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暑假自学课七年级数学上册人教版第07讲 整式学案（解析版）
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这是一份暑假自学课七年级数学上册人教版第07讲 整式学案（解析版），共20页。学案主要包含了例1.1，例1.2，变式1.1，例2.1，例2.2，例2.3，变式2.1，变式2.2等内容，欢迎下载使用。
·模块一 用字母表示数
·模块二 单项式
·模块三 多项式
·模块四 课后作业
模块一
用字母表示数
【考点1 用字母表示数的书写】
【例1.1】1．下列各式中，符合书写要求的是（ ）．
A．x×5B．4m×nC．123xD．−12ab
【答案】D
【分析】根据的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：x×5应表示为：5x，故选项A不符合要求；
4m×n应表示为：4mn，故选项B不符合要求；
123x应表示为：53x，故选项C不符合要求；
−12ab的书写规范，故选项D符合题意；
故选：D．
【例1.2】下列各式：①113x；②2·5；③20%x；④m2n23；其中，不符合书写要求的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据书写规范要求逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据书写规范要求可知：①中应写为43x；②数与数相乘不能用“⋅”连接；符合书写规范要求的有：③20%x；④ m2n23；共计2个.
故选：B．
【点睛】本题考查了书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用· 示． 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当1与任何字母相乘时，1省略不写；当−1乘以字母时，只要在那个字母前加上−号．
【变式1.1】下列式子：①x÷y；②113a；③−xy2；④−12ba2，其中格式书写正确的个数有___________个．
【答案】2
【分析】根据的书写要求判断各项即可．
【详解】解：①x÷y应表示为xy ；②113a应表示为43a；③−xy2；④−12ba2正确；
综上分析可知，格式书写正确的个数有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了书写要求：（1）在中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
【考点2 用字母表示数的实际应用】
【例2.1】某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（ ）
A．a元B．0.972a元C．0.968a元D．0.96a 元
【答案】B
【分析】根据题目要求列出a1+20%1−10%1−10%化简计算即可．
【详解】依题意，该商品经过一次20%的升价，再经过两次10%的降价，目前的价格为：
a1+20%1−10%1−10%=1.2×0.9×0.9a=0.972a．
故选：B．
【点睛】本题考查用字母表示数，较为简单；另外本题为选择题，在化简计算时可采用尾数判别法（即1.2×0.9×0.9的结果应有三位小数且尾数是2）可快速选出答案．
【例2.2】体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．则500−2x−3y表示的实际意义为？体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费？
【答案】500−2x−3y表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；500−2x−3y元
【分析】根据500−2x−3y结合一个足球x元，一个篮球y元得出表示的意义即可；根据体育委员买了2个足球、3个篮球，列出即可．
【详解】解：∵体育委员小金带了500元钱去买体育用品，一个足球x元，一个篮球y元，
∴500−2x−3y表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；
体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费为500−2x−3y元．
【例2.3】若x、y分别表示1﹣9中一个数字，小明想用x、y来组成一个两位数且把x放在y的右边，则这个两位数可以表示为_____．
【答案】10y+x
【分析】根据两位数的表示方法即可求解．
【详解】解：由题意可知，这个两位数可以表示为10y+x．
故答案为10y+x．
【变式2.1】某产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为（ ）
A．(1+14%)(1+0.8)a元B．0.8(1+14%)a元
C．(1+14%)(1−0.8)a元D．(1+14%+0.8)a元
【答案】B
【分析】根据售价与成本价之间的数量关系得到销售价，再根据销售价的八折得到实际售价．
【详解】解：∵产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%，
∴产品销售价为：1+14%a元，
∵因库存积压，按销售价的八折出售，
∴产品的实际售价为：0.81+14%a元．
故选B．
【变式2.2】某工厂第一年生产b件产品，第二年比第一年增产了30%，则第二年生产产品的件数为( )
A．0.3bB．bC．1.3bD．2.3b
【答案】C
【详解】【分析】第一年生产b件产品，第二年比第一年增产了30%，则第二年生产产品的件数为:
b（1+30%）.
【详解】第一年生产b件产品，第二年比第一年增产了30%，则第二年生产产品的件数为:
b（1+30%）=1.3b
故选C
【点睛】本题考核知识点：列含有字母的式子. 解题关键点：理解增长率.
【变式2.3】．长方形的周长为c米，宽为x米，则长为（ ）
A．(c−2x)米B．c−2x2米
C．c−x2米D．（c2−2x）米
【答案】B
【详解】设长为y , 则 2(x+y)=c， 解得y=c−2x2米，所以选B.
【变式2.4】字母表示图中阴影部分的面积为_____．
【答案】a2−14πa2
【分析】图中阴影部分的面积＝正方形的面积−圆形的面积．
【详解】其中正方形的边长是a，圆的半径是a2．
∴S阴＝a2−π•（a2）2＝a2−14πa2．
故答案为：a2−14πa2．
【点睛】此题要能从图中看出阴影部分的面积是哪些图形组合成的，然后再利用已知面积的图形差求阴影的面积：阴影部分的面积＝正方形的面积−圆形的面积．
模块二
单项式
单项式
（1）单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式；
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数（要包括前面的符号）；
（3）单项式的次数：单项式中所有字母指数的和（只与字母有关）.
【考点1 单项式的定义】
【例1.1】下列各式中，不是单项式的是（ ）
A．2x3B．2023C．aD．x+1
【答案】D
【分析】根据单项式的定义即可求解．
【详解】解：根据单项式的定义可知，2x3,2003,a是单项式，x+1不是单项式．
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的定义是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）．
【例1.2】对于15a，下列解释不合理的是（ ）
A．家鸡的市场价为15元/千克，a千克家鸡需15a元
B．家鸡的市场价为a元/千克，买15千克的家鸡共需15a元
C．等边三角形的边长为5a，则这个三角形的周长为15a
D．制作某种电器需要15道工序，已知完成每一道工序所需时间是a小时，则完成这15道工序所需的时间为15a小时
【答案】D
【分析】根据实际情况，即可列判断．
【详解】解：A，B，C都正确，故选项不符合题意；
完成一道工序所需时间是a时，完成15道工序，每道工序所有的时间不一定相同，因而所需的总费用不一定是15a小时．故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了表示的实际意义，此类问题应结合实际，根据的特点解答．
【例1.3】下列：①a+1，②−3ab7，③5，④−2a+5b，⑤a，⑥1a．其中单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据单项式的定义逐一进而判断即可得到答案．
【详解】解：①a+1、④−2a+5b不是单项式；
⑥1a分母中含字母，不是整式；
②−3ab7、③5、⑤a是单项式，
所以单项式有3个，
故选C．
【点睛】本题考查了单项式的判断，解题关键是掌握单项式的定义：只含有数与字母的积的式子叫做单项式，注意单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．
【变式1.1】下列各式中是单项式的是（ ）
A．m+nB．2x−3yC．2xy2D．5a+2b2
【答案】C
【分析】单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
【详解】A. m+n不是单项式，故选项错误；
B. 2x−3y不是单项式，故选项错误；
C. 2xy2是单项式，故选项错正确；
D. 5a+2b2不是单项式，故选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的定义是解题关键．
【变式1.2】下列各式：−15a2b2，12x−1，﹣25，1x，x−y2，a2﹣2ab+b2中属于单项式的有_____．
【答案】−15a2b2，﹣25
【分析】数与字母的积的形式的是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．
【详解】根据单项式的定义知，单项式有：−15a2b2，﹣25．
【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，这是判断是否是单项式的关键．
【考点2 单项式的系数】
【例2.1】单项式mn的系数为______
【答案】1
【分析】直接利用单项式的系数的概念得出答案．
【详解】单项式mn的系数为：1.
