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暑假自学课七年级数学上册人教版第09讲 整式的规律探索学案（解析版）
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这是一份暑假自学课七年级数学上册人教版第09讲 整式的规律探索学案（解析版），共21页。
·模块一 与数有关的规律探索
·模块二 与式有关的规律探索
·模块三 与图形排列有关的规律探索
·模块四 课后作业
模块一
与数有关的规律探索
【例1】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为a1=1，第二个三角形数记为a2=3，…，则第100个三角形数记为a100=______．
【答案】5050
【分析】根据数字的变化规律发现第n个三角形数为1+2+3+…+n=nn+12，然后将n=100代入求出结果即可．
【详解】解：观察三角形数发现规律：
第一个三角形数记为a1=1；
第二个三角形数记为a2=1+2；
第三个三角形数记为a3=1+2+3；
…
发现规律：
第n个三角形数记为an=1+2+3+…+n=n(n+1)2，
∴把n=100代入得：nn+12=100×100+12=5050．
故答案为：5050．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律得出an=1+2+3+…+n=n(n+1)2．
【例2】填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到a+b+c+d的值为（ ）
A．355B．356C．435D．436
【答案】D
【分析】分析前三个正方形，发现第一个数为：2(n−1)，第二个数为：2n+1，第三个数为第二个数加1，第四个数为第二个数与第三个数的乘积加1，然后代入求解即可．
【详解】解：分析正方形中的四个数：
第一个数为：2(n−1)，
∴第⑨个正方形的第一个数a=16；
第二个数为：2n+1，
∴第⑨个正方形的第二个数b=19；
第三个数为第二个数加1，即c=19+1=20，
第四个数为第二个数与第三个数的乘积加1即d=19×20+1=381
∴a+b+c+d=16+19+20+381=436，
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变换类，解题的关键是分析正方形中四个数找出它们之间的关系是关键．
【例3】电子青蛙在数轴上的某点x0处，第一步从x0向右跳1个单位到x1，第二步从x1向左跳2个单位到x2，第三步从x2向右跳3个单位到x3，第四步从x3向左跳四个单位到x4，以此类推，按以上规律跳了50步时，电子青蛙在数轴上点x50所表示的数恰好是10，则电子青蛙的初始点位置x0所表示的数字是______，点x2n+1所表示的数是______（用含n的代数式表示，n是非负整数）．
【答案】 35 n+36
【分析】根据题意列出算式，然后对算式进行整理，进而求解即可．
【详解】解：设x0表示的数为a，
由题意得a+1−2+3−4+…+49−50=10，即a−25=10，
解得：a=35，
即x0所表示的数字是35，
∴35+1−2+3−4+…+2n+2n+1=35−n+2n+1=n+36
故答案为：35；n+36．
【点睛】此题考查数轴、有理数的加减，整式的加减，根据题意列出算式，找出简便的计算方法是解题的关键．
【变式1】观察下面的三行单项式
x、2x2、4x3、8x4、16x5、32x6、……
－2x、4x2、－8x3、16x4、－32x5、64x6、……
2x2、－3x3、5x4、－9x5、17x6、－33x7、……
根据你发现的规律：
(1)第①行第n个单项式为______
(2)第②行第n个单项式为______
(3)第③行第n个单项式为______
(4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝12时，512（A＋14）的值．
【答案】(1)2n－1xn
(2)（－2）nxn
(3)（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1
(4)18
【分析】（1）观察第①行式子的特点，可得第n个数是 2n－1xn ；
（2）观察第②行式子的特点，可得第n个数是（－2）nxn；
（3）观察第③行式子的特点，可得第n个数是（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1 ；
（4）先求出A，再将 x值代入计算即可．
【详解】（1）观察第①行的每个单项式可知：
系数依次×2，次数依次+1，
∴第n个单项式为2n－1xn；
故答案为：2n－1xn；
（2）观察第②行的单项式可知：
第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1），
∴第n个单项式为（－2）nxn；
故答案为：（－2）nxn；
（3）观察第③行单项式可知：
在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反，
（1）的系数+1，次数+1可得（3）系数的绝对值和次数，
∴第n个单项式为（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1．
故答案为：（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1．
（4）x=12，
A=210x11＋（－2）11x11＋（－1）12（210＋1）x12
=210x11－211x11＋（210＋1）x12
=210211−211211+210212+1212
=12−1+14+1212
=−14+1212
∴512（A＋14）
=29（−14+1212+14）
=123
=18．
答：当x=12时，512（A＋14）的值为18．
【点睛】本题考查了整式中单项式的变化规律，能够通过所给例子，找到数字的规律，利用整式的加减运算法则是解题的关键．
【变式2】已知一列数m，n2，m+n2，m+2n2，2m+3n2，3m+5n2，…，按照这个规律写下去，第9个数是______．
【答案】13m+21n2
【分析】由题意知从第3个数开始都是前面两个数的和，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：从第3个数开始都是前面两个数的和，
∴第7个数是2m+3n2+3m+5n2=5m+8n2；
第8个数是3m+5n2+5m+8n2=8m+13n2；
第9个数是5m+8n2+8m+13n2=13m+21n2；
故答案为：13m+21n2．
【点睛】本题主要考查合并同类项及代数式规律问题，解题的关键是找准题干中代数式的规律．
【变式3】下列方格中的四个数都是按照一定规律填写的，则x的值是（ ）
A．307B．392C．406D．458
【答案】C
【分析】观察方格中的四个数的变化规律，可得：b=a+1，x=50b+a−1，只需求出a的值即可求出x的值．
【详解】解：根据题意可得，
第1个图形中，方格中的右上方的数为：2=1+12，
第2个图形中，方格中的右上方的数为：5=1+22，
第3个图形中，方格中的右上方的数为：10=1+32，
第4个图形中，方格中的右上方的数为：17=1+42，
……，
第n个图形中，方格中的右上方的数为：1+n2，
当1+n2=50时，n=7，
∴a=7，b=a+1=8，
∴x=50b+a−1=50×8+7−1=406．
∴x的值是406．
故选：C．
【点睛】本题考查了数的变化，根据数的变化找出方格中四个数的关系，并根据数的变化规律求值，是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
模块二
与式有关的规律探索
【例1】观察下列各不等式，发现规律并回答问题：
11×3=12(1−13)；13×5=12(13−15)；15×7=12(15−17)；
（1）根据规律写出第4个式子：
（2）利用规律求11×3+13×5+15×7++12017×2019的值.
【答案】（1）17×9=12(17−19) ；（2）10092019 ．
【分析】（1）根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可写出第四个式子；
（2）先类比（1）的规律将原式变形，再计算即可．
【详解】解：（1）第4个式子：17×9=12(17−19) ；
（2）11×3+13×5+15×7++12017×2019
=12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+⋯⋯+12(12017−12019)
=12×(1−13+13−15+15−17+⋯⋯+12017−12019)
=12×(1−12019)
= 12×20182019
=10092019 ．
【点睛】本题考查数字的变化规律，找出分数分子与分母的特点，得出拆分的规律是解题的关键．
【例2】观察下列等式：1=12−02，3=22−12，5=32−22，…按此规律，则第n个等式为2n−1=__________________．
【答案】n2−n−12．
【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】解：∵1=12−02，
3=22−12，
5=32−22，
…
∴第n个等式为：2n−1=n2−n−12
故答案是：n2−n−12．
【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．
【例3】从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数n的个数 和（S）
1————————→2=1×2
2———————→2+4=6=2×3
3———————→2+4+6=12=3×4
4——————→2+4+6+8=20=4×5
5—————→2+4+6+8+10=30=5×6
(1)这个规律，当n=6时，和为____________；
(2)从2开始，n个连续偶数相加，它们的和S____________；（用含有n的式子表示）
(3)应用上述公式计算：
①2+4+6+⋯+200；
②202+204+206+⋯+300．
【答案】(1)42；
(2)n(n+1)；
(3)①10100；②12550．
【分析】（1）根据规律当n=6时，表示从2开始，6个连续偶数相加，进行计算即可；
（2）根据前面几项的规律，归纳猜想：从2开始，n个连续偶数相加的和为n(n+1)；
（3）①根据（2）中结论，2+4+6+⋯+200表示n=100时的它们的和；②所求式子可表示为前150项连续偶数的和减去前100项连续偶数的和，进行计算即可．
【详解】（1）解：当n=6时，和为：2+4+6+8+10+12=6×7=42；
故答案为：42；
（2）解：从2开始，n个连续偶数相加，它们的和为：
S=2+4+6+⋯+2n=n(n+1)；
故答案为：n(n+1)；
（3）解：①∵式子2+4+6+⋯+200，从2开始，有100个连续偶数相加，
∴2+4+6+⋯+200=100×101=10100；
②∵2+4+6+⋯+300=150×151=22650，
2+4+6+⋯+200=100×101=10100
∴ 202+204+206+⋯+300
=(2+4+6+⋯+300)−(2+4+6+⋯+200)
=22650−10100
=12550．
【点睛】此题考查了整式的求和规律探索，熟练掌握运用归纳法得出一般性结论，然后运用得到的结论解决一些简单的问题，是解答此题的关键．
【变式1】观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3=3×4…，按此规律写出第n个等式_____．
【答案】：n2+n＝n×（n+1）．
【分析】根据算式可发现一个数的平方加上它本身，等于这个数与这个数加1的积．
【详解】解：观察各式可知，第几个算式就是几的平方加几，等于等于这个数与这个数加1的积，
所以，第n个等式为：n2+n＝n×（n+1），
故答案为：n2+n＝n×（n+1）．
【点睛】本题考查了用代数式表示规律，解题关键是准确分析题意，找到规律．
【变式2】如图，
(1)根据图示规律，完成填空；
(2)通过计算说明“ ”成立的理由．
【答案】(1)24；−6；4n+4；n−7
(2)见解析
【分析】（1）根据题意，观察图示，得到规律即可求解；
（2）利用整式的加减法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：8=4×1+4,12=4×2+4,16=4×3+4,20=4×4+4，……
∴①处为24；③处为4n+4；
∵−6=1−7,−5=2−7,−4=3−7,−3=4−7，……
∴②处为−6；④处为n−7；
故答案为：24；−6；4n+4；n−7
（2）解：理由如下：
5n−3−4n+4=5n−3−4n−4=n−7．
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，整式的加减混合运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【变式3】若规定运算符号“▲”满足下列各式：
1▲3=3×1−2×3
2▲−4=3×2−2×−4
0▲−7=3×0−2×−7
−12▲5=3×−12−2×5
−25▲−34=3×−25−2×−34
…
根据以上规律，求解下列各题：
（1）a▲b= ；
（2）若2m−n=3，求2m+n▲−4m+5n的值．
【答案】（1）3a−2b；（2）21
【分析】（1）根据已知的等式即可求解；
（2）根据题意把2m+n▲−4m+5n化简，再代入2m−n=3即可求解．
【详解】（1）由已知的等式可得：a▲b= 3a−2b；
故答案为：3a−2b；
（2）2m+n▲−4m+5n=32m+n-2−4m+5n=6m+3n+8m-10n=14m−7n．
当2m−n=3时．原式=14m−7n=72m−n=7×3=21．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的加减运算法则．
模块三
与图形排列有关的规律探索
【例1】如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第4个图形中三角形的个数比圆的个数多_______个．第n个图形中三角形的个数比圆的个数多____________个．（由含 n 的代数式表示）
【答案】 9 (2n+1)
【分析】每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值．
【详解】解：根据题意有，
第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：1×3+1；
第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2×3+1；
第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：3×3+1；
第4个图形，圆的个数为：4；正三角形的个数为：4×3+1；
……，
第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：n×3+1；
∴第4个图形中三角形的个数比圆的个数多2×4+1=9个．
n×3+1−n=3n−n+1=2n+1，
∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多(2n+1)个．
故答案为：①9，②(2n+1)．
【点睛】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
【例2】小明同学为庆祝党的二十大，用五角星按一定规律摆出如下图案，第1个图案有3颗五角星，第2个图案有7颗五角星，第3个图案有11颗五角星，第4个图案有15颗五角星……依此规律，第2022个图案有___________颗五角星．
【答案】8087
【分析】根据题意，观察图中五角星个数，得到规律为3+4×n−1=4n−1，当n=2022时，求出五角形个数即可得到答案．
【详解】解：根据题意，可知：
第1个图形有3个五角星，个数为3+4×0；
第2个图形有7个五角星，个数为3+4×1；
第3个图形有11个五角形，个数为3+4×2；
第4个图形有15个五角形，个数为3+4×3；
⋯
∴第n个图形五角形个数为3+4×n−1=4n−1；
∴当n=2022时，五角形个数为4×2022−1=8087，
故答案为：8087．
【点睛】本题考查图形与数字结合的规律问题，从个数中找到规律是解决问题的关键．
【例3】如图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，第n个图案需要_________根火柴棒，第2022个图案需要_________根火柴棒．
【答案】 7n+1 14155
【分析】根据图形和数字规律、合并同类项的性质，计算得第n个图案的火柴棒数量，再根据代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，第1个图案的火柴棒有：8×1+0=8根
第2个图案的火柴棒有：8×2−1=15根
第3个图案的火柴棒有：8×3−2=22根
…
第n个图案的火柴棒有：8×n−n−1根，即7n+1根
∴第2022个图案的火柴棒有：7×2022+1=14155根
故答案为：①7n+1，②14155．
【点睛】本题考查了数字和图形规律、合并同类项、代数式的知识；解题的关键是找到数字和图形规律，从而完成求解．
【变式1】如图是一组用“●”组成的图形，第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，根据这样的规律，第150个图形中“●”的个数是___________个．
【答案】448
【分析】根据第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，得出第n个图形由3n−2个“●”组成，将n=150代入求出结果即可．
【详解】解：∵第1个图形由1个“●”组成，
第2个图形由4个“●”组成，
第3个图形由7个“●”组成，
第4个图形由10个“●”组成，
…，
∴第n个图形由3n−2个“●”组成，
∴第150个图形中“●”的个数为3×150−2=448（个）．
故答案为：448．
【点睛】本题主要考查了规律探究，解题的关键是根据题意归纳出第n个图形由3n−2个“●”组成．
【变式2】下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第20个图形有小钢珠 _____颗．
【答案】210
【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n(1+n)个小球，据此规律计算即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，3=1+2，
第3个图中有6个小球，6=1+2+3，
第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，
……
照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n(1+n)个小球，
当n=20时，
小球个数为12×20×1+20=210
故答案为：210．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n(1+n)个小球是解题的关键．
【变式3】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……照此规律摆下去．
(1)第5个图案有 ___________个三角形；
(2)第n个图案有 ___________个三角形；(用含n的式子表示)
(3)第2022个图案有几个三角形？
【答案】(1)16
(2)(3n+1)
(3)6067
【分析】设摆成第n (n为正整数)个图案需要an个三角形．
（1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合a4的值即可求出a5的值；
（2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出an=(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+…+(an−an−1)+a1=3n+1；
（3）代入n=2022即可求出结论．
【详解】（1）解：设摆成第n(n为正整数)个图案需要an个三角形．
∵a1=4，a2=7，a3=10，a4=13，
∴a2−a1=a3−a2=a4−a3=3，
∴a5=a4+3=16．
故答案为：16；
（2）解：由（1）可知：an=(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+…+(an−an−1)+a1=3(n−1)+4=3n+1．
故答案为：(3n+1)；
（3）当n=2022时，a2022=3×2022+1=6067，
∴摆成第2022个图案需要6067个三角形．
【点睛】此题主要考查规律型：图形的变化规律，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．
模块四
课后作业
1．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a−b−c的值是（ ）
A．−190B．−66C．62D．6
【答案】C
【分析】每个图形中，左边三角形上的数字为a=−1n⋅2n，右边三角形上的数字为b=−1n⋅2n+2，下面三角形上的数字为c=12×−1n⋅2n，先把n=7代入求出a、b、c的值，再进一步求出a−b−c的值．
【详解】解：通过观察可得规律： 左边三角形上的数字为a=−1n⋅2n，
右边三角形上的数字为b=−1n⋅2n+2，
下面三角形上的数字为c=12×−1n⋅2n，
∵n=7，
∴a=−1×27=−128，b=−128+2=−126，c=12×−128=−64，
∴a−b−c=−128+126+64=62．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决本题的关键．
2．根据图中数字的规律，则x+y的值是______．
【答案】593
【分析】根据前三个图，得到规律：第二行左边的数比第一行数的平方加1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行的数+第一行的数；则x=82+1，y=8x+8，即可．
【详解】根据题意，可得：
∵5=22+1，12=2×5+2；
17=42+1，72=17×4+4；
37=62+1，228=37×6+6；
∴x=82+1=65，y=65×8+8=528，
∴x+y=65+528=593．
故答案为：593．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解答的关键是由图形得到规律，根据规律进行求解．
3．如图， 下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第1个图案需7根火柴， 第2个图案需13根火柴， ⋯， 依此规律， 第5个图案需___________根火柴棒， 第20个图案需___________火柴棒．
【答案】 43 463
【分析】根据第1个图案需7根火柴：7=1×1+3+3，第2个图案需13根火柴： 13=2×2+3+3，第3个图案需21根火柴：21=3×3+3+3，得出规律：第n个图案需n×n+3+3根火柴，再把5和20分别代入即可求出答案．
【详解】解：第1个图案需7根火柴：7=1×1+3+3，
第2个图案需13根火柴： 13=2×2+3+3，
第3个图案需21根火柴：21=3×3+3+3，
……
则第n个图案需火柴的根数为：n×n+3+3，
∴第5个图案需火柴的根数为：5×5+3+3=43（根），
第20个图案需火柴的根数为：20×20+3+3=463（根）．
故答案为：43；463．
【点睛】本题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．
4．有一组单项式依次为x23,−x56,x811,−x1118,⋅⋅⋅，根据它们的规律，请写出第8个单项式________．
【答案】−x2366
【分析】不难看出，单项式的系数部分是−1n+11n2+2，字母的指数部分是3n−1，据此可解答．
【详解】−x56=−13⋅x3×2−122+2，
x811=−14⋅x3×3−132+2，
−x1118=−15⋅x3×4−142+2,
…，
∴第n个单项式为：−1n+1⋅x3n−1n2+2，
∴第8个单项式为：−x2366
故答案为：−x2366．
【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．
5．观察下列多项式：2a−b3，4a+b26，8a−b39，16a+b412，……按此规律，则第n个多项式是____________．
【答案】2na+−bn3n
【分析】由所给的式子可得，分母为3的倍数，分子中a的系数为2n，然后加上(−b)n，即可求解．
【详解】根据题目中显示的规律， 第1项为2a−b3，第2项为4a+b26，第3项为8a−b39，则第n项为2na+−bn3n，
