辽宁省锦州市第十九中学2023年数学八年级第一学期期末考试试题【含解析】

这是一份辽宁省锦州市第十九中学2023年数学八年级第一学期期末考试试题【含解析】，共25页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列命题是假命题的是，用科学记数法表示等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．能使分式的值为零的所有x的值是( )
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝1或x＝﹣1D．x＝2或x＝1
2．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．C．D．8
3．根据下列条件作图，不能作出唯一三角形的是( )
A．已知两边和它们的夹角B．已知两边和其中一条边所对的角
C．已知两角和它们的夹边D．已知两角和其中一个角所对的边
4．如图，中，为线段AB的垂直平分线，交于点E，交于D，连接，若，则的长为( )
A．6B．3C．4D．2
5．已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
6．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
8．如图，的面积为12，，，的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A．6B．8C．10D．12
9．用科学记数法表示（ ）
A．B．C．D．
10．已知点 ，均在双曲线上，下列说法中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，AB=AD，∠1=∠2，如果增加一个条件_____，那么△ABC≌△ADE．
12．已知与成正比例，且时，则当时，的值为______．
13．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=6，则点P到BC的距离是_______.
14．多项式加上一个单项式后能称为一个完全平方式，请你写出一个符合条件的单项式__________．
15．若，则代数式的值为___________．
16．等腰三角形，，一腰上的中线把这个三角形的长分成12和15两部分，求这个三角形的底边______.
17．如图，在中，，若，则___度（用含的代数式表示）．
18．若，则=______
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A（2，3）、B（﹣1，2），将△ABC平移得到△A′B′C′，使得点A的对应点A′，请解答下列问题：
（1）根据题意，在网格中建立平面直角坐标系；
（2）画出△A′B′C′，并写出点C′的坐标为 ．
20．（6分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示．
（1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后每小时加工 个零件；
（2）当时，求与之间的函数解析式；
（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？
21．（6分）在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连结BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．、（1）如图1，若D为AC边上的中点．
（1）填空：∠C＝ ，∠DBC＝ ；
（2）求证：△BDE≌△CDF．
（3）如图2，D从点C出发，点E在PD上，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤1≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
22．（8分）求下列代数式的值：
（1）a(a+2b)-(a+b)(a-b)，其中，
（2），其中＝1．
23．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，若点，则点的坐标_______________；
（2）将向左平移个单位，向上平移个单位，则点的坐标变为_____________；
（3）若将的三个顶点的横纵坐标都乘以，请画出；
（4）图中格点的面积是_________________；
（5）在轴上找一点，使得最小，请画出点的位置，并直接写出的最小值是______________．
24．（8分）如图，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求S△ABO·
（3）求点O到直线AB的距离．
（4）求直线AM的解析式．
25．（10分）如图，P是正方形ABCD的边BC上的一个动点(P与B、C不重合)连接AP，过点B作交CD于E，将沿BE所在直线翻折得到，延长交BA的延长长线于点F．
（1）探究AP与BE的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC时，求EF的长．
26．（10分）小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：当点为的中点时，如图（2），确定线段与的大小关系，请你写出结论：_____（填“”，“”或“”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，与的大小关系是：_____（填“”，“”或“”）．理由如下：
如图（3），过点作EF∥BC，交于点．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若△的边长为，，求的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】分析：根据分式的值为0的条件：分子等于0，分母≠0，构成不等式组求解即可.
详解：由题意可知：
解得x=-1.
故选B.
点睛：此题主要考查了分式的值为0的条件，利用分式的值为0的条件：分子等于0，分母≠0，构造不等式组求解是解题关键.
2、A
【分析】先根据勾股定理求出AB，然后根据S阴影=S半圆AC＋S半圆BC＋S△ABC－S半圆AB计算即可．
【详解】解：根据勾股定理可得AB=
∴S阴影=S半圆AC＋S半圆BC＋S△ABC－S半圆AB
=
=
=4
故选A．
【点睛】
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
3、B
【分析】根据全等三角形的判定方法得到不能作出唯一三角形的选项即可．
【详解】解：A、根据SAS可得能作出唯一三角形；
B、已知两边及其中一边所对的角不能作出唯一的三角形；
C、根据ASA可得能作出唯一三角形；
D、根据AAS可得能作出唯一三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．注意SSA不能判定两三角形全等，也不能作出唯一的三角形．
4、B
【分析】利用垂直平分线的性质得到AD=BD=6，∠A=∠ABD=30°，再根据∠C=90°得到∠CBD=30°，从而根据30°所对的直角边是斜边的一半得到结果.
