河北省邢台市四校2023-2024学年高一下学期6月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省邢台市四校2023-2024学年高一下学期6月期末联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件正常工作的概率均为,这个电路是通路的概率是( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,若,则( )
A.B.C.D.
3．设,则( )
A.iB.C.D.
4．设l是直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
5．已知的对角线和相交于点O,且,,E为线段中点,则( )
A.B.C.D.
6．对于概率是千分之一的事件,下列说法正确的是( )
A.概率太小,不可能发生B.1000次中一定发生1次
C.1000人中,999人说不发生,1人说发生D.1000次中有可能发生1次
7．如图,在四棱锥中,底面是正方形,,侧棱底面,T是的中点,Q是内的动点,,则Q的轨迹长为( )
A.B.C.D.
8．在正方体中,P,Q分别是线段与的中点,现有如下结论：
①直线与直线所成的角为;
②;
③;
④平面.
则正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
9．如图,已知六棱锥的底面是正六边形,平面,,则下列结论正确的是( )
A.B.平面平面
C.直线平面D.直线与平面所成的角
二、多项选择题
10．下列各对向量中,共线的是( )
A.,B.,
C.,D.,
11．若复数z的模为5，虚部为-4，则复数z可以为( )
A.B.C.D.
12．由于国庆期间有七天长假,不少电影选择在国庆档上映.已知A,B两部电影同时在9月30日全国上映,每天的票房数据统计如图所示.
下列结论中正确的有( )
A.这8天A电影票房的平均数比B电影票房的平均数大
B.这8天A电影票房的方差比B电影票房的方差大
C.这8天A电影票房的中位数与B电影票房的中位数相同
D.根据这8天的票房对比,预测10月8日B电影票房超过A电影票房的概率较大
三、填空题
13．的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,则____________.
14．若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为______________.
15．对n个复数,,…,,如果存在不全为零的实数,,…,,使得等式,则称复数,,…,线性相关,反之,称为线性无关.那么复数,,的关系为_____________.
16．如图所示,在四棱柱中,侧面都是矩形,底面四边形是菱形,且,,若异面直线和所成的角的大小是,则的长度是_______________.
四、解答题
17．已知复数，.
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；
(3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
18．如图①,在菱形中,且,E为的中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥,求证：平面
19．已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)与的夹角；
(3)若向量与平行，求实数的值.
20．为了解网民对某专辑的满意度,某机构从网络上随机选取了1000名网民进行问卷调查,并将问卷中的这1000人根据其满意度评分值（百分制,满意度评分值均在内）分成,,,,5组,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）;
(2)用分层抽样的方法从满意度评分值在,内的网民中抽出6人,再从这6人中随机抽取3人进行专访,求抽到的3人满意度评分值均在内的概率.
21．在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（1）求角A;
（2）若AD是的角平分线,,的面积为,求a的值.
22．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.
（1）求证：平面PAD；
（2）求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：元件B,C都不正常的概率,
则元件B,C至少有一个正常工作的概率为,
而电路是通路,即元件A正常工作,元件B,C至少有一个正常工作同时发生,
所以这个电路是通路的概率.
故选：B.
2．答案：B
解析：向量,,由,得,
所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为,
所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：设l是直线,,是两个不同的平面,
对于A,若,,则与相交或平行,故A错误;
对于B,若,则内存在直线,因为,
所以,由面面垂直的判定定理得,故B正确;
对于C,若,,则l与平行或,故C错误;
对于D,若,,则l与相交、平行或,故D错误.
故选：B.
5．答案：B
解析：,
故选：B.
6．答案：D
解析：概率是千分之一,是指事件发生的可能性为千分之一,每一次发生都是随机的,
每一次可能发生,也可能不发生,1000次中有可能发生1次.
故选：D.
7．答案：B
解析：先找到一个平面总是保持与垂直,取,的中点E,F,连接,,.
因为是正方形,所以.因为底面.所以.又,所以平面.所以.
因为在中,,E为的中点,所以.又,所以平面.
进一步.取,,的中点M,N,S,连接,,,,易证平面平面.
