人教版数学九年级上册 第二十四章综合素质评价试卷

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第二十四章综合素质评价一、选择题(本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定2．AB为⊙O的直径，圆所在的平面内有一点P，记∠APB＝α，则下列说法正确的是(　　)A．当α<90°时，点P在⊙O上 B．当α＝90°时，点P在⊙O上C．当α>90°时，点P在⊙O上 D．当α≤90°时，点P在⊙O上3.（2023长春南关区期末)如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B(0，2)，C(0，10)，则点A的横坐标为(　　)A．－3 B．3 C．4 D．6(第3题)　　　(第4题)4．如图，EF，CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是(　　)A．37° B．74° C．53° D．63°5．若圆锥的底面半径为3 cm，母线长为4 cm，则这个圆锥的侧面积为(　　)A．12 cm2 B．24 cm2 C．12π cm2 D．24π cm26．如图，AB为半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，∠BAC＝20°，eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(CD,\s\up8(︵))，则∠DAC的度数是(　　)(第6题)A．40° B．35° C．30° D．25°7．如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为(　　)A．2 B．4 C．4.5 D．5(第7题)　　　　(第8题)　　　(第9题)8.（2023济宁期末)如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则阴影部分的面积为(　　) A．2－eq \f(1,2)π B．4－eq \f(1,2)π C．4－π D．1－eq \f(1,4)π9．如图，在直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝eq \f(5,12)x只有一个公共点时，点A的坐标为(　　)A．(－12，0) B．(－13，0) C．(±12，0) D．(±13，0)10.（2024金华月考)如图，直线y＝－x＋6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是(　　)A．3 eq \r(2)＋1 B．3 eq \r(2)－1 C．2 D．3 eq \r(2)(第10题)　　　(第11题)　　　(第12题)　　　(第13题)二、填空题(本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝72°，过点O作BC的垂线交eq \o(BC,\s\up8(︵))于点D，连接BD，则∠D的度数为________. 12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为eq \o(BC,\s\up8(︵))上一点，连接BE，CE.若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为________．13．如图，点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3.点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是________．14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图，点M表示筒车的一个盛水桶．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O(O在水面上方)为圆心的圆，且⊙O的半径为5米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆被水面截得的弦AB的长为________米. (第14题)　　　(第15题)　　　(第16题)15．如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在△ABC的内心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路d∥c，并分别与△ABC的两边AB，AC相交于点D，E，DE＝150 m，小路c与d之间相距60 m，如果从凉亭分别向小路a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为________m，若游客从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为________m. 16．如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿弦EF翻折eq \o(EF,\s\up8(︵))，翻折后的eq \o(EF,\s\up8(︵))与直径AB相切于点D，且AD＝3DB，则折痕EF的长是________．三、解答题(本题有7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)17．(8分)已知，⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD.(1)如图①，连接AD.求证：AM＝DM.(2)如图②，若AB⊥CD.在eq \o(BD,\s\up8(︵))上取一点E，使eq \o(BE,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))，AE交CD于点F，连接AD，DE.