故答案为：2na+−bn3n．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
6．观察33=9=4+5则有32+42=52；52=25=12+13，则有52+122=132；72=49=34+25，则有72+242=252；按此规律接续写出两个式子________．
【答案】92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612
【分析】认真观察这样的三个数实际是一组勾股数，再举两组勾股数写成这种形式即可．
【详解】解：接续两个式子为92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612．
故答案为92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612．
【点睛】此题考查了学生熟记勾股数的程度以及观察总结能力．
7．用火柴棒按如图的方式搭图形．
(1)按图示规律完成下表：
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？
【答案】(1)13，17，21
(2)4n+1
(3)61
【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；
（2）由（1）进行总结即可；
（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．
【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，
第2个图形的火柴棒根数为：9=5+4=5+4×1，
第3个图形的火柴棒根数为：13=5+4+4=5+4×2，
第4个图形的火柴棒根数为：17=5+4+4+4=5+4×3，
第5个图形的火柴棒根数为：21=5+4+4+4+4=5+4×4，
……
故答案为：13，17，21；
（2）解：由（1）得：搭第n个图形需要火柴棒根数为：5+4(n−1)=4n+1．
答：第n个图形需要火柴棒根数为：4n+1；
（3）解：当n=15时，4n+1=4×15+1=61，
所以搭第15个图形需要61根火柴棒．
【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．
8．观察下列等式．
第1个等式22−12=2×1+1；
第2个等式32−22=2×2+1；
第3个等式42−32=2×3+1；
第4个等式52−42=2×4+1；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式为________．
(2)猜想第n个等式为________（用含n的式子表示）．
(3)观察下列各图，“·”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如：当n=1时，a=4，b=1；当n=2时，a=9，b=4；当n=3时，a=16，b=9；…当n=2023时，求a−b的值．
【答案】(1)62−52=2×5+1
(2)n+12−n2=2n+1
(3)4047
【分析】（1）根据规律直接写出即可；
（2）根据规律直接写出即可；
（3）分别求出当n=2023时，a和b的值，再代入求解即可．
【详解】解：（1）62−52=2×5+1．
（2）n+12−n2=2n+1．
（3）根据图形规律可知，
当n=2023时，a=2023+12=20242，b=20232，
所以a−b=20242−20232=2×2023+1=4047，
即a−b的值为4047．
【点睛】本题为数式规律题，解题关键是能发现规律并能用字母表示其中的规律，考查了学生数形结合的能力．
9．定义一种新运算，规律如下：
2⊗3＝2×5﹣3＝7；
3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16；
（﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．
（1）请你想一想：a⊗b＝ ．
（2）请计算：（﹣2）⊗8＝ ．
（3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x．
【答案】（1）5a﹣b；（2）-18；（3）见解析
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）根据（1）得出的结论求解即可；
（3）利用题中的新定义化简等式左右两边，根据x＝y即可得证．
【详解】解：（1）∵2⊗3=2×5−3=7，3⊗−1=3×5−−1=3×5+1=16，−4⊗−3=−4×5−−3=−20+3=−17，
∴a⊗b=5a−b
故答案为：5a−b；
（2）由（1）得−2⊗8=5×−2−8=−10−8=−18
故答案为：﹣18；
（3）由（1）得
当x＝y时，x⊗y=5x−y=5x−x=4x，
y⊗x=5y−x=5x−x=4x，
∴x⊗y=y⊗x．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，合并同类项，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．请观察下列算式，找出规律并填空
(1)①11×2=1−12，②11×3=12×1−13，③13=13×1−14，④11×5=14×1−15，…则第10个算式是______=______，第n个算式为______=______．
(2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a、b满足a−1+b−32=0，求1ab+1a+2b+2+1a+4b+4+⋅⋅⋅+1a+100b+100的值．
【答案】(1)11×11；110×1−111；11×(n+1)；1n×1−1n+1；
(2)51103
【分析】（1）根据所给的算式，可找出规律，即可得出结果；
（2）利用绝对值的非负性求得a、b，再根据得到的规律进行运算求值．
【详解】（1）解：根据规律得：11×11=110×1−111
11×(n+1)=1n×1−1n+1
故答案为：11×11；110×1−111；11×(n+1)；1n×1−1n+1；
（2）∵a−1+b−32=0，
∴a=1，b=3
1ab+1a+2b+2+1a+4b+4+⋅⋅⋅+1a+100b+100
=11×3+13×5+15×7+⋯+1101×103
=12×1−13+13−15+15−⋯+1101−1103
=12×1−1103
=12×102103
=102206
=51103．
【点睛】本题主要是寻找规律及非负数得性质，再根据有理数的混合运算计算，根据题意找出相应规律是解题关键．
11．观察以下等式：
1×2=13×(1×2×3−0×1×2)；2×3=13×(2×3×4−1×2×3)……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)1×2+2×3+3×4+……+10×11= ；
(2)计算1×2+2×3+3×4+……+nn+1（结果用含n的代数式表示）．
【答案】(1)440
(2)13nn+1n+2
【分析】（1）根据已知等式，将每一项进行改写，再求和即可得；
（2）参照（1），将每一项进行改写，再求和即可得．
【详解】（1）解：1×2+2×3+3×4+……+10×11
=13×1×2×3−0×1×2+13×2×3×4−1×2×3+…+13×10×11×12−9×10×11
=13×1×2×3−0×1×2+2×3×4−1×2×3+…+10×11×12−9×10×11
=13×−0×1×2+10×11×12
=13×10×11×12
=440，
故答案为：440．
（2）解：1×2+2×3+3×4+……+nn+1
=13×1×2×3−0×1×2+13×2×3×4−1×2×3+…+13nn+1n+2−n−1nn+1
=131×2×3−0×1×2+2×3×4−1×2×3+…+nn+1n+2−n−1nn+1
=13−0×1×2+nn+1n+2
=13nn+1n+2．
【点睛】本题考查了整式的加减，观察已知等式，正确发现一般规律是解题关键．
12．用火柴棒按图中的方式搭图形：
按图示规律填空:
(1)a=_______．
(2)按种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_______（用含n的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用2021根火柴棒能否正好搭一个这样的图形？请说明理由．
【答案】(1)21
