山东省日照市2023-2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题（解析版）

这是一份山东省日照市2023-2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了05， 在内，与角终边相同的角是， 函数的最小正周期是， 函数的定义域为， 已知向量，，若，则等内容，欢迎下载使用。

数学试题
2024.05
考生注意：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在内，与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由终边相同的角的定义计算即可得.
【详解】，而其它项对应角都不满足.
故选：B.
2. 半径为的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由弧长公式计算即可得.
【详解】由弧长公式得.
故选：B.
3. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】函数的最小正周期是.
故选：D
4. 已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由共线向量基本定理即得.
【详解】∵､､三点共线，
∴，
解得.
故选：A.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，结合解出即可得.
【详解】由题意可得，即，
又，故，即定义域为.
故选：C.
6. 已知向量，，若，则（ ）
A. 或B. 或C. 或3D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐标表示计算可得，结合三角函数基本关系将弦化切后计算即可得.
【详解】由，则有，
即，则，
即有，
解得或.
故选：A.
7. 的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设中的向量关系可得是以为斜边的直角三角形，结合半径及可求，根据投影数量的定义可计算投影数量，从而可得正确的选项.
【详解】由题意可得：，即：，
即外接圆的圆心为边的中点，则是以为斜边的直角三角形，
结合有为等边三角形，故，
故，
则向量在向量方向上的投影数量为.
故选：D.
8. 已知函数，若存在，满足，，且，，则满足条件的实数的最小值为（ ）
A. 506B. 507C. 508D. 509
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数性质可得要使实数的值最小，应尽可能多让取得最值点，则当取一个零点，取最后一个零点时，才能最小，计算即可得.
【详解】函数，对，，
都有，
要使实数的值最小，应尽可能多让取得最值点，
，，
且，
在一个周期上的最大值为4，且，
取一个零点，取最后一个零点时，才能最小，
，，，，，，，
所以的最小值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 可以作为平面向量的一组基底
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项计算判断即得.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，不共线，可以作为平面向量的一组基底，B正确；
对于C，，因此，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AB
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合函数图象依次求出,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐一判断即得.
【详解】由图可得，，，解得，故A正确；
又函数图象经过点，则，即，
因，故，解得，故.
对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确；
对于C，，是奇函数，故C错误；
对于D，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
将得到函数的图象，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数
B. 函数存在无穷多个零点
C
D. 至少存在三个不同的实数，使得为偶函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：计算是否等于即可得；对B：结合函数的周期性，将研究在上的零点转化为研究在上的零点个数，从而可分与讨论即可得；对C：借助诱导公式计算是否等于即可得；对D：结合函数性质，可得至少存在、、三个值，使得为偶函数.
【详解】对A：
，
故是以为周期的函数，故A正确；
对B：因为的周期为，所以只需研究在区间上的正负，
当时，，
由且，故在上恒成立；
当时，，
设，
则，
当时，有最大值， 当时，，
当时，，故的最小值为，
综上所述，在上的取值均大于，没有零点，
故在上没有实数根，即在上没有零点，故B错误；
对C：
，
，
故，故C正确；
对D：由可得的图象关于直线对称，
当时，，图象关于轴对称，此时为偶函数，
结合的周期为，可知时，为偶函数，
又因为，
所以的图象关于直线对称，可知当时，为偶函数，
综上所述，当时，至少存在、、三个值，
使得偶函数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：B选项中关键点在于结合函数的周期性，将研究在上的零点转化为研究在上的零点个数，从而可分与讨论即可得.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若角的终边与单位圆相交于点，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】由三角函数定义可知等于角的终边与单位圆交点的纵坐标.
【详解】由三角函数定义，及已知点坐标知.
故答案为：.
13. 如图，在中，，，为上一点，且，若，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】借助平面向量基本定理结合可得，再利用数量积公式计算即可得.
【详解】根据题意，可得，
由，则，
设，则，
，
结合，可得，故，所以，
故.
故答案为：.
14. 已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围.
【详解】
如图，设,则,
因对任意实数都有，成立，
即对任意实数都有，成立，
因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，,
即点在以为直径的圆上，设圆心为.
则，而为向量在上的射影的长.
过点作，交于点，交圆于点，因则，
则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值）
则,
不妨设,则
于是，，
因，则，而，
即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题.
解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出，其二，求解时，应利用向量数量积的几何意义—投影向量，结合图形理解并转化求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）求向量与夹角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由向量的坐标计算向量的模长和数量积，再由向量垂直的充要条件化简，代入解方程即得；
（2）利用向量的夹角公式求得，再由同角的三角函数关系计算.
【小问1详解】
因，，则有
由可得，
，解得，；
【小问2详解】
因，又，
故.
16. 已知向量，，函数．
（1）求函数在区间上的最值；
（2）求函数在区间上的单调递增区间．
【答案】（1）最大值为，最小值为
（2）、.
【解析】
【分析】（1）借助向量数量积公式与辅助角公式可得，结合正弦型函数的性质即可得解；
（2）借助正弦型函数单调性可得的单调递增区间，即可得其在上的单调递增区间.
【小问1详解】
，
当时，，
可得，
故当时，有最小值，
当时，有最大值，
综上所述，的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
由，
令，
解得，
所以在上的增区间为，
故在区间上的单调递增区间为与.
17. 将函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且为偶函数．
（1）求函数的解析式和对称中心；
（2）若对，当时，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）借助函数平移与偶函数的性质计算即可得，即可得的解析式，结合余弦型函数的对称性即可得解；
（2）由题意可得在上单调递增，结合三角恒等变换与正弦型函数的单调性计算即可得解.
【小问1详解】
将向左平移后得，
由偶函数，故，又，故，
即，，
令，解得，
即的对称中心为；
【小问2详解】
由，故，
即，
即，
令，
由题意可知在上为增函数，
当时，，
则有，解得.
18. 如图，已知是的外心，，，，，．
（1）判断形状，且求时的值；
（2）当时，
①求的值（用含的式子表示）；
②若，求集合中的最小元素．
【答案】（1）为等边三角形；
（2）①②
【解析】
【分析】（1）借助向量的数量积公式计算即可得其夹角，即可得其形状，由题意可得的中点为，即可结合向量的线性运算得解；
（2）①由题意可得、、分别为，，的等分点，借助向量的线性运算与数量积公式计算即可得；②借助一次函数的单调性逐步计算即可得.
【小问1详解】
，，
则，即，故为等边三角形，
由题意知的中点为，且，
，，
故；
【小问2详解】
①由为等边三角形，为外接圆的圆心，
故，，，，
，，，
，，
又，故、、分别为，，的等分点，
；
同理，
故；
②令，
由，故，
可以看为自变量为的一次函数，
在时取得最小值，
同理，由，在时取得最小值，，
在时取得最小值，，
故的最小值为，
即集合中的最小元素为.
19. 已知函数，其中为常数．
（1）当，时，若，求的值；
（2）设函数在上有两个零点，
①求t取值范围；
②证明：．
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解；
（2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证.
【小问1详解】
由，则，
当时，，而，
故或（舍），故，
【小问2详解】
①令，因为，所以，则，
则，
由在上单调递增，
故关于的方程在上有两个不相等实数根，
即有，
解得，即的取值范围为；
②令，，
则，为关于的方程的两根，
则有，，
所以，，
所以，
即，
即有，由①知，
故，又，故，
由于，则，故，
又在上单调递增，故，
即.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助韦达定理得到，，从而可得，再结合三角函数在上的单调性与①中所得计算即可得解.