判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．18．(8分)（2023西安一模)如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF＝EC.(1)求证：OD⊥AB；(2)若⊙O的半径长为3，且BF＝BE，求OF的长．19．(8分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．(1)若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为________，⊙M的半径为________；(2)△ABC的外接圆与x轴的另一个交点的坐标是________；(3)求⊙M中eq \o(AC,\s\up8(︵))的长．20．(10分)如图①，已知圆锥的母线长l＝16 cm，若以圆锥的顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ＝270°.(1)求圆锥的底面半径r；(2)求圆锥的全面积．21．(10分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°.(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB＝4 eq \r(3)，求图中阴影部分的面积．22．(10分)如图①，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于D，E两点，EF⊥AC，点F为垂足．(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)当△ABC是等边三角形，且直线DF与⊙O相切时，在不添加其他线段的情况下，直接写出图②中，长度为线段BE长度2倍的所有线段．23．(12分)如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5.点B以1个单位长度每秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．(1)如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；(2)在点B运动的过程中，当AD，BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G，H.连接OG，OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．答案一、1.A　2.B　3.B　4.C　5.C　6.B　7.B　8.D9．D　解析：当⊙A与直线l：y＝eq \f(5,12)x只有一个公共点时，直线l与⊙A相切，设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，如图．∵点B在直线y＝eq \f(5,12)x上，∴设Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(5,12)m)).当圆心A在x轴负半轴上时，OE＝－m，BE＝－eq \f(5,12)m.在Rt△OEB中，OB＝eq \r(OE2＋BE2)＝eq \r(（－m）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)m))\s\up12(2))＝－eq \f(13,12)m.∵直线l与⊙A相切，∴AB⊥BO.在Rt△OAB中，eq \f(1,2)×OA×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)m))＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,12)m))×5.解得OA＝13，∴A(－13，0)．同理，当圆心A在x轴的正半轴上时，存在点A(13，0)．综上所述，点A的坐标为(±13，0)．故选D.10．B　解析：∵直线y＝－x＋6与坐标轴交于A，B两点，∴A(6，0)，B(0，6)．∴OA＝OB＝6.∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C在以点B为圆心，半径为2的圆上．如图，在x轴负半轴上取OD＝OA＝6，连接CD.∵点M是AC的中点，∴OM是△ACD的中位线．∴OM＝eq \f(1,2)CD.要使OM最小，则需CD最小，当CD最小时，D，C，B三点共线．即当点C在线段DB上时，OM最小．∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，∴BD＝6 eq \r(2).∴CD＝6 eq \r(2)－2.∴OM＝eq \f(1,2)CD＝3 eq \r(2)－1.即OM的最小值为3 eq \r(2)－1.故选B.二、11.54°12．5 eq \r(2)　点思路：连接AO，BO，EO，由圆的性质可得OA＝OB＝OE，再由圆内接正四边形的性质以及∠CBE＝15°，得出∠OBC＝45°，进而证得△OBE是等边三角形，得到OB＝BE＝5，最后根据勾股定理求出AB即可．13.eq \r(13)　14.8　15.180；300　16.eq \r(11)　解析：设折叠后的圆弧所对的圆心为O′，连接O′O，O′D，OE，O′O与EF交于点M，如图，易得O′O与EF互相垂直平分，∴OM＝eq \f(1,2)OO′，EF＝2EM.∵AB＝4，∴OA＝OB＝OE＝2.∵⊙O与⊙O′是等圆，∴O′D＝2.∵AD＝3DB，∴DB＝eq \f(1,4)AB＝1.∴OD＝1.∴O′O＝eq \r(OD2＋O′D2)＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).∴OM＝eq \f(\r(5),2).∴EM＝eq \r(OE2－OM2)＝eq \r(4－\f(5,4))＝eq \f(\r(11),2).∴EF＝2EM＝eq \r(11)，即折痕的长为eq \r(11).故答案为eq \r(11).