2024年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学四模试卷（含答案）

这是一份2024年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学四模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大是( )
A. aB. bC. cD. d
2.长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 三角形任意两边之和大于第三边
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图相同B. 左视图相同C. 俯视图相同D. 三种视图都不相同
4.若aA. ax−b+3D. 2−a<2−b
5.如图，直线a与直线b、c分别交于点A、B，将含45°角的直角三角板BCD如图所示放置，∠1=120°.若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转的最小角度为( )
A. 5°B. 15°
C. 30°D. 45°
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ABD为等边三角形，下列作法不正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，坡比i=12，则这两棵树之间的坡面AB的长为( )
A. 1m
B. 9m
C. 2 10m
D. 3 5m
8.小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y(分钟)与录字速度x(字/分钟)成反比例函数的图象，该图象经过点(150,10).根据图象可知，下列说法不正确的是( )
A. 这篇文章一共1500字
B. 当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟
C. 小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字
D. 小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：(−2)2+(12)−1−|−3|= ______．
10.若二次函数y=−x2+x+k(k为常数)的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是______．
11.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，继续排列下去，如果第n幅图中有33个菱形，则n= ______
12.如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ= ______°.
13.如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角∠AOB=150°，顶部边缘A对应处离桌面的高度AC=12cm.当将电脑屏幕绕点O旋转至张角∠A′OB=108°时(点A′是A的对应点)，顶部边缘A处绕点O旋转到A′处转过的弧长为______cm.(结果保留π)
14.如图，抛物线y=12x2−2x+c交x轴于点A(a,0)和B(b,0)，点A在点B左侧，交y轴于点C(0,c)，抛物线的顶点为D.给出下面四个结论：
①y≥c−2；
②当y<0时，a③抛物线上有点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x14，则y1>y2；
④当c=32时，对于抛物线上两点M(m,n1)，N(m+2,n2)，若n1<0，则n2>0．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(a2−1)÷a+1a−1+3(a2−23a)，其中a=1− 22．
16.(本小题6分)
动物分为无脊椎动物和脊椎动物，其中脊椎动物又分为：鱼类、两栖类、爬行类、鸟类和哺乳动物.下面有三张正面印有不同动物的卡片，A是老虎，B是燕子，C是鹦鹉，三张卡片除正面印的动物不同，其余均相同，将三张卡片背面向上放在桌面上.先从中随机抽取一张，记下动物名称后放回，再从中随机抽取一张，并记下动物名称.请用画树状图(或列表)的方法求抽取的两张卡片都是鸟类的概率．
17.(本小题6分)
长春轨道交通7号线南起汽车公园站，北至东环城路站，一期全长23.11千米，共设19座车站，全部为地下车站，预计2025年通车.该项工程使用我因自主研发的“春城一号”盾构机.在挖掘某段长1200米的全风化泥岩和粉质粘土路段时，盾构机在这段的工作效率下降了20%，打通这段路段比正常路段施工多用了30天，求正常路段盾构机每天能掘进多少米．
18.(本小题7分)
如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，E为线段AO上一点，⊙E与AD相切于点F．
