北师大版数学九上 第一章综合素质评价试卷

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第一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．下列图形中不是轴对称图形的是(　　)A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．圆2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则斜边上的中线长(　　)A．3 B．4 C．5 D．83．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为(　　)A．9 B．10 C．11 D．12(第3题) 　　　　(第4题)4. （教材P26复习题T6变式） 如图，延长正方形ABCD的边BA至点E，使AE＝BD，则∠E为(　　)A．22.5° B．25° C．30° D．45°5．下列命题中，真命题是(　　)A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为(　　)(第6题)A．3　 B．4　 C．5　 D．67. (2023青岛) 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为(　　)A.eq \r(5)　 B.eq \f(\r(17),2)　 C．2　 D.eq \f(\r(13),2)(第7题) 　　　　(第8题)8. (2023呼伦贝尔) 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为(　　)A．4＋2eq \r(3)　 B．6＋2eq \r(3)　 C．4＋4eq \r(3)　 D．6＋4eq \r(3)9．如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则(a＋b)2＝(　　)A．25 B．24 C．13 D．12(第9题)　　　(第10题)10. (教材P28复习题T15变式) 如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是(　　)A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)二、填空题(每题3分，共24分)11．【新视角 条件开放题】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是____________(写出一个即可)．(第11题)　　　(第12题)　　　(第13题)12．如图，在△ABC中，∠A＝32°，分别以点A，C为圆心，大于eq \f(1,2)AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD＝CE，则∠BFC的度数为________．13. (2024达州期末) 如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为________．14. (教材P9习题T3变式) 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为________．(第14题)15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF.若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为________．　　　　(第15题)　　　　　(第16题)16. (2023陕西) 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM＋PN＝4.则线段PC的长为________．17．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABDE，正方形的对角线交于点O，连接CO，如果AC＝4，BC＝8，那么CO＝________.(第17题)　　　　　　(第18题)18. (2023西工大附中模拟) 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.给出下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论的序号为__________．三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)19. (教材P9习题T1变式) 如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN.求证：BM＝BN.20．【新考法 逆向思维法】如图，CE，CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE，CF的垂线，垂足分别为E，F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形，请说明理由．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，CA平分∠BCD，且AC⊥AB，连接DE，交AC于F.(1)求证：AD＝EC.(2)若∠B＝60°，试确定四边形ABED是什么特殊四边形？请说明理由．22. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；(2)连接AD，若AD＝5eq \r(2)，eq \f(CB,AC)＝eq \f(2,3)，求AC的长．23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF.(1)求证：∠1＝∠2；(2)若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．24．如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)判断OG与BF有什么关系，证明你的结论；(3)若DF2＝8－4eq \r(2)，求正方形ABCD的面积．答案一、1.A　2.C　3.B　4.A　5.C　6.A　7.B　8.C　9.A10．C　点思路：先根据勾股定理求出AE的长，进而可得出OE的长，在Rt△DOE中，由DE＝CD及勾股定理可求得OD的长，进而得出D点坐标．二、11.AE＝AF(答案不唯一)12．106°　13.240　14.eq \f(120,13)　15.2eq \r(5)　16.2eq \r(2)17．6eq \r(2)　解析：过点O作OM⊥AC，交CA的延长线于点M，作ON⊥BC于点N，则∠OMC＝∠ONC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形MCNO是矩形，∴∠MON＝90°.∵正方形ABDE的对角线交于点O，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠MON－∠AON＝∠AOB－∠AON，即∠AOM＝∠NOB.