高中3.2 离散型随机变量的方差当堂检测题

这是一份高中3.2 离散型随机变量的方差当堂检测题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据( C )
A.一样稳定B.变得比较稳定
C.变得比较不稳定D.稳定性不可以判断
2. 已知随机变量X的分布列如下：
若EX＝，则DX的值是( C )
A. B. C. D.
3. 已知离散型随机变量X的分布列为
若EX＝2，则D(3X－1)＝( D )
A.3B.9C.12D.36
4. 设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
则当p在(0，1)内增大时( D )
A.Dξ减小
B.Dξ增大
C.Dξ先减小后增大
D.Dξ先增大后减小
5. 已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2. 若0＜p1＜p2＜，则( A )
A.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2
B.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＞Dξ2
C.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＜Dξ2
D.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2
6. 设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，现已知EX＝，DX＝，则x1＋x2的值为( C )
A.B.
C.3D.
7. (多选题)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( ACD )
A.q＝0. 1
B.EX＝2，DX＝1. 4
C.EX＝2，DX＝1. 8
D.EY＝5，DY＝7. 2
8. (多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( AB )
A.P(X＝1)＝EX
B.E(3X＋2)＝4
C.D(3X＋2)＝4
D.DX＝
二、填空题
9. 已知离散型随机变量X的分布列如表所示. 若EX＝0，DX＝1，则a－b的值为①④.
10. 已知随机变量X的分布列为
则下列结论：①EX＝－；②E(X＋4)＝－；③DX＝；④D(3X＋1)＝5；⑤P(X＞0)＝. 其中正确的是①④.
11. 有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX＝3. 36.
三、解答题
12. 袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1，2，3，4). 现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值.
13. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η. 已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0. 5，3a，a，0. 1，乙击中10，9，8环的概率分别为0. 3，0. 3，0. 2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术.
14. 已知随机变量X，Y的分布列如下表所示，其中a，b∈(0，1).
若D(XY)＝1，则( C )
A.EX·EY＞0B.EX·EY＜0
C.DX＋DY＞1D.DX＋DY＜1
15. 已知一个袋中装有6个乒乓球，其中4个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会. 记X表示停止摸球时的摸球次数. 若每次摸出乒乓球后不放回，则EX＝①④，若每次摸出乒乓球后放回，则DX＝①④.
北师大高中数学选择性必修第一册
第六章课时作业45离散型随机变量的方差(解析版)
一、选择题
1. 已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据( C )
A.一样稳定B.变得比较稳定
C.变得比较不稳定D.稳定性不可以判断
解析：由题可得＝2⇒x1＋x2＋…＋x10＝20⇒平均值为2，由
＝1，＝
1. 1＞1，所以变得不稳定. 故选C.
2. 已知随机变量X的分布列如下：
若EX＝，则DX的值是( C )
A. B. C. D.
解析：由分布列的性质可知a＋b＋＝1，∴a＋b＝. 又EX＝－a＋，解得a＝，b＝，∴DX＝2×. 故选C.
3. 已知离散型随机变量X的分布列为
若EX＝2，则D(3X－1)＝( D )
A.3B.9C.12D.36
解析：由题意可得＝1，解得b＝，由数学期望公式得EX＝＋2×＋6×＋2＝2，解得a＝0. 由方差公式得DX＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(6－2)2×＝4. 由方差的性质可得D(3X－1)＝9DX＝9×4＝36. 故选D.
4. 设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
则当p在(0，1)内增大时( D )
A.Dξ减小
B.Dξ增大
C.Dξ先减小后增大
D.Dξ先增大后减小
解析：根据随机变量的分布列，得Eξ＝0×＋1×＋2×＋p. ∴Dξ＝＋·＝－p2＋p＋. 当0＜p＜时，Dξ单调递增，当＜p＜1时，Dξ单调递减，故选D.
5. 已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2. 若0＜p1＜p2＜，则( A )
A.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2
B.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＞Dξ2
C.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＜Dξ2
D.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2
解析：由题意可知ξ服从两点分布. 因为Eξ1＝p1，Eξ2＝p2，所以Eξ1＜Eξ2；因为Dξ1＝p1(1－p1)，Dξ2＝p2(1－p2)，所以Dξ1－Dξ2＝(p1－p2)(1－p1－p2)＜0. 故选A.
6. 设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，现已知EX＝，DX＝，则x1＋x2的值为( C )
A.B.
C.3D.
解析：由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，所以
解得x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3，故选C.
7. (多选题)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( ACD )
A.q＝0. 1
B.EX＝2，DX＝1. 4
C.EX＝2，DX＝1. 8
D.EY＝5，DY＝7. 2
解析：由离散型随机变量X的分布列的性质得q＝1－0. 4－0. 1－0. 2－0. 2＝0. 1，
EX＝0×0. 1＋1×0. 4＋2×0. 1＋3×0. 2＋4×0. 2＝2，
DX＝(0－2)2×0. 1＋(1－2)2×0. 4＋(2－2)2×0. 1＋(3－2)2×0. 2＋(4－2)2×0. 2＝1. 8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7. 2. 故选ACD.