(1)求证：AB是⊙E的切线．
(2)若⊙E经过点O，tan∠BAC=512，且⊙E的半径为10，则菱形ABCD的边长为______．
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格.每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，点C在网格线上且不是格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)在图①中，作四边形ABCD，使∠DAB=90°，且点D为格点．
(2)在图②中，作△ABC的中线BE．
(3)在图③中，作▱ABCF．
20.(本小题7分)
体育王老师为了提高学生男子1000米跑训练的科学性，对学生的配速、心率进行了测试，下面信息是从全年级600名男生中随机抽取的20名男生1000米跑的测试信息：
信息一：20名男生1000米跑的配速(分.秒)分组及频数分布直方图为：A：x≤3.40；B：3.404.40．
信息二：D组5人的配速为：4.12，4.16，4.20，4.22，4.22．
信息三：完成1000米跑后的心率(次)：
根据以上信息解答下列问题：
(1)20名男生1000米跑配速(分秒)的中位数是______．
(2)若又有4名男生参加了此次测试，配速(分.秒)分别为：4.15，4.15，4.18，4.20，则中位数是否会受到影响：______.(填“受影响”或“不受影响”)
(3)若心率不超过150次，可以增加训练强度，估计全年级600名男生可以有多少人能增加训练强度．
21.(本小题8分)
随着城市基础建设的完善，长春市新修了很多绿道，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从伊通河绿道某地出发同向骑行，乙中途停车整理装备用了6分钟，然后继续骑行，追上甲后又骑行了2分钟一起到达终点.甲、乙骑行的路程s(千米)与骑行时间t(分钟)之间的函数关系如图所示．

(1)求甲的骑行速度．
(2)求乙整理完装备后到追上甲时s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
(3)两人相距不超过0.06千米时，可以互相联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以联系到甲．
22.(本小题9分)
【问题初探】数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是边BC上一点，连结AD，在AB右侧作△ADE，使DE=AD，∠ADE=90°，连结CE.求证：∠DCE=135°．

①小智同学从△ABC和△ADE都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明△ABD～△ACE，将∠DCE转化为∠ABD+∠ACB．
②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段AB上截取BP=BD，连结DP，通过证明△APD≌△DCE，将∠DCE转化为∠APD．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点(点E不与点B重合)，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段PE，连结AP、DP，若AB=6，则△ADP周长的最小值为______．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=5，BC=11，△ABC的面积为22，AE⊥BC于点E，动点P从点A出发，沿折线AB−BC向终点C运动，在AB上的速度为每秒5个单位长度，在BC上的速度为每秒2个单位长度，当点P出发后，且不与点E重合时，将点E绕PA的中点旋转180°得到点F，连结AF、PF、PE.设点P的运动时间为t(秒)(t>0)．
(1)AE长为______．
(2)用含t的代数式表示四边形AFPE的面积S．
(3)当四边形AFPE被直线AC分得的两部分面积之比为1：3时，求t的值．
(4)当直线CF垂直于△ABC的一边所在的直线时，直接写出t的值．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)的顶点A(1,−3)，点P是抛物线上一点，横坐标为m，过点P作PQ⊥y轴于点Q，点M(2−m,m−4)，以QM和QP为邻边作▱PQMN．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)当点P在线段MN上时，求m的值．
(3)当P、A、N不重合时，连结PA、NA，当线段PA、NA、PN满足其中两条线段之和等于第三条线段时，求m的取值范围．
(4)若点P在抛物线对称轴右侧，连结AQ、AN、QN，当S△AQN=2S△MQN时，直接写出点P的坐标．
参考答案
1.【答案】A
解：a的相反数是3.5，b的相反数是2.5，c的相反数是0，d的相反数是−5，
3.5>2.5>0>−5，