在△AOM和△BON中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOM＝∠BON，,∠OMA＝∠ONB＝90°，,OA＝OB，)) ∴△AOM≌△BON(AAS)，∴OM＝ON，AM＝BN，∴矩形MCNO是正方形，∴CM＝CN＝ON.∵AC＝4，BC＝8，∴CM＋CN＝AC＋AM＋BC－BN＝AC＋BC＝12，∴CM＝CN＝ON＝6.∴OC＝eq \r(CN2＋ON2)＝eq \r(62＋62)＝6eq \r(2).18．①②③⑤三、19.证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.又∵∠ADM＝∠CDN，∴△AMD≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN.20．(1)证明：∵CE，CF分别是△ABC的内外角平分线，∴易得∠ACE＋∠ACF＝eq \f(1,2)×180°＝90°，即∠ECF＝90°.∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．(2)解：当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．理由：∵CE是∠ACB的平分线，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝eq \f(1,2)∠ACB＝45°.又∵∠AEC＝90°，∴∠EAC＝45°＝∠ACE，∴AE＝CE.又∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．21．(1)证明：连接AE.∵CA平分∠BCD，∴∠ACE＝∠ACD.∵E为Rt△ABC斜边BC的中点，∴AE＝eq \f(1,2)BC＝BE＝EC，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠CAE＝∠ACD，∴AE∥CD.又∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AD＝EC.(2)解：四边形ABED为菱形．理由如下：∵BE＝EC，EC＝AD，∴BE＝AD.又∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形．∵BE＝AE，∠B＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∴四边形ABED为菱形．22．(1)证明：①选择小星的说法．证明如下：连接BE.∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形AEDB是平行四边形．∴AE＝BD.又∵BD＝CB，∴AE＝CB.又∵AE∥BD，点D在CB的延长线上，∴AE∥CB.∴四边形AEBC是平行四边形．又∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形．∴BE⊥CD.②选择小红的说法．证明如下：连接CE，BE.同①可证四边形AEBC是矩形，四边形AEDB是平行四边形，∴CE＝AB，DE＝AB，∴CE＝DE.(2)解：∵BD＝CB，eq \f(CB,AC)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(2CB,AC)＝eq \f(4,3)，∴CD＝eq \f(4,3)AC.在Rt△ACD中，∵AD2＝CD2＋AC2，AD＝5eq \r(2)，∴(5eq \r(2))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)AC))eq \s\up12(2)＋AC2，解得AC＝3eq \r(2).23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADO＝∠CBO.∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ODE＝eq \f(1,2)∠ADO，∠OBF＝eq \f(1,2)∠CBO，∴∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF.∵∠ODE＝∠OBF，OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠1＝∠2.(2)解：由(1)知△ODE≌△OBF，∴OE＝OF.∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥EF，OD＝OB，AD∥BC，AD＝AB，∴四边形DEBF是菱形．∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.又∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°.又∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形．∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，∴OD＝eq \f(1,2)BD＝1.∵∠ODE＝eq \f(1,2)∠ADO，∴∠ODE＝30°，∴DE＝2OE.在Rt△DOE中，∵DE2＝OE2＋OD2，∴4OE2＝OE2＋12，解得OE＝eq \f(\r(3),3)，∴EF＝2OE＝eq \f(2\r(3),3)，∴四边形BEDF的面积＝eq \f(1,2)BD·EF＝eq \f(1,2)×2×eq \f(2\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3).24．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)．(2)解：OG∥BF且OG＝eq \f(1,2)BF.证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CDB＝∠CBD＝45°.∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠CBE＝eq \f(1,2)∠CBD＝22.5°.由(1)知△BCE≌△DCF，∴∠CDF＝∠CBE＝22.5°.∴∠BDF＝∠CDB＋∠CDF＝67.5°.∴∠F＝180°－∠CBD－∠BDF＝67.5°＝∠BDF.∴BD＝BF.又∵BE是∠CBD的平分线，∴DG＝GF.∵四边形ABCD为正方形，∴DO＝OB.∴OG是△DBF的中位线．∴OG∥BF且OG＝eq \f(1,2)BF.(3)解：设BC＝x，则DC＝x，BD＝eq \r(2)x.由(2)知BF＝BD，∴CF＝BF－BC＝BD－BC＝(eq \r(2)－1)x.∵DF2＝DC2＋CF2，∴x2＋[(eq \r(2)－1)x]2＝8－4eq \r(2)，解得x2＝2，∴正方形ABCD的面积是2.小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD.小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE.