为3，满足题意；
当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0，
所以点P（4，0）到它的距离d＝｜3k+2｜1+k2＝3，解得k＝512，
所以所求直线的方程为5x－12y＋19＝0.
综上可得，所求直线的方程为x＝1或5x－12y＋19＝0.
15.解：以m，n所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系（图略），则有A（2，0），B（－2，－4），M（0，4），N（－8，0），故公路l所在直线的方程为x－2y＋8＝0.
（1）P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求｜PA｜＋｜PB｜的值最小时P的位置.
设点A关于直线l的对称点为A'（a，b），
则b－0a－2＝－2，a+22－2×b+02+8=0，解得a＝－2，b=8.所以A'（－2，8）.
又P为直线l上的一点，则｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA'｜＋｜PB｜≥｜A'B｜，当且仅当B，P，A'三点共线时等号成立，此时｜PA｜＋｜PB｜取得最小值｜A'B｜，点P就是直线A'B与直线l的交点，
联立x＝－2，x－2y+8=0，解得x＝－2，y=3，所以P（－2，3）.
即P在到公路m的距离为2，到公路n的距离为3的公路l上.
（2）由题意可知，原问题等价于求点P的位置，使｜｜PB｜－｜PA｜｜的值最大.
A，B两点在直线的同侧，P是直线l上的点，则｜｜PB｜－｜PA｜｜≤｜AB｜，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时｜｜PB｜－｜PA｜｜取得最大值｜AB｜，点P即为直线l与直线AB的交点.
又直线AB的方程为y＝x－2，
由y＝x－2，x－2y+8=0，得x=12，y=10，所以P（12，10）.
即P在到公路m的距离为12，到公路n的距离为10的公路l上.