(2)4n+1
(3)能，理由见解析
【分析】（1）根据所给图形可得a的值；
（2）根据（1）的结果可得出规律；
（3）根据规律式中可求值．
【详解】（1）由图①②③④可得图⑤为：17+4=21
故a=21
故答案为： 21；
（2）由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为5+(n−1)×4=4n+1，
故答案为：4n+1；
（3）∵2021=4×505+1
即第505个图形需要的火柴棒根数为2021根
∴能正好搭一个这样的图形．
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．图形标号
①
②
③
④
⑤
……
火柴棒根数
5
9
______
______
______
……
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒根数
5
9
13
17
a
·模块一 与数有关的规律探索
·模块二 与式有关的规律探索
·模块三 与图形排列有关的规律探索
·模块四 课后作业
模块一
与数有关的规律探索
【例1】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为a1=1，第二个三角形数记为a2=3，…，则第100个三角形数记为a100=______．
【答案】5050
【分析】根据数字的变化规律发现第n个三角形数为1+2+3+…+n=nn+12，然后将n=100代入求出结果即可．
【详解】解：观察三角形数发现规律：
第一个三角形数记为a1=1；
第二个三角形数记为a2=1+2；
第三个三角形数记为a3=1+2+3；
…
发现规律：
第n个三角形数记为an=1+2+3+…+n=n(n+1)2，
∴把n=100代入得：nn+12=100×100+12=5050．
故答案为：5050．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律得出an=1+2+3+…+n=n(n+1)2．
【例2】填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到a+b+c+d的值为（ ）
A．355B．356C．435D．436
【答案】D
【分析】分析前三个正方形，发现第一个数为：2(n−1)，第二个数为：2n+1，第三个数为第二个数加1，第四个数为第二个数与第三个数的乘积加1，然后代入求解即可．
【详解】解：分析正方形中的四个数：
第一个数为：2(n−1)，
∴第⑨个正方形的第一个数a=16；
第二个数为：2n+1，
∴第⑨个正方形的第二个数b=19；
第三个数为第二个数加1，即c=19+1=20，
第四个数为第二个数与第三个数的乘积加1即d=19×20+1=381
∴a+b+c+d=16+19+20+381=436，
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变换类，解题的关键是分析正方形中四个数找出它们之间的关系是关键．
【例3】电子青蛙在数轴上的某点x0处，第一步从x0向右跳1个单位到x1，第二步从x1向左跳2个单位到x2，第三步从x2向右跳3个单位到x3，第四步从x3向左跳四个单位到x4，以此类推，按以上规律跳了50步时，电子青蛙在数轴上点x50所表示的数恰好是10，则电子青蛙的初始点位置x0所表示的数字是______，点x2n+1所表示的数是______（用含n的代数式表示，n是非负整数）．
【答案】 35 n+36
【分析】根据题意列出算式，然后对算式进行整理，进而求解即可．
【详解】解：设x0表示的数为a，
由题意得a+1−2+3−4+…+49−50=10，即a−25=10，
解得：a=35，
即x0所表示的数字是35，
∴35+1−2+3−4+…+2n+2n+1=35−n+2n+1=n+36
故答案为：35；n+36．
【点睛】此题考查数轴、有理数的加减，整式的加减，根据题意列出算式，找出简便的计算方法是解题的关键．
【变式1】观察下面的三行单项式
x、2x2、4x3、8x4、16x5、32x6、……
－2x、4x2、－8x3、16x4、－32x5、64x6、……
2x2、－3x3、5x4、－9x5、17x6、－33x7、……
根据你发现的规律：
(1)第①行第n个单项式为______
(2)第②行第n个单项式为______
(3)第③行第n个单项式为______
(4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝12时，512（A＋14）的值．
【答案】(1)2n－1xn
(2)（－2）nxn
(3)（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1
(4)18
【分析】（1）观察第①行式子的特点，可得第n个数是 2n－1xn ；
（2）观察第②行式子的特点，可得第n个数是（－2）nxn；
（3）观察第③行式子的特点，可得第n个数是（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1 ；
（4）先求出A，再将 x值代入计算即可．
【详解】（1）观察第①行的每个单项式可知：
系数依次×2，次数依次+1，
∴第n个单项式为2n－1xn；
故答案为：2n－1xn；
（2）观察第②行的单项式可知：
第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1），
∴第n个单项式为（－2）nxn；
故答案为：（－2）nxn；
（3）观察第③行单项式可知：
在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反，
（1）的系数+1，次数+1可得（3）系数的绝对值和次数，
∴第n个单项式为（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1．
故答案为：（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1．
（4）x=12，
A=210x11＋（－2）11x11＋（－1）12（210＋1）x12
=210x11－211x11＋（210＋1）x12
=210211−211211+210212+1212
=12−1+14+1212
=−14+1212
∴512（A＋14）
=29（−14+1212+14）
=123
=18．
答：当x=12时，512（A＋14）的值为18．
【点睛】本题考查了整式中单项式的变化规律，能够通过所给例子，找到数字的规律，利用整式的加减运算法则是解题的关键．
【变式2】已知一列数m，n2，m+n2，m+2n2，2m+3n2，3m+5n2，…，按照这个规律写下去，第9个数是______．
【答案】13m+21n2
【分析】由题意知从第3个数开始都是前面两个数的和，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：从第3个数开始都是前面两个数的和，
∴第7个数是2m+3n2+3m+5n2=5m+8n2；
第8个数是3m+5n2+5m+8n2=8m+13n2；
第9个数是5m+8n2+8m+13n2=13m+21n2；
故答案为：13m+21n2．
【点睛】本题主要考查合并同类项及代数式规律问题，解题的关键是找准题干中代数式的规律．
【变式3】下列方格中的四个数都是按照一定规律填写的，则x的值是（ ）
A．307B．392C．406D．458
【答案】C
【分析】观察方格中的四个数的变化规律，可得：b=a+1，x=50b+a−1，只需求出a的值即可求出x的值．
【详解】解：根据题意可得，
第1个图形中，方格中的右上方的数为：2=1+12，
第2个图形中，方格中的右上方的数为：5=1+22，
第3个图形中，方格中的右上方的数为：10=1+32，
第4个图形中，方格中的右上方的数为：17=1+42，
……，
第n个图形中，方格中的右上方的数为：1+n2，
当1+n2=50时，n=7，
∴a=7，b=a+1=8，
∴x=50b+a−1=50×8+7−1=406．
∴x的值是406．
故选：C．
【点睛】本题考查了数的变化，根据数的变化找出方格中四个数的关系，并根据数的变化规律求值，是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
模块二
与式有关的规律探索
【例1】观察下列各不等式，发现规律并回答问题：
11×3=12(1−13)；13×5=12(13−15)；15×7=12(15−17)；
（1）根据规律写出第4个式子：
（2）利用规律求11×3+13×5+15×7++12017×2019的值.