故答案为1.
【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义.
【例2.2】单项式−2xy23的系数是（ ）
A．3B．23C．−23D．−2
【答案】C
【分析】单项式的系数指单项式中的数字因数（包括正负号）；
【详解】解：∵单项式−2xy23的数字因数是−23，
∴单项式的系数是−23，
故选： C．
【点睛】本题考查了单项式的系数，牢记其定义是解题关键．
【变式2.1】单项式−23πab3的系数是_______．
【答案】−2π3
【分析】根据单项式系数的定义，即可得出答案．
【详解】解：单项式−23πab3的系数是−23π，
故答案为−23π．
【点睛】本题考查了单项式的有关知识，熟练掌握单项式系数的定义是解题的关键．
【考点3 单项式的次数】
【例3.1】单项式−2xy2的次数是（ ）
A．1B．2C．3D．−2
【答案】C
【分析】根据单项式的次数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式−2xy2的次数是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义．解题的关键是掌握单项式的相关定义：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【例3.2】下列中，次数是3的单项式是（ ）
A．−a3bB．3a2b2C．x2y4D．3a3−3
【答案】C
【分析】根据单项式的次数及定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
−a3b是4次单项式，故A不符合题意；
3a2b2是4次单项式，故B不符合题意；
x2y4是3次单项式，故C,符合题意；
3a3−3是3次2项式，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查单项式的定义及次数：数与字母的积叫单项式，所有字母指数和为单项式的次数．
【例3.3】单项式−22x?y2的次数是7，则“？”是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】C
【分析】直接根据单项式的次数的定义得出答案，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】单项式−22x?y2的次数是7，则“？”是5，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的次数，理解单项式的次数是解题的关键．
【变式3.1】下列说法中正确的有（ ）
①−7xy2的系数是−7；
②−xy3与x3没有系数；
③ab2c3的次数是5；
④−m3的系数是−1；
⑤−32m3n2的次数是2+3+2；
⑥13πr2ℎ的系数是13．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据单项式的次数和系数概念，逐一判断各个选项即可．
【详解】解：①−7xy2的系数是−7，说法正确；
②−xy3的系数为−1，x3的系数为1，说法错误；
③ab2c3的次数是6，说法错误；
④−m3的系数是−1，说法正确；
⑤−32m3n2的次数是3+2=5，说法错误；
⑥13πr2ℎ的系数是13π，说法错误，
∴说法正确的一共有C个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查单项式的相关概念，掌握单项式的次数和系数定义是解题的关键．
【变式3.2】下列判断错误的的是（ ）
A．2x2y2是二次单项式B．单项式a的系数和次数都是1
C．数字3是单项式D．2πr的系数是2π
【答案】A
【分析】根据单项式的系数即为单项式中的数字因数，单项式的次数即为单项式中的所有字母的指数和，单个数字或者字母也是单项式，据此解答即可．
【详解】解：A、2x2y2是四次单项式，原法错误，符合题意；
B、单项式a的系数和次数都是1，说法正确，不符合题意；
C、数字3是单项式，说法正确，不符合题意；
D、2πr的系数是2π，说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式以及单项式的系数和次数的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
【变式3.3】已知式子4xm−2是关于x的3次单项式，则m的值为__________．
【答案】5
【分析】根据单项式的次数定义进行计算即可．
【详解】解：∵4xm−2是关于x的3次单项式，
∴m−2=3，
∴m=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，熟练掌握所有字母的指数和叫做这个单项式的次数是解答本题的关键．
【变式3.4】如果单项式19xy2n+1和−x2y2的次数相同，则n2022的值为_______．
【答案】1
【分析】根据19xy2n+1和−x2y2的次数相同求出n的值，代入n2022计算即可．
【详解】∵19xy2n+1和−x2y2的次数相同，
∴2n+1+1=2+2，
∴n=1，
∴n2022=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．
模块三
多项式
1.多项式
（1）多项式：几个单项式的和叫多项式；
（2）多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
2.整式
单项式和多项式统称为整式（整式是，但是不一定是整式）.
【考点1 多项式】
【例1.1】下列式子中，属于多项式的是（ ）
A．a−2bB．−2abC．2+3aD．a
【答案】A
【分析】根据多项式是几个单项式的和以及多项式是整式逐项判断即可．
【详解】解：A中式子是多项式，符合题意；
B中式子是单项式，不是多项式，不符合题意；
C中式子不是整式，不是多项式，不符合题意；
D中式子是单项式，不是多项式，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查多项式的定义，理解多项式的特点是解答的关键．
【例1.2】下列式子﹣12x2y，m4n27，x2+y2﹣1，﹣5，x，2﹣y中有a个单项式，b个多项式，则ab＝_____．
【答案】16
【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式可得a、b的值，进而可得答案．
【详解】整式-12x2y，m4n27，-5，x是单项式，共4个，
x2+y2-1，2-y是多项式，共2个，
则a=4，b=2，
ab=16，
故答案为16．
【点睛】此题主要考查了整式，关键是掌握单项式和多项式概念．
【变式1.1】下列式子：2a2b,3xy−2y2,ab2,4,−m,x+yz2x,ab−cπ，其中是多项式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可．
【详解】2a2b，3，ab2，4，−m都是单项式；
x+yz2x分母含有字母，不是整式，不是多项式；
根据多项式的定义，3xy−2y2，ab−cπ是多项式，共有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式，解答本题的关键是理解多项式的定义．注意：几个单项式的和叫做多项式．
【变式1.2】在下列式子：3x−2y，−8b9，b−3y36，0.2，5mn−n−7，6+a2−b中，有_____个单项式，_____个多项式，多项式分别是_______.
【答案】 2 4 3x−2y、b−3y36、5mn−n−7、6+a2−b
【分析】根据单项式与多项式的概念即可求出答案．
【详解】解：单项式有2个：−8b9，0.2，，
多项式有4个：3x−2y，b−3y36，5mn−n−7 6+a2−b
【点睛】本题考查单项式与多项式的概念，解题的关键是正确理解单项式与多项式之间的联系，本题属于基础题型．
【考点2 多项式的项与次数】
【例2.1】下列判断中正确的是（ ）
A．9x2−y+5xy2是四次三项式B．单项式πx2y22的系数是12
C．9x2−y+5xy2的一次项系数是1D．a的次数与系数都是1
【答案】D
【分析】根据多项式的的项数和次数，单项式的系数和次数判断即可．
【详解】A． 9x2−y+5xy2是三次三项式， 故选项错误，不符合题意；
B． 单项式πx2y22的系数是π2， 故选项错误，不符合题意；
C． 9x2−y+5xy2的一次项系数是-1， 故选项错误，不符合题意；
D． a的次数与系数都是1， 故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了单项式和单项式，解题的关键是知道π是数，不是字母．
【例2.2】任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为___________．
【答案】6m3−2mn+n2−8（答案不唯一）
【分析】根据题意，结合三次四项式、最高次项的系数为6，常数项−8可写出所求多项式，只要符合题意即可．
【详解】解：∵一个含有字母m,n三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为−8，
此多项式是：6m3−2mn+n2−8．
故答案是：6m3−2mn+n2−8．
【点睛】本题考查了列，多项式，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念．
【例2.3】若多项式x2﹣2kxy﹣3y2+12xy﹣x﹣100中不含xy项，则k＝_____．
【答案】14
【分析】根据多项式x2﹣2kxy﹣3y2+12xy﹣x﹣100中不含xy项，得出xy项得系数和为0，进而求出即可．
【详解】解：∵x2﹣2kxy﹣3y2+12xy﹣x﹣100中不含xy项，
∴﹣2k+12＝0，
∴k＝14．
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了多项式相关定义，得出xy项得系数和为0是解题关键．
【变式2.1】下列关于多项式-3a2b+ab﹣2的说法中，正确的是( )
A．最高次数是5B．最高次项是-3a2bC．是二次三项式D．二次项系数是0
【答案】B
【分析】直接利用多项式的相关定义进而分析得出答案．
【详解】A、多项式-3a2b+ab﹣2的次数是3，故此选项错误；
B、多项式-3a2b+ab﹣2的最高次项是-3a2b，故此选项正确；
C、多项式-3a2b+ab﹣2是三次三项式，故此选项错误；
D、多项式-3a2b+ab﹣2的二次项系数是1，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式次数与系数的确定方法是解题关键．
【变式2.2】按某种标准，单项式5x2y和多项式a2b+2ab2−5属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类（ ）
A．3x3+2xy4B．x2−2C．abc−1D．m2+2mn+n2
【答案】C
【分析】观察单项式5x2y和多项式a2b+2ab2-5，发现它们的次数都是3次，因此可以属于同一类，然后找出四个选项中的三次多项式即可．
【详解】∵单项式5x2y和多项式a2b+2ab2-5的次数都是3次，
又∵多项式3x3+2xy4的次数为4；x2-2的次数为2；abc-1的次数为3；m2+2mn+n2的次数为2；
∴多项式abc-1的次数与单项式5x2y和多项式a2b+2ab2-5的次数相同．
故选C．
【点睛】本题考查了单项式、多项式的次数的定义．能够通过观察发现单项式5x2y和多项式a2b+2ab2-5的次数相同是解题的关键．
【变式2.3】在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（ ）
A．a2﹣3B．a3+2ab﹣1C．4a3﹣bD．4a2﹣3b+2
【答案】C
【分析】根据多项式的次数和项数即可得出答案．
【详解】解：A选项是二次二项式，故该选项不符合题意；
B选项是三次三项式，故该选项不符合题意；
C选项是三次二项式，故该选项符合题意；
D选项是二次三项式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
【考点3 整式】
【例3.1】对于下列四个式子：①3π；②a+b2；③2x；④15．其中不是整式的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．整式的定义是单项式与多项式统称为整式．
【详解】①3π，②a+b2，③2x，④15中，③2x不是整式．
故答案为：C．
【点睛】此题主要考查了整式，解决问题的关键是熟练掌握整式的定义．
【例3.2】将下列的序号填入相应的横线上．
①a2b+ab2+b3；②a+b2；③−xy23；④0；⑤−x+y3；⑥2xya；⑦3x2+2y；⑧2x；⑨x2．
（1）单项式：_______________；
（2）多项式：_______________；
（3）整式：_________________；
（4）二项式：_______________．
【答案】 ③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
【详解】（1）单项式有：③−xy23，④0，⑨x2；
（2）多项式有：①a2b+ab2+b3，②a+b2，⑤−x+y3；
（3）整式有：①a2b+ab2+b3，②a+b2，③−xy23，④0，⑤−x+y3，⑨x2；
（4）二项式有：②a+b2，⑤−x+y3；
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义．
【变式3.1】在①x2y；②a2−ab+1b;③3n，④12x+1中，下列判断正确的是（ ）
A．①③是单项式B．②是二次三项式C．②④是多项式D．①④是整式
【答案】D
【分析】根据单项式、多项式、整式的概念解题即可．
【详解】根据题意得：①是整式，是单项式；②不是整式；③是分式；④是整式，是多项式；
选项A、B、C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式、单项式以及整式的概念，解题时牢记概念是关键．
【变式3.2】在式子①2x+5，②−1，③a2+2ab+b2，④xyz，⑤1x+1y，⑥x+y2，⑦2π+3，⑧x2−y2中是整式的有________，其中是单项式的有________，是多项式的有________．
【答案】 ①②③④⑥⑦⑧ ②④ ①③⑥⑦⑧
【分析】根据整式、单项式、多项式的定义，结合所给各式进行判断即可.
【详解】解：所给式子中整式有：①②③④⑥⑦⑧；
单项式有：②④⑦；
多项式有：①③⑥⑧．
故答案为①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧．
【点睛】本题考查了多项式、单项式及整式的知识，掌握三者的定义是解题的关键，属于基础知识考察类题目.
【考点4 整式的求值】
【例4.1】在如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为−23，则输出的结果为（ ）
A．32B．−32C．92D．−92
【答案】C
【分析】将x=−23代入−1x+3即可求解．
【详解】解：∵x=−23，为分数，
∴将x=−23代入−1x+3，
得：−1x+3=−1−23+3=92．
故选：C．
【例4.2】当x=2或x=−2时，2x4−4x2+1的两个值（ ）
A．相等B．互为倒数
C．互为相反数D．既不相等也不互为相反数
【答案】A
【分析】分别把x=2或x=−2代入2x4−4x2+1求值，然后可得答案．
【详解】解：当x=2时，2x4−4x2+1=32−8+1=25，
当x=−2时，2x4−4x2+1=32−8+1=25，
∴当x=2或x=−2时，2x4−4x2+1的两个值相等．
故选A．
【例4.3】公安人员在破案时常常根据案发现场作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用a（单位：cm）表示脚印的长度，b（单位：cm）表示身高，则a与b的关系近似为b=7a−3.07．
(1)某人脚印的长度为24.5cm，求他的身高大约是多少?
(2)在某次案件中，抓获了两名可疑人员，一个身高为1.87m，另一个身高为1.80m，现场测量的脚印的长度为26.3cm，请你帮助侦查一下，哪个可疑人员作案的可能性大一些?
【答案】(1)他的身高约为168.43cm
(2)身高为1.80m的可疑人员作案的可能性大一些
【分析】（1）将a=24.5代入b=7a−3.07即可求解；
（2）将a=26.3代入b=7a−3.07，求出b的值，身高与b的值更接近的人作案的可能性大一些．
【详解】（1）解：当a=24.5时，b=7a−3.07=7×24.5−3.07=168.43cm，
所以他的身高约为168.43cm．
（2）解：当a=26.3时，b=7a−3.07=7×26.3−3.07=181.03cm.