故选：A．
2.【答案】B
解：由垂线段最短可知，小明走新民大街路程最短，
故选：B．
3.【答案】C
【解答】
解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
易得平移前后几何体的俯视图相同，
故选C．
4.【答案】C
解：A、∵a0，
∴ax故A不符合题意；
B、∵a∴3a<3b，
故B不符合题意；
C、∵a∴−a>−b，
∴−a+3>−b+3，
故C符合题意；
D、∵a∴−a>−b，
∴2−a>2−b，
故D不符合题意；
故选：C．
5.【答案】B
解：如图，
∵直线b与直线c平行，
∴∠ABD=∠MAB=45°，
∵∠1=120°，
∴旋转的最小角度=180°−45°−120°=15°，
故选：B．
6.【答案】D
解：A.由作法得D点为AC的垂直平分线与BC的交点，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，则∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形，所以A选项不符合题意；
B.由作法得BA=BD，而∠B=60°，所以△ABD为等边三角形，所以B选项不符合题意；
C.由作法得D点为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB，而∠B=60°，所以△ABD为等边三角形，所以C选项不符合题意；
D.由作法得AD平分∠BAC，则∠BAD=45°，所以△ABD为不是等边三角形，所以D选项符合题意．
故选：D．
7.【答案】D
解：在Rt△ABC中，tanα=12，
则BCAC=12，
∵AC=6m，
∴BC=3m，
∴AB= AC2+BC2= 62+32=3 5(m)，
故选：D．
8.【答案】C
解：设y=kx，
把(150,10)代入y=kx得，10=k150，
∴k=1500，
∴y与x的函数表达式为y=1500x．
A.当录字时间y(分钟)与录字速度x的乘积为1500字，即这篇文章一共1500字，故本选项不符合题意；
B.当录字速度x=75时，y=150075=20(字/分)，故本选项不符合题意；
C.当录字时间y=35−20=15时，x=150015=100，
∵k>0，
在第一象限内，y随x的增大而减小，
即小丽每分钟至少应录入100字，故本选项符合题意；
D.当x=12时，y=1500125=12(分钟)，
当x=125×(1+12%)=150时，y=1500150=10，
实际用的时间是1500125×(1+25%)=9.6(分钟)，
12−10=2(分钟)，
比原计划提前2分钟，故本选项不符合题意．
故选：C．
9.【答案】3
解：(−2)2+(12)−1−|−3|
=4+112−3
=4+2−3
=3．
故答案为：3．
10.【答案】k>−14
解：∵二次函数y=−x2+x+k(k为常数)的图象与x轴有两个公共点，
∴b2−4ac=12−4×(−1)×k>0，
解得k>−14，
故答案为：k>−14．
11.【答案】17
解：由题意知，第1幅图中有1个菱形，
第2幅图中有2+1=3个菱形，
第3幅图中有3+2=5个菱形，
……，
∴可推导一般性规律为第n幅图中有n+(n−1)=2n−1个菱形，
∴2n−1=33，
解得，n=17，
故答案为：17．
12.【答案】180
解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，
∵FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，
∴∠OAF=∠OBG=∠OCH=∠ODI=∠OEJ=90°，
即(∠BAF+∠OAB)+(∠CBG+∠OBC)+(∠DCH+∠OCD)+(∠EDI+∠ODE)+(∠AEJ+∠OEA)=90°×5=450°，
∵OA=OB=OC=OD=OE，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∠OCD=∠ODC，∠ODE=∠OED，OEA=∠OAE，
∴∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=12×五边形ABCDE内角和=12×(5−2)×180°=270°，
∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=(∠BAF+∠OAB)+(∠CBG+∠OBC)+(∠DCH+∠OCD)+(∠EDI+∠ODE)+(∠AEJ+∠OEA)−(∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA)=450°−270°=180°，
故答案为：180．
13.【答案】285π
解：∵∠AOB=150°，
∴∠AOC=30°．
由题意得：∠C=90°．
∵AC=12cm，
∴AO=24(cm)．
∵∠A′OB=108°，
∴∠AOA′=42°．
∴顶部边缘A处绕点O旋转到A′处转过的弧长为：42π×24180=28π5(cm)．
故答案为：285π.
