新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）06 导数中的公切线问题（2份打包，原卷版+含解析）

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一、公切线问题一般思路
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
考法1：求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则f′(x1)＝g′(x2)＝.
考法2：由公切线求参数的值或范围问题
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
二、题型精讲精练
【典例1】若直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，分别切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由导数的几何意义可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①
则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，②
将①代入②得 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为1或 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】已知直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【解析】依题意，可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
且 SKIPIF 1 < 0 ，∴存在唯一实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练】
1.求公切线方程
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】画出图象，从而确定正确选项.
【详解】画出 SKIPIF 1 < 0 以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数 SKIPIF 1 < 0 ，若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处点的切线重合，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 后可得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ……①
又 SKIPIF 1 < 0 ，即
SKIPIF 1 < 0 ……②
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若经过点 SKIPIF 1 < 0 存在一条直线l与曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都相切，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】先求得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，然后与 SKIPIF 1 < 0 联立，由 SKIPIF 1 < 0 求解
【详解】解析：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线的条数为
A．三条B．二条C．一条D．0条
【答案】A
【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.
【详解】设公切线与 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，代入化简得 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，原函数在 SKIPIF 1 < 0 ，极大值 SKIPIF 1 < 0
故函数和x轴有交3个点，方程 SKIPIF 1 < 0 有三解，故切线有3条.
故选A.
【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在公共点处的切线相同，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公共点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，进而可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的公共点设为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.
6．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】C
【分析】先求直线 SKIPIF 1 < 0 为函数的图象上一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，再设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据函数图象的交点即可得出结论．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，①
设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 也为 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，在同一直角坐标系中画出 SKIPIF 1 < 0 的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.
故选：C
二、填空题
7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）与曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都相切的直线方程为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.
【详解】设直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以该直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）， SKIPIF 1 < 0 ，请写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的一条公切线的方程______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】假设切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入公切线方程即可得到结果.
【详解】设公切线与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 公切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 公切线方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 公切线方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知直线l与曲线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都相切，则直线l的方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别求出两曲线的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，解方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即得解.
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
10．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】设曲线 SKIPIF 1 < 0 上切点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
同理，设曲线 SKIPIF 1 < 0 上切点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2.公切线中的参数问题
一、单选题
1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的公切线，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】D
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 求得切线方程，结合该切线也是 SKIPIF 1 < 0 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得正确答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （此时①为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时①可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 也相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．0D．1
【答案】B
【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 也相切，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相除，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线也与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 所在的区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设切线l与曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.
【详解】设该切线为l，对 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
设l与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则l的方程又可以写为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
消去m，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图像存在公共切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】分别设公切线与 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的切点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据导数的几何意义列式，再化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，再求导分析 SKIPIF 1 < 0 的最大值即可
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设公切线与 SKIPIF 1 < 0 的图像切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
与曲线 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的最大值为e，
故选：A.
5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象都相切，则称直线l为函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线．若函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．eB． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设直线与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .两条切线重合，即可得出 SKIPIF 1 < 0 有唯一实根.构造 SKIPIF 1 < 0 ，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.
【详解】设直线与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
即该直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设直线与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
即该直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有且只有一条公切线，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 有唯一实根.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
解 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 图象如图所示，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有唯一实根，所以只有 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若总存在两条不同的直线与函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 图象均相切，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的切点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据导数几何意义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即该方程有两个不同的实根，则设 SKIPIF 1 < 0 ，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.
【详解】解：设函数 SKIPIF 1 < 0 上的切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 上的切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则公切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
若总存在两条不同的直线与函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 图象均相切，则方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的实根，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，得公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入切点 SKIPIF 1 < 0 将双变量方程 SKIPIF 1 < 0 转化为单变量方程 SKIPIF 1 < 0 ，根据含参方程进行“参变分离”得 SKIPIF 1 < 0 ，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围.
7．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点，设 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点，
对于曲线 SKIPIF 1 < 0 ，其导数为 SKIPIF 1 < 0 ，对于曲线 SKIPIF 1 < 0 ，其导数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 且当x趋于 SKIPIF 1 < 0 时，， SKIPIF 1 < 0 趋于 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 趋于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 趋于 SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D．
8．（2023·河北·统考模拟预测）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 存在公切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，设公切线与 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，在令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设公切线与 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.
二、多选题
9．（2023·湖北·统考模拟预测）若存在直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 都相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值可以是（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】设该直线与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，求出切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设该直线与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，求出切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组，得到 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而得到最值，则可得到 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.
【详解】设该直线与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设该直线与 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 0；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确；
对于C， 因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
对于D， 因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以D不正确.
故选：ABC
10．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．存在实数m，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切也与 SKIPIF 1 < 0 相切
B．存在实数k，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切也与 SKIPIF 1 < 0 相切
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调
D．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有极大值，无极小值
【答案】AB
【分析】对AB，设直线与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别切于点 SKIPIF 1 < 0 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；
对CD，令 SKIPIF 1 < 0 ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.
【详解】对AB，设直线l与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别切于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，公切线为 SKIPIF 1 < 0 ，此时存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，公切线为 SKIPIF 1 < 0 ，此时存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足题意，AB对；
对CD，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，CD错.
故选：AB.
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有一条斜率为2的公切线，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.
【详解】设公切线在曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 上的切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为切点 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 在切线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设公切线与曲线的切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用导数的几何意义分别求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
【详解】设公切线与曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 上的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 上的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∴正实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若存在直线 SKIPIF 1 < 0 既是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，也是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设切线与两曲线的切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 有解，故令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求得其最值，即可求得答案.
【详解】由题意知两曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 存在公切线，
SKIPIF 1 < 0 时，两曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
则 SKIPIF 1 < 0 的导数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，
设公切线与 SKIPIF 1 < 0 相切的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程也可写为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 有解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0