因为1.80m比1.87m更接近181.03cm，
所以身高为1.80m的可疑人员作案的可能性大一些．
【变式4.1】若x−3y=−2，则值一定为7的是（ ）
A．−2x+6y+3B．x+3y+2C．2x−6y−3D．x+y+5
【答案】A
【分析】利用整体代入求值可直接进行排除选项．
【详解】解：∵x−3y=−2，
∴−2x+6y+3=−2x−3y+3=7，故A选项符合题意；
而x+3y+2无法求值，故B选项不符合题意；
2x−6y−3=2x−3y−3=−7，故C选项不符合题意；
D选项无法求值，不符合题意，
故选A．
模块四
课后作业
1．下列语句正确的是（ ）
A．－5是一次单项式B．a可以表示负数
C．−5a2b的系数是5，次数是2D．a2+2ab+1是四次三项式
【答案】B
【分析】根据单项式的系数与次数、多项式的系数与次数、字母表示数逐项判断即可得．
【详解】解：A、−5是单项式，则此项错误，不符合题意；
B、当a<0时，a表示负数，则此项正确，符合题意；
C、−5a2b的系数是−5，次数是2+1=3，则此项错误，不符合题意；
D、a2+2ab+1含有三项，且a2和2ab的次数都是2，所以它是二次三项式，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数、多项式的系数与次数、字母表示数，掌握理解各概念是解题关键．
2．多项式x3−2xy−y+2中的二次项是（ ）
A．−2xyB．2xyC．x3D．−2
【答案】A
【分析】直接利用多项式中各项确定方法得出答案．
【详解】解：多项式x3−2xy−y+2中的二次项是：−2xy．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式各项的确定方法是解题关键．
3．单项式−πx2y3的系数、次数分别是（ ）
A．−13，4次B．π3，4次C．−π3，3次D．13，3次
【答案】C
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】根据单项式定义得：单项式式−πx2y3的系数是−π3，次数是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式系数、次数的定义．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
4．多项式13x2y3−12xy2+3的次数为（ ）
A．5B．3C．7D．8
【答案】A
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，即可求解．
【详解】解：多项式13x2y3−12xy2+3的次数为5，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式的次数，掌握多项式的次数的定义是解题的关键．
5．对于下列式子：①ab；②x2−xy−1x；③1a；④x2+2x+1x−1；⑤13m+n，以下判断正确的是（ ）
A．①③是单项式B．①的系数是0C．①⑤是整式D．②④是多项式
【答案】C
【分析】根据单项式、多项式、整式、分式的定义逐个判断即可．
【详解】A、①ab是单项式，③1a不是整式，也不是单项式，故本选项错误；
B、①ab是单项式，系数是1，故本选项错误；
C、①ab和⑤13m+n是整式，故本选项正确；
D、②x2−xy−1x和④x2+2x+1x−1不是整式，也不是多项式，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了对单项式、多项式、整式、分式的定义的理解和运用，主要考查学生的辨析能力，是一道比较容易出错的题目．
6．若单项式−4a2b的系数为x，次数为y，则x+y=___________．
【答案】−1
【分析】根据单项式的系数即为单项式中的数字因数，单项式的次数即为单项式中所有字母的指数和，据此解答即可．
【详解】解：∵单项式−4a2b的系数为x，次数为y，
∴x=−4,y=3，
∴x+y=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了单项式的系数以及次数的概念，熟记相关定义是解本题的关键．
7．−13a2b3c的系数是___，1−2x是___、_____这二项的和．
【答案】 −13 1 −2x
【分析】根据单项式的系数、多项式的有关概念解答即可．
【详解】解：−13a2b3c的系数是−13；
1−2x是1与−2x这二项的和，
故答案为：−13，1，−2x．
【点睛】本题考查了单项式的系、多项式的有关概念．单项式的系数：单项式中的数字因数．多项式是由单项式的和组成，要连同该项前面的符号一起回答．
8．3个连续奇数中，n为最大的奇数，则这3个数的和为_________.
【答案】3n-6.
【分析】依题意写出这三个奇数，即可求解.
【详解】∵3个连续奇数中，n为最大的奇数，
∴这3个数为n-4,n-2,n，故这3个数的和为3n-6.
故填：3n-6.
【点睛】此题主要考查，解题的关键是熟知奇数的定义.
9．把下列对应的序号填入相应的横线上
①a2b+ab−b2，②a+b2，③xy23，④−x+3y，⑤0，⑥2x，⑦x2
(1)单项式________；(2)多项式________；(3)整式________．
【答案】 ③⑤⑦ ①② ①②③⑤⑦
【详解】根据单项式，多项式，整式的定义即可求解．
【分析】(1)解：单项式 ③⑤⑦；
故答案为：③⑤⑦；
(2)多项式 ①②；
故答案为：①②；
(3)整式 ①②③⑤⑦．
故答案为：①②③⑤⑦．
【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式．
10．若多项式(m−4)x2+(6+m)x−2是关于x的二次二项式，则m＝______．
【答案】-6
【分析】根据多项式的意义可得m−4≠06+m=0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵多项式(m−4)x2+(6+m)x−2是关于x的二次二项式，
∴m−4≠06+m=0，
∴m=−6．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键．
11．把下列各式填在相应的大括号里．（只需填序号）
①x−7；②13x；③4ab；④23a；⑤5−3x；⑥y；⑦st；⑧x+13；⑨x7+y7；⑩x2+x2+1；⑪m−1m+1；⑫8a3x；⑬−1
单项式集合_______________；
多项式集合_______________；
整式集合_______________
【答案】②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬
【分析】根据单项式的定义：由数与字母的积组成的叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；整式的定义：单项式和多项式统称为整式；解答即可．
【详解】解：单项式有：②13x，③4ab，⑥y，⑫8a3x，⑬−1；
多项式有：①x−7，⑧x+13，⑨x7+y7，⑩x2+x2+1；
整式有：①x−7；②13x；③4ab；⑥y；⑧x+13；⑨x7+y7；⑩x2+x2+1；⑫8a3x；⑬−1；
故答案为：②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬．
【点睛】本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键．
12．写出系数是12，均含有字母x，y而不含其他字母的所有四次单项式．
【答案】12x3y,12x2y2,12xy3．
【分析】根据单项式的概念进行解答，系数是12，字母指数和是4的单项式.
【详解】解：符合题意的单项式由：12x3y,12x2y2,12xy3共三个.
故答案是：12x3y,12x2y2,12xy3
【点睛】本题考查了单项式的知识点，熟练掌握单项式次数的定义是解决此题的关键，属于基础题.
