新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（2份打包，原卷版+含解析）

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一、椭圆的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可按下面的公式计算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 （记忆：左加右减）
【焦半径形式2】椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的焦半径 SKIPIF 1 < 0 ，若延长 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦 SKIPIF 1 < 0 .
二、双曲线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可按下面的公式计算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 （记忆：左加右减）
【焦半径形式2】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的焦半径 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦 SKIPIF 1 < 0 .（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
三、抛物线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】设点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：
【焦半径形式2】直线AB过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角
（1）弦长AB＝eq \f(2p,sin2α)
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥ SKIPIF 1 < 0 ＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).
二、题型精讲精练
【典例1】椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_______.
【典例2】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线上的一点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的坐标为_______.
【典例3】过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____.
【典例4】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.
【题型训练-刷模拟】
1.椭圆的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点M在椭圆C上，当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时，三角形 SKIPIF 1 < 0 面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
2．已知动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．1
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，若过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，EF为圆 SKIPIF 1 < 0 的任意一条直径，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为第一象限内 SKIPIF 1 < 0 上一点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为第一象限内椭圆上的两个点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
7．如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，并且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 和原点 SKIPIF 1 < 0 的直线交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上位于 SKIPIF 1 < 0 轴上方的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
11．已知椭圆C的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，P为椭圆C上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的两个端点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上移动，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ．
13．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右两个焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作斜率为1的直线，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若第一象限的点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 .
15．若直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为其右焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为 .
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若存在点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
2.双曲线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点到焦点的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 无交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线的左右焦点），则 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的半焦距）的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
3．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知动点P在双曲线C： SKIPIF 1 < 0 上，双曲线C的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论：
①C的离心率为2；
②C的焦点弦最短为6；
③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；
④当动点P在双曲线C的左支上时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
5．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 .左，右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，其中 SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是 .
6．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是坐标原点），则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 .
3.抛物线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的斜率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 且经过点 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．
A．①②B．②③C．③④D．①②③
6．已知过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的准线l与x轴交于点C， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则准线l的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C．6D．12
8．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交 SKIPIF 1 < 0 于D，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
9．已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 的延长线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
10．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的长是焦半径 SKIPIF 1 < 0 长的3倍，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 ．
11．已知O为坐标原点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点（A位于第一象限），且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线OA的斜率为 ．
12．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 和准线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线的一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
13．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有 SKIPIF 1 < 0 ，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则当四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 时，p的值为 ．
14．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 重合，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 轴上方）且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 只与双曲线右支相交于两点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
15．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在第一象限），若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 .
16．焦点为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线 SKIPIF 1 < 0 上有不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线的准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
标准方程
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图形
焦半径公式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
焦点弦公式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0