14.【答案】①②④
解：由题意，∵抛物线为y=12x2−2x+c=12(x−2)2+c−2，
又a=12>0，
∴当x=2时，y取最小值为c−2．
∴y≥c−2，故①正确．
∵抛物线交x轴于点A(a,0)和B(b,0)，
又抛物线开口向上，
∴结合图象，当y<0时，a∵抛物线为y=12x2−2x+c=12(x−2)2+c−2，
∴抛物线的对称轴是直线x=2．
又∵x14，
∴P(x1,y1)到对称轴的距离小于Q(x2,y2)到对称轴的距离．
∴y1故③错误．
当c=32时，y=12x2−2x+c=12x2−2x+32，
令y=0，则12x2−2x+32=0，
∴x1=1，x2=3．
∴A(1,0)，B(3,0)．
若n1<0，则1∴3∴n2>0．
故④正确．
综上，正确的有：①②④．
故答案为：①②④．
15.【答案】解：原式=(a−1)(a+1)⋅a−1a+1+3a2−2a
=(a−1)2+3a2−2a
=a2−2a+1+3a2−2a
=4a2−4a+1
=(2a−1)2，
∵a=1− 22，
∴2a−1=− 2，
∴原式=(− 2)2
=2．
16.【答案】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是鸟类的结果有：BB，BC，CB，CC，共4种，
∴抽取的两张卡片都是鸟类的概率为49．
17.【答案】解：设正常路段盾构机每天能掘进x米，则全风化泥岩和粉质粘土路段盾构机每天能掘进(1−20%)x米，
根据题意得：1200(1−20%)x−1200x=30，
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意．
答：正常路段盾构机每天能掘进10米．
18.【答案】39
(1)证明：如图1，连接EF，作EG⊥AB于点G，
∵⊙E与AD相切于点F，
∴EF是⊙E的半径，且EF⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO⊥BD，
∴AO平分∠BAD，
∵点E为线段AO上一点，且EG⊥AB，EF⊥AD，
∴EG=EF，
∴点G在⊙E上，
∵EG是⊙E的半径，且AB⊥EG，
∴AB是⊙E的切线．
(2)解：如图2，⊙E经过点O，设AB与⊙E相切于点H，连接EH，
∵且⊙E的半径为10，
∴EH=EO=10，
∵∠AHE=∠AOB=90°，tan∠BAC=512，
∴EHAH=tan∠BAC=512，
∴AH=125EH=125×10=24，
∴AE= EH2+AH2= 102+242=26，
∴AO=AE+EO=26+10=36，
∵AOAB=AHAE=cs∠BAC=2426=1213，
∴AB=1312AO=1312×36=39，
∴菱形ABCD的边长为39，
故答案为：39．
19.【答案】解：(1)如图①中，四边形ABCD即为所求；

(2)如图②中，线段BE即为所求；
(3)如图③中，四边形ABCF即为所求．
20.
解：(1)20名男生1000米跑配速(分秒)的中位数是4.16+4.202=4.18；
故答案为：4.18；
(2)若又有4名男生参加了此次测试，配速(分．秒)分别为：4.15，4.15，4.18，4.20，
则中位数是4.16+4.182=4.17≠4.18，
∴会受影响；
故答案为：受影响；
(3)由信息三可知，心率不超过150次有7人，
∴600×720=210(人)，
答：估计全年级600名男生可以有210人能增加训练强度．
21.【答案】解：(1)甲的骑行速度为V甲=930=0.3(千米/分钟)，
答：甲的骑行速度为0.3千米/分钟，
(2)设函数解析式为：s=kt+b，图象过点(16,3)，(30,9)，
16k+b=330k+b=9，解得k=37b=−277，
∴s与t的函数关系式为s=37t−277(16≤t≤30)，
答：乙整理完装备后到追上甲时s与t的函数关系式为s=37t−277(16≤t≤30)，
(3)∵甲的函数解析式为：s=0.3t，
∴16分钟甲行驶的路程0.3×16=4.8(km)，两人相距4.8−3=1.8(km)，
乙中途停车整理装备后行驶的速度37km/min，
设乙整理完装备后至少再骑行m分钟可以联系到甲
根据题意得：0.3m+1.8−37m≤0.06，
解得：m≥20315．
答：乙整理完装备后至少再骑行20315分钟可以联系到甲．
22.