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=6，∠A=∠ABD=30°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°，
∴CD=BD=3，
故选B.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，即在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
5、C
【解析】试题分析：多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=1．
考点：多边形的内角和定理．
6、A
【分析】设甲队单独完成全部工程需个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．
【详解】解：设甲队单独完成全部工程需个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据题意，得：；
A、，与上述方程不符，所以本选项符合题意；
B、可变形为，所以本选项不符合题意；
C、可变形为，所以本选项不符合题意；
D、的左边化简得，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
7、C
【解析】解：A． 外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项正确；
B． 等边三角形有3条对称轴，故B选项正确；
C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；
故选C．
8、B
【分析】先根据中点的定义求出CD，然后可知的周长=PC＋PD＋CD，其中CD为定长，从而得出PC＋PD最小时，的周长最小，连接AD交EF于点P，根据垂直平分线的性质可得此时PC＋PD=PA＋PD=AD，根据两点之间线段最短可得AD即为PC＋PD的最小值，然后根据三线合一和三角形的面积公式即可求出AD，从而求出结论．
【详解】解：∵，点为边的中点
∴CD=
∵的周长=PC＋PD＋CD，其中CD为定长
∴PC＋PD最小时，的周长最小
连接AD交EF于点P，如下图所示
∵EF垂直平分AC
∴PA=PC
∴此时PC＋PD=PA＋PD=AD，根据两点之间线段最短，AD即为PC＋PD的最小值
∵，点D为BC的中点
∴AD⊥BC
∴，即
解得：AD=6
∴此时的周长=PC＋PD＋CD= AD＋CD=1
即周长的最小值为1．
故选B．
【点睛】
此题考查的是求三角形周长的最小值、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质、掌握两点之间线段最短、垂直平分线的性质和三线合一是解决此题的关键．
9、A
【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】．
故选A.
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10、D
【分析】先把点A（x1，y1）、B（x2，y2）代入双曲线，用y1、y2表示出x1，x2，据此进行判断．
【详解】∵点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线上，
∴，．
A、当x1=x2时，-=-，即y1=y2，故本选项说法正确；
B、当x1=-x2时，-=，即y1=-y2，故本选项说法正确；
C、因为双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以当0＜x1＜x2时，y1＜y2，故本选项说法正确；
D、因为双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以当x1＜x2＜0时，y1＞y2，故本选项说法错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、AC=AE
【解析】由∠1=∠2，则∠BAC=∠DAE，加上AB=AD，若根据“SAS”判定△ABC≌△ADE，则添加AC=AE．
【详解】∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
而AB=AD，
∴当AC=AE时，△ABC≌△ADE．
故答案为:AC=AE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟练地掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．．
12、
【分析】先将正比例函数表达式设出来，然后用待定系数法求出表达式，再将y=5代入即可求出x的值．
【详解】∵与成正比例
∴设正比例函数为
∵时
∴
∴
当时，
解得
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查待定系数法和求自变量的值，掌握待定系数法求出函数的表达式是解题的关键．
13、3
【解析】分析：过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=6，进而求出PE=3.
详解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=6，
∴PA=PD=3，
∴PE=3.
故答案为3.
点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键.
14、12n
【分析】首末两项是3n和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，据此解答即可.
【详解】由题意得，可以添加12n，
此时，符合题意.
故答案为：12n（答案不唯一）.
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
15、1
【分析】将因式分解，然后代入求值即可．
【详解】解：
=
=
将代入，得
原式=
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用提取公因式法和完全平方公式因式分解是解决此题的关键．
16、7或1
【分析】如图（见解析），分两种情况：（1）；（2）；然后分别根据三角形的周长列出等式求解即可．
【详解】如图，是等腰三角形，，BC为底边，CD为AB上的中线
设，则
依题意，分以下两种情况：
（1）
则，解得
（2）
则，解得
综上，底边BC的长为7或1
故答案为：7或1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义、中线的定义，读懂题意，正确分两种情况是解题关键．
17、
【分析】由AD=BD得∠DAB=∠DBA，再由三角形外角的性质得∠CDB=2x°；由BD=BC得∠C =∠CDB=2x°；最后由三角形内角和求出∠ABC的值．
【详解】∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠A=x°
∴∠CDB=∠DAB+∠DBA=2x°；
∵BD=BC，
∴∠C=∠CDB=2x°；
在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC=180°
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=(180-x)°．
故答案为：（180-3x）．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
18、
【解析】根据0指数幂的意义可得2x+1=0，解方程即可求得答案.