13．已知单项式−x4y3的次数与多项式a3+8am+1b+a2b2的次数相同，求m的值．
【答案】5
【分析】由单项式的次数为所有字母的指数和，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数得出m+1+1=7，求出m的值即可．
【详解】解：∵单项式−3x4y3的次数与多项式a2+8am+1b+a2b2的次数相同，
∴m+1+1=7，
∴m=5．
【点睛】本题考查了单项式与多项式的次数的定义，牢记定义是解题的关键．
14．已知多项式3x2y−xmy2−4xy是一个四次三项式，且n为二次项的系数，求mn的值．
【答案】−8
【分析】根据多项式的次数和二次项的系数求出m，n的值，代入求值即可．
【详解】解：因为多项式3x2y−xmy2−4xy是一个四次三项式，n为二次项的系数，
所以m+2=4，n=−4，
所以m=2，
所以mn=−8．
【点睛】本题考查了多项式的次数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
·模块一 用字母表示数
·模块二 单项式
·模块三 多项式
·模块四 课后作业
模块一
用字母表示数
【考点1 用字母表示数的书写】
【例1.1】1．下列各式中，符合书写要求的是（ ）．
A．x×5B．4m×nC．123xD．−12ab
【答案】D
【分析】根据的书写规范，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：x×5应表示为：5x，故选项A不符合要求；
4m×n应表示为：4mn，故选项B不符合要求；
123x应表示为：53x，故选项C不符合要求；
−12ab的书写规范，故选项D符合题意；
故选：D．
【例1.2】下列各式：①113x；②2·5；③20%x；④m2n23；其中，不符合书写要求的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据书写规范要求逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据书写规范要求可知：①中应写为43x；②数与数相乘不能用“⋅”连接；符合书写规范要求的有：③20%x；④ m2n23；共计2个.
故选：B．
【点睛】本题考查了书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用· 示． 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当1与任何字母相乘时，1省略不写；当−1乘以字母时，只要在那个字母前加上−号．
【变式1.1】下列式子：①x÷y；②113a；③−xy2；④−12ba2，其中格式书写正确的个数有___________个．
【答案】2
【分析】根据的书写要求判断各项即可．
【详解】解：①x÷y应表示为xy ；②113a应表示为43a；③−xy2；④−12ba2正确；
综上分析可知，格式书写正确的个数有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了书写要求：（1）在中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
【考点2 用字母表示数的实际应用】
【例2.1】某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（ ）
A．a元B．0.972a元C．0.968a元D．0.96a 元
【答案】B
【分析】根据题目要求列出a1+20%1−10%1−10%化简计算即可．
【详解】依题意，该商品经过一次20%的升价，再经过两次10%的降价，目前的价格为：
a1+20%1−10%1−10%=1.2×0.9×0.9a=0.972a．
故选：B．
【点睛】本题考查用字母表示数，较为简单；另外本题为选择题，在化简计算时可采用尾数判别法（即1.2×0.9×0.9的结果应有三位小数且尾数是2）可快速选出答案．
【例2.2】体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．则500−2x−3y表示的实际意义为？体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费？
【答案】500−2x−3y表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；500−2x−3y元
【分析】根据500−2x−3y结合一个足球x元，一个篮球y元得出表示的意义即可；根据体育委员买了2个足球、3个篮球，列出即可．
【详解】解：∵体育委员小金带了500元钱去买体育用品，一个足球x元，一个篮球y元，
∴500−2x−3y表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；
体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费为500−2x−3y元．
【例2.3】若x、y分别表示1﹣9中一个数字，小明想用x、y来组成一个两位数且把x放在y的右边，则这个两位数可以表示为_____．
【答案】10y+x
【分析】根据两位数的表示方法即可求解．
【详解】解：由题意可知，这个两位数可以表示为10y+x．
故答案为10y+x．
【变式2.1】某产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为（ ）
A．(1+14%)(1+0.8)a元B．0.8(1+14%)a元
C．(1+14%)(1−0.8)a元D．(1+14%+0.8)a元
【答案】B
【分析】根据售价与成本价之间的数量关系得到销售价，再根据销售价的八折得到实际售价．
【详解】解：∵产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%，
∴产品销售价为：1+14%a元，
∵因库存积压，按销售价的八折出售，
∴产品的实际售价为：0.81+14%a元．
故选B．
【变式2.2】某工厂第一年生产b件产品，第二年比第一年增产了30%，则第二年生产产品的件数为( )
A．0.3bB．bC．1.3bD．2.3b
【答案】C
【详解】【分析】第一年生产b件产品，第二年比第一年增产了30%，则第二年生产产品的件数为:
b（1+30%）.
【详解】第一年生产b件产品，第二年比第一年增产了30%，则第二年生产产品的件数为:
b（1+30%）=1.3b
故选C
【点睛】本题考核知识点：列含有字母的式子. 解题关键点：理解增长率.
【变式2.3】．长方形的周长为c米，宽为x米，则长为（ ）
A．(c−2x)米B．c−2x2米
C．c−x2米D．（c2−2x）米
【答案】B
【详解】设长为y , 则 2(x+y)=c， 解得y=c−2x2米，所以选B.
【变式2.4】字母表示图中阴影部分的面积为_____．
【答案】a2−14πa2
【分析】图中阴影部分的面积＝正方形的面积−圆形的面积．
【详解】其中正方形的边长是a，圆的半径是a2．
∴S阴＝a2−π•（a2）2＝a2−14πa2．
故答案为：a2−14πa2．
【点睛】此题要能从图中看出阴影部分的面积是哪些图形组合成的，然后再利用已知面积的图形差求阴影的面积：阴影部分的面积＝正方形的面积−圆形的面积．
模块二
单项式
单项式
（1）单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式；
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数（要包括前面的符号）；
（3）单项式的次数：单项式中所有字母指数的和（只与字母有关）.
【考点1 单项式的定义】
【例1.1】下列各式中，不是单项式的是（ ）
A．2x3B．2023C．aD．x+1
【答案】D
【分析】根据单项式的定义即可求解．
【详解】解：根据单项式的定义可知，2x3,2003,a是单项式，x+1不是单项式．
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的定义是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）．
【例1.2】对于15a，下列解释不合理的是（ ）
A．家鸡的市场价为15元/千克，a千克家鸡需15a元
B．家鸡的市场价为a元/千克，买15千克的家鸡共需15a元
C．等边三角形的边长为5a，则这个三角形的周长为15a
D．制作某种电器需要15道工序，已知完成每一道工序所需时间是a小时，则完成这15道工序所需的时间为15a小时
【答案】D
【分析】根据实际情况，即可列判断．
【详解】解：A，B，C都正确，故选项不符合题意；
完成一道工序所需时间是a时，完成15道工序，每道工序所有的时间不一定相同，因而所需的总费用不一定是15a小时．故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了表示的实际意义，此类问题应结合实际，根据的特点解答．
【例1.3】下列：①a+1，②−3ab7，③5，④−2a+5b，⑤a，⑥1a．其中单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据单项式的定义逐一进而判断即可得到答案．
【详解】解：①a+1、④−2a+5b不是单项式；
⑥1a分母中含字母，不是整式；
②−3ab7、③5、⑤a是单项式，
所以单项式有3个，
故选C．
【点睛】本题考查了单项式的判断，解题关键是掌握单项式的定义：只含有数与字母的积的式子叫做单项式，注意单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．
【变式1.1】下列各式中是单项式的是（ ）
A．m+nB．2x−3yC．2xy2D．5a+2b2
【答案】C
【分析】单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
【详解】A. m+n不是单项式，故选项错误；
B. 2x−3y不是单项式，故选项错误；
C. 2xy2是单项式，故选项错正确；
D. 5a+2b2不是单项式，故选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的定义是解题关键．
【变式1.2】下列各式：−15a2b2，12x−1，﹣25，1x，x−y2，a2﹣2ab+b2中属于单项式的有_____．
【答案】−15a2b2，﹣25
【分析】数与字母的积的形式的是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．
【详解】根据单项式的定义知，单项式有：−15a2b2，﹣25．
【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，这是判断是否是单项式的关键．
【考点2 单项式的系数】
【例2.1】单项式mn的系数为______
【答案】1
【分析】直接利用单项式的系数的概念得出答案．
【详解】单项式mn的系数为：1.