(1)证明：选择小智同学的解题思路：
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AC= 2AB，
∵DE=AD，∠ADE=90°，
∴∠DAE=∠DEA=45°，AE= 2AD，
∴∠BAC=∠DAE，ABAC=ADAE= 22，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△АВD∽△АСЕ，
∴∠ACE=∠ABD=90°，
∴∠DCE=45°+90°=135°；
选择小慧同学的解题思路：
如图②，在线段AB上截取BP=BD，连接DP，
∵AB=BC，BP=BD，
∴AP=DC，
∵∠ABC=90°，
∴∠BPD=∠BDP=45°，
∴∠PAD+∠ADP=45°，∠APD=135°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+∠CDE=180°−45°−90°=45°，
∴∠PAD=∠CDE，
又∵AD=DE，
∴△APD≌△DCE(SAS)，
∴∠APD=∠DCE=135°，
即∠DCE=135°；
(2)解：如图③，在线段BC延长线上截取截取CD′，使得CD′=CD，连接CP、D′P、D′A，
由【问题初探】可知：∠ECP=135°，
又∵在正方形ABCD中，∠BCD=∠DCD′=90°，
∴∠DCP=∠PCD′=45°，
∴D与D′是关于D′P的对称，
∴DP=D′P，
∴DP+AP=DP+AP≥AD′，
当A、P、D′三点共线时，DP+AP取最小值，
DP+АP=АD′= AB2+BD′2= 62+(6+6)2=6 5，
∴△ADP周长的最小值为：DP+АP+АD=6 5+6，
故答案为：6 5+6．
23.
(1)解：∵BC=11，△ABC的面积为22，AE⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AE=22，
∴AE=(22×2)+11=4，
故答案为4；
(2)∵AE⊥BC，AB=5，AE=4，
∴BE=3，
∴CE=BC−BE=11−3=8，
∴AC= AE2+EC2= 42+82=4 5，
∴S△ABE=12BE⋅AE=12×3×4=6，
∴点P到达B点时间=55=1(秒)，
点P到达E点时间=1+32=52(秒)，
点P到达C点时间=1+112=132(秒)，
①如图，当P在AB上(不含点A、B)运动时，此时0∵将点E绕PA的中点旋转180°得到点F，
∴OA=OP，OF=OE，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴FP=AE=4，FP//AE，
∴∠FPA=∠BAE，
∴sin∠FPA=sin∠BAE=BEAB=35，
∴AG=AP⋅sin∠FPA=5t×35=3t，
∴S▱AEPF=FP⋅AG=12t；
②如图，当P在BE上(含点B)运动时，此时1≤t<52，
同理可得：四边形AEPF是平行四边形，又AE⊥BE，
∴▱AEPF是矩形，
∵PE=3−2(t−1)=5−2t，
∴S▱AEPF=PE⋅AE=4(5−2t)=−8t+20，
③如图，当P在EC上(含点C)运动时，此时52同理可得：四边形AEPF是平行四边形，
又∵AE⊥BE，
∴▱AEPF是矩形，
∵PE=2(t−1)−3=2t−5，
∴S▱AEPF=PE⋅AE=4(2t−5)=8t−20，
综上所述：S▱AEPF=12t(0(3)①当P在AB上(不含点A、B)运动时，此时0由(2)可得：AG=3t，
∵PF//AE，AE⊥BC，GA⊥FP，
∴AG//BC，
∴∠B=∠GAP，∠QAG=∠C，
∵tan∠GAP=tan∠B=AEBE=43，tan∠QAG=tan∠C=AEEC=48=12，四边形AEPF是平行四边形，
∴GP=AGtan∠PAG=3t×43=4t，QG=AG⋅tan∠QAG=32t，
∴FQ=FP−QG−PG=4−4t−32t=4−112t，
∴S△AFQ=12FQ⋅AG=12⋅(4−112t)⋅3t=32(4−112t)t，
当四边形AFPE被直线AC分得的两部分面积之比为1：3时，
即S△AFQ=14S▱AEPF或S△AFQ=34S▱AEPF，
∴32(4−112t)t=14⋅12t或32(4−112t)t=34⋅12t，
解得：t1=0(舍去)，t2=411，t3=−411(负值舍去)，