【详解】因为：，所以2x+1=0，所以x=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了0指数幂运算的应用，熟练掌握是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）（﹣3，﹣4）
【分析】（1）根据点A和点B的坐标可建立平面直角坐标系；
（2）利用平移变换的定义和性质可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，其中点C′的坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【点睛】
本题考查的知识点是作图-平移变换，找出三角形点A的平移规律是解此题的关键．
20、（1）；（2）；（3）甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.
【解析】(1)观察图象可得零件总个数，观察AB段可得甲机器的速度，观察BC段结合甲的速度可求得乙的速度；
(2)设当时，与之间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可；
(3)分乙机器出现故障前与修好故障后两种情况分别进行讨论求解即可.
【详解】(1)观察图象可知一共加工零件270个，
甲机器每小时加工零件：(90-50)÷(3-1)=20个，
乙机器排除故障后每小时加工零件：(270-90)÷(6-3)-20=40个，
故答案为：270，20，40；
设当时，与之间的函数解析式为
把，，代入解析式，得
解得

设甲加工小时时，甲与乙加工的零件个数相等，
乙机器出现故障时已加工零件50-20=30个，
，
；
乙机器修好后，根据题意则有
，
，
答：甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键.
21、（1）45°，45°；（2）见解析；（3）当t＝0时，△PBE≌△CAE一对，当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三对，当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质结合ASA进而得出答案；
（3）当t＝0时，t＝2时，t＝4时分别作出图形，得出答案．
【详解】（1）解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，
∴∠C＝45°，BD⊥AC，
∴∠DBC＝45°；
故答案为45°；45°；
（2）证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，
∴BD⊥AC，
又∵ED⊥DF，
∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF=90°，
∴∠BDE＝∠CDF，
∵∠C＝∠DBC＝45°，
∴BD＝DC，∠EBD=90°-∠DBC=45°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（3）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；
理由：∵BP∥AC
∴∠P=∠ACE
在△PBE和△CAE中，
∴△PBE≌△CAE（AAS）
如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三对；
理由：在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SSS）
由（2）可知∠ADE+∠BDE=∠BDF+∠BDE，
∴∠ADE=∠BDF
在△AED和△BFD中，
∴△AED≌△BFD（ASA）
同理可证△BED≌△CFD.
如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
理由：∵PB∥AC，
∴∠PBA=∠CAB，
在△PBA和△CAB中，
∴△PBA≌△CAB（SAS）
综上所述，答案为：
当t＝0时，△PBE≌△CAE一对，当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共三对，当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，利用等腰直角三角形的性质推出∠BDE=∠CDF是解决本题的关键.
22、（3）2ab+b2，2；（2）x+3，2039
【分析】（3）根据单项式乘多项式法则和平方差公式化简，然后根据零指数幂的性质和负指数幂的性质计算出a和b，最后代入求值即可；
（2）根据分式的各个运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】解：（3）a(a+2b)-(a+b)(a-b)
=a2+2ab-a2+b2
=2ab+b2 ．
当=3，=4时，
原式=2×3×4+4²=2．
（2）
=
=
=x+3．
当＝3时，原式=3+3=2039．
【点睛】
此题考查的是整式的化简求值和分式的化简求值，掌握单项式乘多项式法则、平方差公式、零指数幂的性质、负指数幂的性质和分式的各个运算法则是解决此题的关键．
23、（1）；（2）；（3）见解析；（4）5；（5）
【分析】（1）根据第一象限点的坐标特征写出C点坐标；
（2）利用点平移的坐标变换规律求解；
（3）将△AOC的三个顶点的横纵坐标都乘以- 得到A1、C1的坐标，然后描点即可；
（4）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△AOC的面积；
（5）作C点关于x轴的对称点C′，然后计算AC′即可．
【详解】解：（1）如图，点的坐标；
（2）将向左平移个单位，向上平移个单位，则点的坐标变为；
（3）如图，为所作；
（4）图中格点的面积；
（5）如图，作C关于x轴的对待点C’,连接C’A交x轴于点P，点即为所求作的点，
的最小值．
故答案为（1）；（2）；（4）；（5）.