【答案】（1）17×9=12(17−19) ；（2）10092019 ．
【分析】（1）根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可写出第四个式子；
（2）先类比（1）的规律将原式变形，再计算即可．
【详解】解：（1）第4个式子：17×9=12(17−19) ；
（2）11×3+13×5+15×7++12017×2019
=12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+⋯⋯+12(12017−12019)
=12×(1−13+13−15+15−17+⋯⋯+12017−12019)
=12×(1−12019)
= 12×20182019
=10092019 ．
【点睛】本题考查数字的变化规律，找出分数分子与分母的特点，得出拆分的规律是解题的关键．
【例2】观察下列等式：1=12−02，3=22−12，5=32−22，…按此规律，则第n个等式为2n−1=__________________．
【答案】n2−n−12．
【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】解：∵1=12−02，
3=22−12，
5=32−22，
…
∴第n个等式为：2n−1=n2−n−12
故答案是：n2−n−12．
【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．
【例3】从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数n的个数 和（S）
1————————→2=1×2
2———————→2+4=6=2×3
3———————→2+4+6=12=3×4
4——————→2+4+6+8=20=4×5
5—————→2+4+6+8+10=30=5×6
(1)这个规律，当n=6时，和为____________；
(2)从2开始，n个连续偶数相加，它们的和S____________；（用含有n的式子表示）
(3)应用上述公式计算：
①2+4+6+⋯+200；
②202+204+206+⋯+300．
【答案】(1)42；
(2)n(n+1)；
(3)①10100；②12550．
【分析】（1）根据规律当n=6时，表示从2开始，6个连续偶数相加，进行计算即可；
（2）根据前面几项的规律，归纳猜想：从2开始，n个连续偶数相加的和为n(n+1)；
（3）①根据（2）中结论，2+4+6+⋯+200表示n=100时的它们的和；②所求式子可表示为前150项连续偶数的和减去前100项连续偶数的和，进行计算即可．
【详解】（1）解：当n=6时，和为：2+4+6+8+10+12=6×7=42；
故答案为：42；
（2）解：从2开始，n个连续偶数相加，它们的和为：
S=2+4+6+⋯+2n=n(n+1)；
故答案为：n(n+1)；
（3）解：①∵式子2+4+6+⋯+200，从2开始，有100个连续偶数相加，
∴2+4+6+⋯+200=100×101=10100；
②∵2+4+6+⋯+300=150×151=22650，
2+4+6+⋯+200=100×101=10100
∴ 202+204+206+⋯+300
=(2+4+6+⋯+300)−(2+4+6+⋯+200)
=22650−10100
=12550．
【点睛】此题考查了整式的求和规律探索，熟练掌握运用归纳法得出一般性结论，然后运用得到的结论解决一些简单的问题，是解答此题的关键．
【变式1】观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3=3×4…，按此规律写出第n个等式_____．
【答案】：n2+n＝n×（n+1）．
【分析】根据算式可发现一个数的平方加上它本身，等于这个数与这个数加1的积．
【详解】解：观察各式可知，第几个算式就是几的平方加几，等于等于这个数与这个数加1的积，
所以，第n个等式为：n2+n＝n×（n+1），
故答案为：n2+n＝n×（n+1）．
【点睛】本题考查了用代数式表示规律，解题关键是准确分析题意，找到规律．
【变式2】如图，
(1)根据图示规律，完成填空；
(2)通过计算说明“ ”成立的理由．
【答案】(1)24；−6；4n+4；n−7
(2)见解析
【分析】（1）根据题意，观察图示，得到规律即可求解；
（2）利用整式的加减法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：8=4×1+4,12=4×2+4,16=4×3+4,20=4×4+4，……
∴①处为24；③处为4n+4；
∵−6=1−7,−5=2−7,−4=3−7,−3=4−7，……
∴②处为−6；④处为n−7；
故答案为：24；−6；4n+4；n−7
（2）解：理由如下：
5n−3−4n+4=5n−3−4n−4=n−7．
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，整式的加减混合运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【变式3】若规定运算符号“▲”满足下列各式：
1▲3=3×1−2×3
2▲−4=3×2−2×−4
0▲−7=3×0−2×−7
−12▲5=3×−12−2×5
−25▲−34=3×−25−2×−34
…
根据以上规律，求解下列各题：
（1）a▲b= ；
（2）若2m−n=3，求2m+n▲−4m+5n的值．
【答案】（1）3a−2b；（2）21
【分析】（1）根据已知的等式即可求解；
（2）根据题意把2m+n▲−4m+5n化简，再代入2m−n=3即可求解．
【详解】（1）由已知的等式可得：a▲b= 3a−2b；
故答案为：3a−2b；
（2）2m+n▲−4m+5n=32m+n-2−4m+5n=6m+3n+8m-10n=14m−7n．
当2m−n=3时．原式=14m−7n=72m−n=7×3=21．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的加减运算法则．
模块三
与图形排列有关的规律探索
【例1】如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第4个图形中三角形的个数比圆的个数多_______个．第n个图形中三角形的个数比圆的个数多____________个．（由含 n 的代数式表示）
【答案】 9 (2n+1)
【分析】每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值．
【详解】解：根据题意有，
第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：1×3+1；
第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2×3+1；
第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：3×3+1；
第4个图形，圆的个数为：4；正三角形的个数为：4×3+1；
……，
第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：n×3+1；
∴第4个图形中三角形的个数比圆的个数多2×4+1=9个．
n×3+1−n=3n−n+1=2n+1，
∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多(2n+1)个．
故答案为：①9，②(2n+1)．
【点睛】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
【例2】小明同学为庆祝党的二十大，用五角星按一定规律摆出如下图案，第1个图案有3颗五角星，第2个图案有7颗五角星，第3个图案有11颗五角星，第4个图案有15颗五角星……依此规律，第2022个图案有___________颗五角星．
【答案】8087
【分析】根据题意，观察图中五角星个数，得到规律为3+4×n−1=4n−1，当n=2022时，求出五角形个数即可得到答案．
【详解】解：根据题意，可知：
第1个图形有3个五角星，个数为3+4×0；
第2个图形有7个五角星，个数为3+4×1；
第3个图形有11个五角形，个数为3+4×2；
第4个图形有15个五角形，个数为3+4×3；
⋯
∴第n个图形五角形个数为3+4×n−1=4n−1；
∴当n=2022时，五角形个数为4×2022−1=8087，
故答案为：8087．
【点睛】本题考查图形与数字结合的规律问题，从个数中找到规律是解决问题的关键．
【例3】如图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，第n个图案需要_________根火柴棒，第2022个图案需要_________根火柴棒．
【答案】 7n+1 14155
【分析】根据图形和数字规律、合并同类项的性质，计算得第n个图案的火柴棒数量，再根据代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，第1个图案的火柴棒有：8×1+0=8根