故答案为1.
【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义.
【例2.2】单项式−2xy23的系数是（ ）
A．3B．23C．−23D．−2
【答案】C
【分析】单项式的系数指单项式中的数字因数（包括正负号）；
【详解】解：∵单项式−2xy23的数字因数是−23，
∴单项式的系数是−23，
故选： C．
【点睛】本题考查了单项式的系数，牢记其定义是解题关键．
【变式2.1】单项式−23πab3的系数是_______．
【答案】−2π3
【分析】根据单项式系数的定义，即可得出答案．
【详解】解：单项式−23πab3的系数是−23π，
故答案为−23π．
【点睛】本题考查了单项式的有关知识，熟练掌握单项式系数的定义是解题的关键．
【考点3 单项式的次数】
【例3.1】单项式−2xy2的次数是（ ）
A．1B．2C．3D．−2
【答案】C
【分析】根据单项式的次数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式−2xy2的次数是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义．解题的关键是掌握单项式的相关定义：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【例3.2】下列中，次数是3的单项式是（ ）
A．−a3bB．3a2b2C．x2y4D．3a3−3
【答案】C
【分析】根据单项式的次数及定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
−a3b是4次单项式，故A不符合题意；
3a2b2是4次单项式，故B不符合题意；
x2y4是3次单项式，故C,符合题意；
3a3−3是3次2项式，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查单项式的定义及次数：数与字母的积叫单项式，所有字母指数和为单项式的次数．
【例3.3】单项式−22x?y2的次数是7，则“？”是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】C
【分析】直接根据单项式的次数的定义得出答案，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】单项式−22x?y2的次数是7，则“？”是5，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的次数，理解单项式的次数是解题的关键．
【变式3.1】下列说法中正确的有（ ）
①−7xy2的系数是−7；
②−xy3与x3没有系数；
③ab2c3的次数是5；
④−m3的系数是−1；
⑤−32m3n2的次数是2+3+2；
⑥13πr2ℎ的系数是13．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据单项式的次数和系数概念，逐一判断各个选项即可．
【详解】解：①−7xy2的系数是−7，说法正确；
②−xy3的系数为−1，x3的系数为1，说法错误；
③ab2c3的次数是6，说法错误；
④−m3的系数是−1，说法正确；
⑤−32m3n2的次数是3+2=5，说法错误；
⑥13πr2ℎ的系数是13π，说法错误，
∴说法正确的一共有C个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查单项式的相关概念，掌握单项式的次数和系数定义是解题的关键．
【变式3.2】下列判断错误的的是（ ）
A．2x2y2是二次单项式B．单项式a的系数和次数都是1
C．数字3是单项式D．2πr的系数是2π
【答案】A
【分析】根据单项式的系数即为单项式中的数字因数，单项式的次数即为单项式中的所有字母的指数和，单个数字或者字母也是单项式，据此解答即可．
【详解】解：A、2x2y2是四次单项式，原法错误，符合题意；
B、单项式a的系数和次数都是1，说法正确，不符合题意；
C、数字3是单项式，说法正确，不符合题意；
D、2πr的系数是2π，说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式以及单项式的系数和次数的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
【变式3.3】已知式子4xm−2是关于x的3次单项式，则m的值为__________．
【答案】5
【分析】根据单项式的次数定义进行计算即可．
【详解】解：∵4xm−2是关于x的3次单项式，
∴m−2=3，
∴m=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，熟练掌握所有字母的指数和叫做这个单项式的次数是解答本题的关键．
【变式3.4】如果单项式19xy2n+1和−x2y2的次数相同，则n2022的值为_______．
【答案】1
【分析】根据19xy2n+1和−x2y2的次数相同求出n的值，代入n2022计算即可．
【详解】∵19xy2n+1和−x2y2的次数相同，
∴2n+1+1=2+2，
∴n=1，
∴n2022=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．
模块三
多项式
1.多项式
（1）多项式：几个单项式的和叫多项式；
（2）多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
2.整式
单项式和多项式统称为整式（整式是，但是不一定是整式）.
【考点1 多项式】
【例1.1】下列式子中，属于多项式的是（ ）
A．a−2bB．−2abC．2+3aD．a
【答案】A
【分析】根据多项式是几个单项式的和以及多项式是整式逐项判断即可．
【详解】解：A中式子是多项式，符合题意；
B中式子是单项式，不是多项式，不符合题意；
C中式子不是整式，不是多项式，不符合题意；
D中式子是单项式，不是多项式，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查多项式的定义，理解多项式的特点是解答的关键．
【例1.2】下列式子﹣12x2y，m4n27，x2+y2﹣1，﹣5，x，2﹣y中有a个单项式，b个多项式，则ab＝_____．
【答案】16
【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式可得a、b的值，进而可得答案．
【详解】整式-12x2y，m4n27，-5，x是单项式，共4个，
x2+y2-1，2-y是多项式，共2个，
则a=4，b=2，
ab=16，
故答案为16．
【点睛】此题主要考查了整式，关键是掌握单项式和多项式概念．
【变式1.1】下列式子：2a2b,3xy−2y2,ab2,4,−m,x+yz2x,ab−cπ，其中是多项式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可．
【详解】2a2b，3，ab2，4，−m都是单项式；
x+yz2x分母含有字母，不是整式，不是多项式；
根据多项式的定义，3xy−2y2，ab−cπ是多项式，共有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式，解答本题的关键是理解多项式的定义．注意：几个单项式的和叫做多项式．
【变式1.2】在下列式子：3x−2y，−8b9，b−3y36，0.2，5mn−n−7，6+a2−b中，有_____个单项式，_____个多项式，多项式分别是_______.