故平面,
记,又Q是内的动点,
根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面与平面的交线段,
在中,,,,
由余弦定理得:.故.
故选：B.
8．答案：C
解析：对于①,如图作于点E,于点F,连接,所以,
且,,且,所以四边形为平行四边形,
所以,所以即为直线与直线所成的角,又,
所以,故①错误;
对于②,因为平面,面,所以,
由①知,所以,故②正确;
对于③,设正方体的边长为2,因为,
在中,,
又因为,所以,即,故③正确;
对于④,由①得,,因为平面,平面,
所以平面,故④正确
所以,②③④正确,①错误,
故选：C.
9．答案：D
解析：与PB在平面的射影AB不垂直,
所以A不成立,又,平面平面,
所以平面平面PBC也不成立;平面,
直线平面PAE也不成立.
在中,,,
故选：D.
10．答案：BC
解析：设,,则,
选项A中,;选项B中,;
选项C中,;选项D中,,满足上述等式的只有B,C项.
故选：BC.
11．答案：CD
解析：因为复数z的虚部为，故设，，
，解得，
，
故选：CD.
12．答案：ABD
解析：对于A,
这8天A电影票房的平均数为,
这8天B电影票房的平均数为,
所以A电影票房的平均数比B电影票房的平均数大,故A正确;
对于B,
这8天A电影票房的方差为
,
这8天B电影票房的方差为
,
所以A电影票房的方差比B电影票房的方差大,故B正确;
对于C,这8天A电影票房的中位数与B电影票房的中位数不相同,故C错误;
对于D,根据这8天A,B的票房对比,B电影票房方差小,数据波动小,且从
10月6日开始超过A电影票房,所以预测10月8日B电影票房超过A电影票房的概率较大,故D正确;
故选：ABD.
13．答案：
解析：在中,由余弦定理知,
又,所以,
又,所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：轴截面是边长为4等边三角形,
所以圆锥底面半径,
圆锥母线.
圆锥的侧面积.
故答案为：.
15．答案：线性相关
解析：由题意得,且不全为零,
整理得,取,则,,
故存在不全为零的实数,,,使得等式
所以复数,,的关系为线性相关.
故答案为：线性相关.
16．答案：
解析：由题意可知,,,且,
,
,
,
由题意可知,,所以,所以.
故答案为：.
17．答案：(1)1
(2)
(3)
解析：(1)若z是纯虚数，则，
，则m的值为1；
(2)若z在复平面内对应的点在直线上，
则，解得
(3)若z在复平面内对应的点在第四象限，则，
，则m的取值范围为.
18．答案：证明见解析
解析：翻折前：
连接.
四边形为菱形,, 是等边三角形.
为的中点, ,.
翻折后：
,.
,,,
, ,
, ,.
又,平面,平面,
平面.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)；
(2)因为，
所以，又，
所以，又，
所以与的夹角为；
(3)因为向量与平行，
所以存在实数k使，
所以，解得.
20．答案：(1),平均数为75.5,中位数为75
(2)
解析：(1)由,解得.
满意度评分值的平均数.
设满意度评分值的中位数为x,由图象可知,
则,解得,
即满意度评分值的中位数为75.
(2)这1000名网民中,满意度评分值在内的有人,
满意度评分值在内的有人.
抽取的6人中满意度评分值在内的有2人,记这2人分别为A,B,
满意度评分值在内的有4人,记这4人分别为a,b,c,d,
从6人中随机抽取3人的情况为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共20种.
其中3人满意度评分值均在内的情况为,,,,
共4种,
所以抽到的3人满意度评分值均在内的概率为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由条件知
,
此即,故由正弦定理得,
再由余弦定理知,
且,所以.
（2）由,,
结合正弦定理得,
而,故,.
由于,故.
所以,故.
而,故.
所以.
故.
22．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：在菱形ABCD中，连接，，为正二角形.是AD的中点，.
平面平面ABCD，
且平面平面，平面PAD.
（2）证明：连接PG.
是正三角形，G是AD的中点，
，由（1）知，又.，平面PBG，
平面PBG.而平面，.