第2个图案的火柴棒有：8×2−1=15根
第3个图案的火柴棒有：8×3−2=22根
…
第n个图案的火柴棒有：8×n−n−1根，即7n+1根
∴第2022个图案的火柴棒有：7×2022+1=14155根
故答案为：①7n+1，②14155．
【点睛】本题考查了数字和图形规律、合并同类项、代数式的知识；解题的关键是找到数字和图形规律，从而完成求解．
【变式1】如图是一组用“●”组成的图形，第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，根据这样的规律，第150个图形中“●”的个数是___________个．
【答案】448
【分析】根据第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，得出第n个图形由3n−2个“●”组成，将n=150代入求出结果即可．
【详解】解：∵第1个图形由1个“●”组成，
第2个图形由4个“●”组成，
第3个图形由7个“●”组成，
第4个图形由10个“●”组成，
…，
∴第n个图形由3n−2个“●”组成，
∴第150个图形中“●”的个数为3×150−2=448（个）．
故答案为：448．
【点睛】本题主要考查了规律探究，解题的关键是根据题意归纳出第n个图形由3n−2个“●”组成．
【变式2】下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第20个图形有小钢珠 _____颗．
【答案】210
【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n(1+n)个小球，据此规律计算即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，3=1+2，
第3个图中有6个小球，6=1+2+3，
第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，
……
照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n(1+n)个小球，
当n=20时，
小球个数为12×20×1+20=210
故答案为：210．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n(1+n)个小球是解题的关键．
【变式3】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……照此规律摆下去．
(1)第5个图案有 ___________个三角形；
(2)第n个图案有 ___________个三角形；(用含n的式子表示)
(3)第2022个图案有几个三角形？
【答案】(1)16
(2)(3n+1)
(3)6067
【分析】设摆成第n (n为正整数)个图案需要an个三角形．
（1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合a4的值即可求出a5的值；
（2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出an=(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+…+(an−an−1)+a1=3n+1；
（3）代入n=2022即可求出结论．
【详解】（1）解：设摆成第n(n为正整数)个图案需要an个三角形．
∵a1=4，a2=7，a3=10，a4=13，
∴a2−a1=a3−a2=a4−a3=3，
∴a5=a4+3=16．
故答案为：16；
（2）解：由（1）可知：an=(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+…+(an−an−1)+a1=3(n−1)+4=3n+1．
故答案为：(3n+1)；
（3）当n=2022时，a2022=3×2022+1=6067，
∴摆成第2022个图案需要6067个三角形．
【点睛】此题主要考查规律型：图形的变化规律，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．
模块四
课后作业
1．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a−b−c的值是（ ）
A．−190B．−66C．62D．6
【答案】C
【分析】每个图形中，左边三角形上的数字为a=−1n⋅2n，右边三角形上的数字为b=−1n⋅2n+2，下面三角形上的数字为c=12×−1n⋅2n，先把n=7代入求出a、b、c的值，再进一步求出a−b−c的值．
【详解】解：通过观察可得规律： 左边三角形上的数字为a=−1n⋅2n，
右边三角形上的数字为b=−1n⋅2n+2，
下面三角形上的数字为c=12×−1n⋅2n，
∵n=7，
∴a=−1×27=−128，b=−128+2=−126，c=12×−128=−64，
∴a−b−c=−128+126+64=62．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决本题的关键．
2．根据图中数字的规律，则x+y的值是______．
【答案】593
【分析】根据前三个图，得到规律：第二行左边的数比第一行数的平方加1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行的数+第一行的数；则x=82+1，y=8x+8，即可．
【详解】根据题意，可得：
∵5=22+1，12=2×5+2；
17=42+1，72=17×4+4；
37=62+1，228=37×6+6；
∴x=82+1=65，y=65×8+8=528，
∴x+y=65+528=593．
故答案为：593．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解答的关键是由图形得到规律，根据规律进行求解．
3．如图， 下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第1个图案需7根火柴， 第2个图案需13根火柴， ⋯， 依此规律， 第5个图案需___________根火柴棒， 第20个图案需___________火柴棒．
【答案】 43 463
【分析】根据第1个图案需7根火柴：7=1×1+3+3，第2个图案需13根火柴： 13=2×2+3+3，第3个图案需21根火柴：21=3×3+3+3，得出规律：第n个图案需n×n+3+3根火柴，再把5和20分别代入即可求出答案．
【详解】解：第1个图案需7根火柴：7=1×1+3+3，
第2个图案需13根火柴： 13=2×2+3+3，
第3个图案需21根火柴：21=3×3+3+3，
……
则第n个图案需火柴的根数为：n×n+3+3，
∴第5个图案需火柴的根数为：5×5+3+3=43（根），
第20个图案需火柴的根数为：20×20+3+3=463（根）．
故答案为：43；463．
【点睛】本题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．
4．有一组单项式依次为x23,−x56,x811,−x1118,⋅⋅⋅，根据它们的规律，请写出第8个单项式________．
【答案】−x2366
【分析】不难看出，单项式的系数部分是−1n+11n2+2，字母的指数部分是3n−1，据此可解答．
【详解】−x56=−13⋅x3×2−122+2，
x811=−14⋅x3×3−132+2，
−x1118=−15⋅x3×4−142+2,
…，
∴第n个单项式为：−1n+1⋅x3n−1n2+2，
∴第8个单项式为：−x2366
故答案为：−x2366．
【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．
5．观察下列多项式：2a−b3，4a+b26，8a−b39，16a+b412，……按此规律，则第n个多项式是____________．
【答案】2na+−bn3n
【分析】由所给的式子可得，分母为3的倍数，分子中a的系数为2n，然后加上(−b)n，即可求解．
【详解】根据题目中显示的规律， 第1项为2a−b3，第2项为4a+b26，第3项为8a−b39，则第n项为2na+−bn3n，
故答案为：2na+−bn3n．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
6．观察33=9=4+5则有32+42=52；52=25=12+13，则有52+122=132；72=49=34+25，则有72+242=252；按此规律接续写出两个式子________．
【答案】92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612
【分析】认真观察这样的三个数实际是一组勾股数，再举两组勾股数写成这种形式即可．
【详解】解：接续两个式子为92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612．