【答案】 2 4 3x−2y、b−3y36、5mn−n−7、6+a2−b
【分析】根据单项式与多项式的概念即可求出答案．
【详解】解：单项式有2个：−8b9，0.2，，
多项式有4个：3x−2y，b−3y36，5mn−n−7 6+a2−b
【点睛】本题考查单项式与多项式的概念，解题的关键是正确理解单项式与多项式之间的联系，本题属于基础题型．
【考点2 多项式的项与次数】
【例2.1】下列判断中正确的是（ ）
A．9x2−y+5xy2是四次三项式B．单项式πx2y22的系数是12
C．9x2−y+5xy2的一次项系数是1D．a的次数与系数都是1
【答案】D
【分析】根据多项式的的项数和次数，单项式的系数和次数判断即可．
【详解】A． 9x2−y+5xy2是三次三项式， 故选项错误，不符合题意；
B． 单项式πx2y22的系数是π2， 故选项错误，不符合题意；
C． 9x2−y+5xy2的一次项系数是-1， 故选项错误，不符合题意；
D． a的次数与系数都是1， 故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了单项式和单项式，解题的关键是知道π是数，不是字母．
【例2.2】任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为___________．
【答案】6m3−2mn+n2−8（答案不唯一）
【分析】根据题意，结合三次四项式、最高次项的系数为6，常数项−8可写出所求多项式，只要符合题意即可．
【详解】解：∵一个含有字母m,n三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为−8，
此多项式是：6m3−2mn+n2−8．
故答案是：6m3−2mn+n2−8．
【点睛】本题考查了列，多项式，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念．
【例2.3】若多项式x2﹣2kxy﹣3y2+12xy﹣x﹣100中不含xy项，则k＝_____．
【答案】14
【分析】根据多项式x2﹣2kxy﹣3y2+12xy﹣x﹣100中不含xy项，得出xy项得系数和为0，进而求出即可．
【详解】解：∵x2﹣2kxy﹣3y2+12xy﹣x﹣100中不含xy项，
∴﹣2k+12＝0，
∴k＝14．
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了多项式相关定义，得出xy项得系数和为0是解题关键．
【变式2.1】下列关于多项式-3a2b+ab﹣2的说法中，正确的是( )
A．最高次数是5B．最高次项是-3a2bC．是二次三项式D．二次项系数是0
【答案】B
【分析】直接利用多项式的相关定义进而分析得出答案．
【详解】A、多项式-3a2b+ab﹣2的次数是3，故此选项错误；
B、多项式-3a2b+ab﹣2的最高次项是-3a2b，故此选项正确；
C、多项式-3a2b+ab﹣2是三次三项式，故此选项错误；
D、多项式-3a2b+ab﹣2的二次项系数是1，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式次数与系数的确定方法是解题关键．
【变式2.2】按某种标准，单项式5x2y和多项式a2b+2ab2−5属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类（ ）
A．3x3+2xy4B．x2−2C．abc−1D．m2+2mn+n2
【答案】C
【分析】观察单项式5x2y和多项式a2b+2ab2-5，发现它们的次数都是3次，因此可以属于同一类，然后找出四个选项中的三次多项式即可．
【详解】∵单项式5x2y和多项式a2b+2ab2-5的次数都是3次，
又∵多项式3x3+2xy4的次数为4；x2-2的次数为2；abc-1的次数为3；m2+2mn+n2的次数为2；
∴多项式abc-1的次数与单项式5x2y和多项式a2b+2ab2-5的次数相同．
故选C．
【点睛】本题考查了单项式、多项式的次数的定义．能够通过观察发现单项式5x2y和多项式a2b+2ab2-5的次数相同是解题的关键．
【变式2.3】在下列给出的四个多项式中，为三次二项式的多项式是（ ）
A．a2﹣3B．a3+2ab﹣1C．4a3﹣bD．4a2﹣3b+2
【答案】C
【分析】根据多项式的次数和项数即可得出答案．
【详解】解：A选项是二次二项式，故该选项不符合题意；
B选项是三次三项式，故该选项不符合题意；
C选项是三次二项式，故该选项符合题意；
D选项是二次三项式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
【考点3 整式】
【例3.1】对于下列四个式子：①3π；②a+b2；③2x；④15．其中不是整式的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．整式的定义是单项式与多项式统称为整式．
【详解】①3π，②a+b2，③2x，④15中，③2x不是整式．
故答案为：C．
【点睛】此题主要考查了整式，解决问题的关键是熟练掌握整式的定义．
【例3.2】将下列的序号填入相应的横线上．
①a2b+ab2+b3；②a+b2；③−xy23；④0；⑤−x+y3；⑥2xya；⑦3x2+2y；⑧2x；⑨x2．
（1）单项式：_______________；
（2）多项式：_______________；
（3）整式：_________________；
（4）二项式：_______________．
【答案】 ③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤
【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解．
【详解】（1）单项式有：③−xy23，④0，⑨x2；
（2）多项式有：①a2b+ab2+b3，②a+b2，⑤−x+y3；
（3）整式有：①a2b+ab2+b3，②a+b2，③−xy23，④0，⑤−x+y3，⑨x2；
（4）二项式有：②a+b2，⑤−x+y3；
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义．
【变式3.1】在①x2y；②a2−ab+1b;③3n，④12x+1中，下列判断正确的是（ ）
A．①③是单项式B．②是二次三项式C．②④是多项式D．①④是整式
【答案】D
【分析】根据单项式、多项式、整式的概念解题即可．
【详解】根据题意得：①是整式，是单项式；②不是整式；③是分式；④是整式，是多项式；
选项A、B、C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式、单项式以及整式的概念，解题时牢记概念是关键．
【变式3.2】在式子①2x+5，②−1，③a2+2ab+b2，④xyz，⑤1x+1y，⑥x+y2，⑦2π+3，⑧x2−y2中是整式的有________，其中是单项式的有________，是多项式的有________．
【答案】 ①②③④⑥⑦⑧ ②④ ①③⑥⑦⑧
【分析】根据整式、单项式、多项式的定义，结合所给各式进行判断即可.
【详解】解：所给式子中整式有：①②③④⑥⑦⑧；
单项式有：②④⑦；
多项式有：①③⑥⑧．
故答案为①②③④⑥⑦⑧、②④、①③⑥⑦⑧．
【点睛】本题考查了多项式、单项式及整式的知识，掌握三者的定义是解题的关键，属于基础知识考察类题目.
【考点4 整式的求值】
【例4.1】在如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为−23，则输出的结果为（ ）
A．32B．−32C．92D．−92
【答案】C
【分析】将x=−23代入−1x+3即可求解．
【详解】解：∵x=−23，为分数，
∴将x=−23代入−1x+3，
得：−1x+3=−1−23+3=92．
故选：C．
【例4.2】当x=2或x=−2时，2x4−4x2+1的两个值（ ）
A．相等B．互为倒数
C．互为相反数D．既不相等也不互为相反数
【答案】A
【分析】分别把x=2或x=−2代入2x4−4x2+1求值，然后可得答案．
【详解】解：当x=2时，2x4−4x2+1=32−8+1=25，
当x=−2时，2x4−4x2+1=32−8+1=25，
∴当x=2或x=−2时，2x4−4x2+1的两个值相等．
故选A．
【例4.3】公安人员在破案时常常根据案发现场作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用a（单位：cm）表示脚印的长度，b（单位：cm）表示身高，则a与b的关系近似为b=7a−3.07．
(1)某人脚印的长度为24.5cm，求他的身高大约是多少?
(2)在某次案件中，抓获了两名可疑人员，一个身高为1.87m，另一个身高为1.80m，现场测量的脚印的长度为26.3cm，请你帮助侦查一下，哪个可疑人员作案的可能性大一些?
【答案】(1)他的身高约为168.43cm
(2)身高为1.80m的可疑人员作案的可能性大一些
【分析】（1）将a=24.5代入b=7a−3.07即可求解；
（2）将a=26.3代入b=7a−3.07，求出b的值，身高与b的值更接近的人作案的可能性大一些．
【详解】（1）解：当a=24.5时，b=7a−3.07=7×24.5−3.07=168.43cm，
所以他的身高约为168.43cm．
（2）解：当a=26.3时，b=7a−3.07=7×26.3−3.07=181.03cm.