三、17.(1)证明：∵AB＝CD，∴eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(CD,\s\up8(︵))，即eq \o(AC,\s\up8(︵))＋eq \o(BC,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))＋eq \o(BD,\s\up8(︵)).∴eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵)).∴∠D＝∠A.∴AM＝DM.(2)解：∠E与∠DFE相等．理由如下：连接AC，∵eq \o(BC,\s\up8(︵))＝eq \o(BE,\s\up8(︵))，∴∠CAB＝∠EAB.∵AB⊥CD，∴AC＝AF.∴∠ACF＝∠AFC.∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，∴∠DFE＝∠E.18．(1)证明：连接OC.∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE.∴∠OCF＋∠ECF＝90°.∵OC＝OD，EF＝EC，∴∠OCF＝∠ODF，∠ECF＝∠EFC.∴∠ODF＋∠EFC＝90°.又∵∠OFD＝∠EFC，∴∠ODF＋∠OFD＝90°.∴∠DOF＝90°.∴OD⊥AB.(2)解：设BF＝BE＝x，则EC＝EF＝2x，OE＝3＋x.在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2，∴32＋(2x)2＝(3＋x)2，解得x1＝2，x2＝0(舍去)．∴OF＝OB－BF＝3－2＝1.19．解：(1)(5，5)；eq \r(29)　(2)(7，0)(3)连接MC，MA.∵A(0，7)，C(3，0)，M(5，5)，∴AC＝eq \r(72＋32)＝eq \r(58)，MC＝MA＝eq \r(29).∴MC2＋MA2＝AC2.∴△MAC是直角三角形，且∠AMC＝90°.∴eq \o(AC,\s\up8(︵))的长＝eq \f(90×π×\r(29),180)＝eq \f(\r(29)π,2).20．解：(1)由题意得3×2πr＝eq \f(270×π×16,180)，∴r＝4 cm.(2)圆锥的全面积＝π×42＋4π×16＝80π(cm2)．21．解：(1)直线BD与⊙O相切．理由：如图，连接BE，OB.∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠ACB＝60°.∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形．∴∠BOD＝60°.∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°－60°－30°＝90°.∴OB⊥BD.∵OB是⊙O的半径，∴直线BD与⊙O相切．(2)∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°.∵∠AEB＝60°，∴∠BAE＝30°.∵∠ADB＝30°，∴∠BAE＝∠ADB.∴BA＝BD＝4 eq \r(3).设BE＝x，则AE＝2x.在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，∴(4eq \r(3))2＋x2＝(2x)2.∴x＝4(负值已舍去)，即BE＝4.∴AE＝8.∴OB＝4.∴图中阴影部分的面积＝S△OBD－S扇形BOE＝eq \f(1,2)×4×4 eq \r(3)－eq \f(60π×42,360)＝8 eq \r(3)－eq \f(8π,3).22．(1)证明：连接OE.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB＝∠C.∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴OE⊥EF.∵OE是⊙O半径，∴直线EF是⊙O的切线．(2)解：长度为线段BE长度2倍的所有线段为：AF，EC，BD，OA.　解析：连接DE.∵直线DF与⊙O相切，直线EF是⊙O的切线，EF⊥AC，∴∠ADF＝∠CFE＝90°，DF＝EF.∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∴∠AFD＝∠BDE＝∠CEF＝30°.∴BD＝2BE，AF＝2AD，CE＝2CF.∵EF⊥AC，∴∠DFE＝60°.∴△DEF是等边三角形．∴DF＝DE＝EF.∴△ADF≌△BED≌△CFE.∴AF＝CE＝BD＝2BE.易知OD＝AD＝BE，∴OA＝2BE.即长度为线段BE长度2倍的所有线段为AF，CE，BD，OA.23．解：(1)设BC与半圆O交于点M，连接ME，MO.当t＝2.5时，BE＝2.5.∵EF＝10，∴OE＝eq \f(1,2)EF＝5.∴OB＝2.5.∴EB＝OB.在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴ME＝MO.又∵MO＝EO，∴ME＝EO＝MO＝5.∴△MOE是等边三角形．∴∠EOM＝60°.∴eq \o(ME,\s\up8(︵))的长度＝eq \f(60π×5,180)＝eq \f(5π,3).即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为eq \f(5π,3).(2)∵∠GOH＝90°，∴∠AOG＋∠BOH＝90°.∵∠AGO＋∠AOG＝90°，∴∠AGO＝∠BOH.在△AGO和△BOH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AGO＝∠BOH，,∠GAO＝∠OBH，,OG＝OH，))∴△AGO≌△BOH.∴OB＝AG＝t－5.∵AB＝7，∴AE＝t－7，∴AO＝5－(t－7)＝12－t.在Rt△AGO中，AG2＋AO2＝OG2，∴(t－5)2＋(12－t)2＝52，解得t1＝8，t2＝9，即t的值为8或9.