【点睛】
本题考查了作图-平移变换及轴对称变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了最短路径问题．
24、（1）A（6，0），B（0，8）；（2）24；（1）4.8；（4）y=-x+1．
【分析】
（1）由解析式令x=0，y=x+8=8，即B（0，8），令y=0时，x=6，即A（6，0）；
（2）根据三角形面积公式即可求得；
（1）根据三角形面积求得即可；
（4）由折叠的性质，可求得AB′与OB′的长，BM=B′M，然后设MO=x，由在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2，求出M的坐标，设直线AM的解析式为y=kx+b，再把A、M坐标代入就能求出解析式．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=x+8=8，即B（0，8），
当y=0时，x=6，即A（6，0）；
（2）∵点A的坐标为：（6，0），点B坐标为：（0，8），∠AOB=90°，
∴OA=6，OB=8，
∴，
∴S△ABO=OA•OB=×6×8=24；
（1）设点O到直线AB的距离为h，
∵S△ABO=OA•OB=AB•h，
∴×6×8=×10h，
解得h=4.8，
∴点O到直线AB的距离为4.8；
（4）由折叠的性质，得：AB=AB′=10，
∴OB′=AB′-OA=10-6=4，
设MO=x，则MB=MB′=8-x，
在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=1，
∴M（0，1），
设直线AM的解析式为y=kx+b，把（0，1）；（6，0）代入可得，
，解得， ，
所以，直线AM的解析式为y=-x+1．
【点睛】
此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，解答本题的关键是求出OM的长度．
25、（1）AP=BE，证明见解析；（1）．
【分析】（1）AP=BE，要证AP=BE，只需证△PBA≌△ECB即可；
（1）过点E作EH⊥AB于H，如图．易得EH=BC=AB=2，BP=1，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP（即BE）=，BH=1．易得DC∥AB，从而有∠CEB=∠EBA．由折叠可得∠C′EB=∠CEB，即可得到∠EBA=∠C′EB，即可得到FE=FB．设EF=x，则有FB=x，FH=x-1．在Rt△FHE中运用勾股定理就可解决问题；
【详解】（1）解：（1）AP=BE．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°．
∵BE⊥AP，∴∠PAB+∠EBA=90°，
∴∠PAB=∠CBE．
在△PBA和△ECB中，

∴△PBA≌△ECB，
∴AP=BE；
（1）过点E作EH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴EH=BC=AB=2．
∵BP=1PC，
∴BP=1，PC=1
∴BE=AP=
∴BH=
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB=∠EBA．
由折叠可得∠C′EB=∠CEB，
∴∠EBA=∠C′EB，
∴EF=FB．
设EF=x，则有FB=x，FH=x-1．
在Rt△FHE中，
根据勾股定理可得x1=（x-1）1+21，
解得x=，
∴EF=
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．
26、（1），理由详见解析；（2），理由详见解析；（3）3或1
【分析】（1）根据等边三角形的性质、三线合一的性质证明即可；
（2）根据等边三角形的性质，证明△≌△即可；
（3）注意区分当点在的延长线上时和当点在的延长线上时两种情况，不要遗漏．
【详解】解：（1），理由如下：
，
∵△是等边三角形，，
点为的中点，
，，，
，
，
；
故答案为：；
（2），理由如下：
如图3：
∵△为等边三角形，且EF∥BC，
，，；
；
，，，
在△与△中，
，
∴△≌△（AAS），
，
∴△为等边三角形，
，
．
（3）①如图4，当点在的延长线上时，过点作EF∥BC，交的延长线于点：
则，；
，；
∵△为等边三角形，
，，，
；而，
，；
在△和△中，
，
∴△≌△（AAS），；
∵△为等边三角形，，，
；
②如图5，当点在的延长线上时，过点作EF∥BC，交的延长线于点：
类似上述解法，同理可证：，，
．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，构造合适的全等三角形是解题的关键．