因为1.80m比1.87m更接近181.03cm，
所以身高为1.80m的可疑人员作案的可能性大一些．
【变式4.1】若x−3y=−2，则值一定为7的是（ ）
A．−2x+6y+3B．x+3y+2C．2x−6y−3D．x+y+5
【答案】A
【分析】利用整体代入求值可直接进行排除选项．
【详解】解：∵x−3y=−2，
∴−2x+6y+3=−2x−3y+3=7，故A选项符合题意；
而x+3y+2无法求值，故B选项不符合题意；
2x−6y−3=2x−3y−3=−7，故C选项不符合题意；
D选项无法求值，不符合题意，
故选A．
模块四
课后作业
1．下列语句正确的是（ ）
A．－5是一次单项式B．a可以表示负数
C．−5a2b的系数是5，次数是2D．a2+2ab+1是四次三项式
【答案】B
【分析】根据单项式的系数与次数、多项式的系数与次数、字母表示数逐项判断即可得．
【详解】解：A、−5是单项式，则此项错误，不符合题意；
B、当a<0时，a表示负数，则此项正确，符合题意；
C、−5a2b的系数是−5，次数是2+1=3，则此项错误，不符合题意；
D、a2+2ab+1含有三项，且a2和2ab的次数都是2，所以它是二次三项式，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数、多项式的系数与次数、字母表示数，掌握理解各概念是解题关键．
2．多项式x3−2xy−y+2中的二次项是（ ）
A．−2xyB．2xyC．x3D．−2
【答案】A
【分析】直接利用多项式中各项确定方法得出答案．
【详解】解：多项式x3−2xy−y+2中的二次项是：−2xy．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式各项的确定方法是解题关键．
3．单项式−πx2y3的系数、次数分别是（ ）
A．−13，4次B．π3，4次C．−π3，3次D．13，3次
【答案】C
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】根据单项式定义得：单项式式−πx2y3的系数是−π3，次数是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式系数、次数的定义．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
4．多项式13x2y3−12xy2+3的次数为（ ）
A．5B．3C．7D．8
【答案】A
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，即可求解．
【详解】解：多项式13x2y3−12xy2+3的次数为5，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式的次数，掌握多项式的次数的定义是解题的关键．
5．对于下列式子：①ab；②x2−xy−1x；③1a；④x2+2x+1x−1；⑤13m+n，以下判断正确的是（ ）
A．①③是单项式B．①的系数是0C．①⑤是整式D．②④是多项式
【答案】C
【分析】根据单项式、多项式、整式、分式的定义逐个判断即可．
【详解】A、①ab是单项式，③1a不是整式，也不是单项式，故本选项错误；
B、①ab是单项式，系数是1，故本选项错误；
C、①ab和⑤13m+n是整式，故本选项正确；
D、②x2−xy−1x和④x2+2x+1x−1不是整式，也不是多项式，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了对单项式、多项式、整式、分式的定义的理解和运用，主要考查学生的辨析能力，是一道比较容易出错的题目．
6．若单项式−4a2b的系数为x，次数为y，则x+y=___________．
【答案】−1
【分析】根据单项式的系数即为单项式中的数字因数，单项式的次数即为单项式中所有字母的指数和，据此解答即可．
【详解】解：∵单项式−4a2b的系数为x，次数为y，
∴x=−4,y=3，
∴x+y=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了单项式的系数以及次数的概念，熟记相关定义是解本题的关键．
7．−13a2b3c的系数是___，1−2x是___、_____这二项的和．
【答案】 −13 1 −2x
【分析】根据单项式的系数、多项式的有关概念解答即可．
【详解】解：−13a2b3c的系数是−13；
1−2x是1与−2x这二项的和，
故答案为：−13，1，−2x．
【点睛】本题考查了单项式的系、多项式的有关概念．单项式的系数：单项式中的数字因数．多项式是由单项式的和组成，要连同该项前面的符号一起回答．
8．3个连续奇数中，n为最大的奇数，则这3个数的和为_________.
【答案】3n-6.
【分析】依题意写出这三个奇数，即可求解.
【详解】∵3个连续奇数中，n为最大的奇数，
∴这3个数为n-4,n-2,n，故这3个数的和为3n-6.
故填：3n-6.
【点睛】此题主要考查，解题的关键是熟知奇数的定义.
9．把下列对应的序号填入相应的横线上
①a2b+ab−b2，②a+b2，③xy23，④−x+3y，⑤0，⑥2x，⑦x2
(1)单项式________；(2)多项式________；(3)整式________．
【答案】 ③⑤⑦ ①② ①②③⑤⑦
【详解】根据单项式，多项式，整式的定义即可求解．
【分析】(1)解：单项式 ③⑤⑦；
故答案为：③⑤⑦；
(2)多项式 ①②；
故答案为：①②；
(3)整式 ①②③⑤⑦．
故答案为：①②③⑤⑦．
【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式．
10．若多项式(m−4)x2+(6+m)x−2是关于x的二次二项式，则m＝______．
【答案】-6
【分析】根据多项式的意义可得m−4≠06+m=0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵多项式(m−4)x2+(6+m)x−2是关于x的二次二项式，
∴m−4≠06+m=0，
∴m=−6．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键．
11．把下列各式填在相应的大括号里．（只需填序号）
①x−7；②13x；③4ab；④23a；⑤5−3x；⑥y；⑦st；⑧x+13；⑨x7+y7；⑩x2+x2+1；⑪m−1m+1；⑫8a3x；⑬−1
单项式集合_______________；
多项式集合_______________；
整式集合_______________
【答案】②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬
【分析】根据单项式的定义：由数与字母的积组成的叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；整式的定义：单项式和多项式统称为整式；解答即可．
【详解】解：单项式有：②13x，③4ab，⑥y，⑫8a3x，⑬−1；
多项式有：①x−7，⑧x+13，⑨x7+y7，⑩x2+x2+1；
整式有：①x−7；②13x；③4ab；⑥y；⑧x+13；⑨x7+y7；⑩x2+x2+1；⑫8a3x；⑬−1；
故答案为：②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬．
【点睛】本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键．
12．写出系数是12，均含有字母x，y而不含其他字母的所有四次单项式．
【答案】12x3y,12x2y2,12xy3．
【分析】根据单项式的概念进行解答，系数是12，字母指数和是4的单项式.
【详解】解：符合题意的单项式由：12x3y,12x2y2,12xy3共三个.
故答案是：12x3y,12x2y2,12xy3
【点睛】本题考查了单项式的知识点，熟练掌握单项式次数的定义是解决此题的关键，属于基础题.
13．已知单项式−x4y3的次数与多项式a3+8am+1b+a2b2的次数相同，求m的值．
【答案】5
【分析】由单项式的次数为所有字母的指数和，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数得出m+1+1=7，求出m的值即可．
【详解】解：∵单项式−3x4y3的次数与多项式a2+8am+1b+a2b2的次数相同，
∴m+1+1=7，
∴m=5．
【点睛】本题考查了单项式与多项式的次数的定义，牢记定义是解题的关键．
14．已知多项式3x2y−xmy2−4xy是一个四次三项式，且n为二次项的系数，求mn的值．
【答案】−8
【分析】根据多项式的次数和二次项的系数求出m，n的值，代入求值即可．
【详解】解：因为多项式3x2y−xmy2−4xy是一个四次三项式，n为二次项的系数，
所以m+2=4，n=−4，
所以m=2，
所以mn=−8．
【点睛】本题考查了多项式的次数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
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