故答案为92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612．
【点睛】此题考查了学生熟记勾股数的程度以及观察总结能力．
7．用火柴棒按如图的方式搭图形．
(1)按图示规律完成下表：
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？
【答案】(1)13，17，21
(2)4n+1
(3)61
【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；
（2）由（1）进行总结即可；
（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．
【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，
第2个图形的火柴棒根数为：9=5+4=5+4×1，
第3个图形的火柴棒根数为：13=5+4+4=5+4×2，
第4个图形的火柴棒根数为：17=5+4+4+4=5+4×3，
第5个图形的火柴棒根数为：21=5+4+4+4+4=5+4×4，
……
故答案为：13，17，21；
（2）解：由（1）得：搭第n个图形需要火柴棒根数为：5+4(n−1)=4n+1．
答：第n个图形需要火柴棒根数为：4n+1；
（3）解：当n=15时，4n+1=4×15+1=61，
所以搭第15个图形需要61根火柴棒．
【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．
8．观察下列等式．
第1个等式22−12=2×1+1；
第2个等式32−22=2×2+1；
第3个等式42−32=2×3+1；
第4个等式52−42=2×4+1；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第5个等式为________．
(2)猜想第n个等式为________（用含n的式子表示）．
(3)观察下列各图，“·”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如：当n=1时，a=4，b=1；当n=2时，a=9，b=4；当n=3时，a=16，b=9；…当n=2023时，求a−b的值．
【答案】(1)62−52=2×5+1
(2)n+12−n2=2n+1
(3)4047
【分析】（1）根据规律直接写出即可；
（2）根据规律直接写出即可；
（3）分别求出当n=2023时，a和b的值，再代入求解即可．
【详解】解：（1）62−52=2×5+1．
（2）n+12−n2=2n+1．
（3）根据图形规律可知，
当n=2023时，a=2023+12=20242，b=20232，
所以a−b=20242−20232=2×2023+1=4047，
即a−b的值为4047．
【点睛】本题为数式规律题，解题关键是能发现规律并能用字母表示其中的规律，考查了学生数形结合的能力．
9．定义一种新运算，规律如下：
2⊗3＝2×5﹣3＝7；
3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16；
（﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．
（1）请你想一想：a⊗b＝ ．
（2）请计算：（﹣2）⊗8＝ ．
（3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x．
【答案】（1）5a﹣b；（2）-18；（3）见解析
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）根据（1）得出的结论求解即可；
（3）利用题中的新定义化简等式左右两边，根据x＝y即可得证．
【详解】解：（1）∵2⊗3=2×5−3=7，3⊗−1=3×5−−1=3×5+1=16，−4⊗−3=−4×5−−3=−20+3=−17，
∴a⊗b=5a−b
故答案为：5a−b；
（2）由（1）得−2⊗8=5×−2−8=−10−8=−18
故答案为：﹣18；
（3）由（1）得
当x＝y时，x⊗y=5x−y=5x−x=4x，
y⊗x=5y−x=5x−x=4x，
∴x⊗y=y⊗x．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，合并同类项，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．请观察下列算式，找出规律并填空
(1)①11×2=1−12，②11×3=12×1−13，③13=13×1−14，④11×5=14×1−15，…则第10个算式是______=______，第n个算式为______=______．
(2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a、b满足a−1+b−32=0，求1ab+1a+2b+2+1a+4b+4+⋅⋅⋅+1a+100b+100的值．
【答案】(1)11×11；110×1−111；11×(n+1)；1n×1−1n+1；
(2)51103
【分析】（1）根据所给的算式，可找出规律，即可得出结果；
（2）利用绝对值的非负性求得a、b，再根据得到的规律进行运算求值．
【详解】（1）解：根据规律得：11×11=110×1−111
11×(n+1)=1n×1−1n+1
故答案为：11×11；110×1−111；11×(n+1)；1n×1−1n+1；
（2）∵a−1+b−32=0，
∴a=1，b=3
1ab+1a+2b+2+1a+4b+4+⋅⋅⋅+1a+100b+100
=11×3+13×5+15×7+⋯+1101×103
=12×1−13+13−15+15−⋯+1101−1103
=12×1−1103
=12×102103
=102206
=51103．
【点睛】本题主要是寻找规律及非负数得性质，再根据有理数的混合运算计算，根据题意找出相应规律是解题关键．
11．观察以下等式：
1×2=13×(1×2×3−0×1×2)；2×3=13×(2×3×4−1×2×3)……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)1×2+2×3+3×4+……+10×11= ；
(2)计算1×2+2×3+3×4+……+nn+1（结果用含n的代数式表示）．
【答案】(1)440
(2)13nn+1n+2
【分析】（1）根据已知等式，将每一项进行改写，再求和即可得；
（2）参照（1），将每一项进行改写，再求和即可得．
【详解】（1）解：1×2+2×3+3×4+……+10×11
=13×1×2×3−0×1×2+13×2×3×4−1×2×3+…+13×10×11×12−9×10×11
=13×1×2×3−0×1×2+2×3×4−1×2×3+…+10×11×12−9×10×11
=13×−0×1×2+10×11×12
=13×10×11×12
=440，
故答案为：440．
（2）解：1×2+2×3+3×4+……+nn+1
=13×1×2×3−0×1×2+13×2×3×4−1×2×3+…+13nn+1n+2−n−1nn+1
=131×2×3−0×1×2+2×3×4−1×2×3+…+nn+1n+2−n−1nn+1
=13−0×1×2+nn+1n+2
=13nn+1n+2．
【点睛】本题考查了整式的加减，观察已知等式，正确发现一般规律是解题关键．
12．用火柴棒按图中的方式搭图形：
按图示规律填空:
(1)a=_______．
(2)按种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_______（用含n的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用2021根火柴棒能否正好搭一个这样的图形？请说明理由．
【答案】(1)21
(2)4n+1
(3)能，理由见解析
【分析】（1）根据所给图形可得a的值；
（2）根据（1）的结果可得出规律；
（3）根据规律式中可求值．
【详解】（1）由图①②③④可得图⑤为：17+4=21
故a=21
故答案为： 21；
（2）由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为5+(n−1)×4=4n+1，
故答案为：4n+1；
（3）∵2021=4×505+1
即第505个图形需要的火柴棒根数为2021根
∴能正好搭一个这样的图形．
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．图形标号
①
②
③
④
⑤
……
火柴棒根数
5
9
______
______
______
……
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒根数
5
9
13
17
a
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