8. (多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( AB )
A.P(X＝1)＝EX
B.E(3X＋2)＝4
C.D(3X＋2)＝4
D.DX＝
解析：随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，
∴P(X＝1)＝，EX＝0×＋1×，DX＝，
在A中，P(X＝1)＝EX，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9DX＝9×＝2，故C错误；在D中，DX＝，故D错误. 故选AB.
二、填空题
9. 已知离散型随机变量X的分布列如表所示. 若EX＝0，DX＝1，则a－b的值为.
解析：由题意，知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0，(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，∴a＝，b＝. 则a－b＝.
10. 已知随机变量X的分布列为
则下列结论：①EX＝－；②E(X＋4)＝－；③DX＝；④D(3X＋1)＝5；⑤P(X＞0)＝. 其中正确的是①④.
解析：EX＝(－1)×＋0×＋1×，E(X＋4)＝，故①正确，②错误. DX＝，D(3X＋1)＝9DX＝5，故③错误，④正确. P(X＞0)＝P(X＝1)＝，故⑤错误.
11. 有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX＝3. 36.
解析：由题知X＝6，9，12.
P(X＝6)＝，
P(X＝9)＝，
P(X＝12)＝.
∴X的分布列为
∴EX＝6×＋9×＋12×＝7. 8.
DX＝(6－7. 8)2×＋(9－7. 8)2×＋(12－7. 8)2×＝3. 36.
三、解答题
12. 袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1，2，3，4). 现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值.
解：(1)X的分布列为
则EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1. 5. DX＝(0－1. 5)2×＋(1－1. 5)2×＋(2－1. 5)2×＋(3－1. 5)2×＋(4－1. 5)2×＝2. 75.
(2)由DY＝a2DX，得a2×2. 75＝11，得a＝±2.
又EY＝aEX＋b，所以，
当a＝2时，由1＝2×1. 5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1. 5＋b，得b＝4.
所以或
13. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η. 已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0. 5，3a，a，0. 1，乙击中10，9，8环的概率分别为0. 3，0. 3，0. 2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术.
解：(1)依题意，
有0. 5＋3a＋a＋0. 1＝1，
解得a＝0. 1.
∵乙击中10，9，8环的概率分别为0. 3，0. 3，0. 2，
∴乙击中7环的概率为1－(0. 3＋0. 3＋0. 2)＝0. 2，
∴ξ，η的分布列分别为
(2)由(1)可得Eξ＝10×0. 5＋9×0. 3＋8×0. 1＋7×0. 1＝9. 2，Eη＝10×0. 3＋9×0. 3＋8×0. 2＋7×0. 2＝8. 7，Dξ＝(10－9. 2)2×0. 5＋(9－9. 2)2×0. 3＋(8－9. 2)2×0. 1＋(7－9. 2)2×0. 1＝0. 96，Dη＝(10－8. 7)2×0. 3＋(9－8. 7)2×0. 3＋(8－8. 7)2×0. 2＋(7－8. 7)2×0. 2＝1. 21.
由于Eξ＞Eη，说明甲平均击中的环数比乙高，又Dξ＜Dη，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，∴甲比乙的射击技术好.
14. 已知随机变量X，Y的分布列如下表所示，其中a，b∈(0，1).
若D(XY)＝1，则( C )
A.EX·EY＞0B.EX·EY＜0
C.DX＋DY＞1D.DX＋DY＜1
解析：由分布列知，EX＝－1×a＋1×(1－a)＝1－2a，EY＝－1×b＋1×(1－b)＝1－2b，DX＝E(X2)－(EX)2＝a＋(1－a)－(1－2a)2＝4a(1－a)，DY＝E(Y2)－(EY)2＝b＋(1－b)－(1－2b)2＝4b(1－b)，
∴D(XY)＝E(XY－E(XY))2＝E(X2Y2－2XYE(XY)＋E2(XY))＝E(X2)E(Y2)－2(EX)2(EY)2＋(EX)2(EY)2＝E(X2)E(Y2)－(EX)2(EY)2，
∴D(XY)＝E(X2)E(Y2)－(EX)2(EY)2＝1－(1－2a)2·(1－2b)2＝1
即－(1－2a)2(1－2b)2＝0，∴1－2a＝0或1－2b＝0，
∴EX·EY＝0，DX＋DY＝2－(1－2a)2－(1－2b)2，不妨设1－2a＝0，∵b∈(0，1)，∴0≤(1－2b)2＜1，∴1＜DX＋DY≤2. 故选C.
15. 已知一个袋中装有6个乒乓球，其中4个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会. 记X表示停止摸球时的摸球次数. 若每次摸出乒乓球后不放回，则EX＝，若每次摸出乒乓球后放回，则DX＝.
解析：每次摸出乒乓球后不放回，X的所有可能取值为1，2，3，则
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，则EX＝1×＋2×＋3×.
每次摸出乒乓球后放回，X的所有可能取值为1，2，3，则
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝1－，则EX＝1×＋2×＋3×，DX＝.
X
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