②当P在BE上(含点B)运动时，直线AC不分割四边形AFPE；
③当P在EC上(含点C)运动时，此时52∵▱AEPF是矩形，
∴AF=EP=2t−5，CP=11−2(t−1)=13−2t，
∵PQ=PC⋅tan∠C=(13−2t)⋅12=13−2t2，
∵FQ=FP−PQ=4−13−2t2=2t−52，
∴S△AFQ=12FQ⋅AF=12⋅2t−52⋅(2t−5)=14(2t−5)2，
当四边形AFPE被直线AC分得的两部分面积之比为1：3时，
即S△AFQ=14S▱AEPF或S△AFQ=34S▱AEPF，
∴14(2t−5)2=14(8t−20)或14(2t−5)2=34(8t−20)，
解得：t1=92，t2=52(不合题意舍去)，t3=172(不合题意舍去)，
综上所述：t=411或t=92，四边形AFPE被直线AC分得的两部分面积之比为1：3．
(4)①当P在AB上运动时，当CF⊥AB时，垂足为K，如图所示，过点A作GA⊥FP，垂足为G，
∵AG=3t，GP=4t，
∴KC=BC⋅sin∠B=11×45=445，FK=PF⋅sin∠FPK=4×35=125，PK=PF⋅cs∠FPK=4×45=165，
∴FG=4−4t，AK=PK−AP=165−5t，
在Rt△AKC中，AK2+KC2=AC2，
∴(445)2+(165−5t)2=(4 5)2，
解得：t1=825，t2=2425(AK小于0，不合题意舍去)，
②当P在BE上运动时，如图，直线CF与AB、BC、AC所在直线的夹角不能为直角；
③当P在EC上运动时，此时52当CF⊥AB时，设AB与CF交于点M，∠M=90°，
∴BM=BCcs∠B=11×35=335，
∴AM=BM−AB=335−5=85，
∵▱AEPF是矩形，
∴AF/​/BC，AF=EP，
∴∠MAF=∠B，
∴EP=AF=AMcs∠MAF=85÷35=83，
∴BP=BE+EP=173，
∴t=1+173÷2=236，
当CF⊥BC时，P点与C点重合，如图所示：此时t=132
综上所述：当直线CF垂直于△ABC的一边所在的直线时，t=825或t=236或t=132．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c(b、C是常数)的顶点A(1,−3)，
∴y=(x−1)2−3=x2−2x−2．
(2)如图，

∵在▱PQMN中，点P坐标为(m,m2−2m−2)，点Q坐标为(0,m2−2m−2)，点M坐标为(2−m,m−4)，
∴N(2,m−4)，
∵点P在线段MN，
∴m2−2m−2=m−4，
解得m1=1，m2=2，
当m=1时，点P坐标为(1,−3)，点N坐标为(2,−3)，点M坐标为(1,−3)，此时点M与点P重合；
当m=2时，点P坐标为(2,−2)，点N坐标为(2,−2)，点M坐标为(0,−2)，此时点N与点P重合；
综上所述，当m=1或m=2时，点P在线段MN上．
(3)设直线PA解析式为yAP=kx+b，把点P坐标为(m,m2−2m−2)，A(1,−3)，
代入得k+b=−3km+b=m2−2m−2，
解得k=m−1b=−m−2，
∴直线PA解析式为yAP=(m−1)x+(−m−2)，
同理可求yAN=(m−1)x+(−m−2)，
∴PA、NA、PN三条线段再同一直线上，它们始终满足其中两条线段之和等于第三条线段．
又∵当P、A、N不重合时，即m≠1，线段PA、NA、PN始终满足其中两条线段之和等于第三条线段．
(4)∵在▱PQMN中，S△MQP=S△MQN，MQ//PN，S△AQN=2S△PQN，
∴AN=2PN，
如图，点A在PN延长线上，则ANAP=23，过点A作AK//y轴，交PQ于K，交MN于T，

∵MN//PQ，PQ⊥y轴，
∴△ANT∽△AKP，
∴ANAP=NTKP，
∴KP=xP−xk=m−1，NT=xN−xT=2−1=1，
∴1m−1=23，
解并检验得m=52，
如图，点A在NP延长线上，则ANAP=21，

同理可得ANAP=NTKP=21，
即1m−1=21，
解并检验得m=32，
当P在对称轴x=1左侧时，m<1，m−4<3，A在线段PN上，
即△AQN在平行四边形内部，故不存在点P，使S△AQN=2S△PQN⋅，
综上所述，m=32或m=52． 1
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