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暑假自学课七年级数学上册人教版第13讲 解一元一次方程——去括号与去分母学案（解析版）
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这是一份暑假自学课七年级数学上册人教版第13讲 解一元一次方程——去括号与去分母学案（解析版），共16页。学案主要包含了考点1 去括号，例1.1，变式1.1，变式1.2，例2.1，例2.2，例2.3，变式2.1等内容，欢迎下载使用。
·模块一 解一元一次方程——去括号
·模块二 解一元一次方程——去分母
·模块三 课后作业
模块一
解一元一次方程——去括号
【考点1 去括号】
【例1.1】解下列方程时，去括号正确的是（ ）
A．由2x−1=x+3，得2x−1=x+3
B．由−51−x=4，得−5−5x=4
C．由32−4x=3，得6−12x=3
D．由3=41−x，得−3=4−4x
【答案】C
【分析】应用乘法分配律，逐一判断，判断出去括号正确的是哪个即可．
【详解】解：∵由2x−1=x+3，得2x−2=x+3，
∴选项A不符合题意；
∵由−51−x=4，得−5+5x=4，
∴选项B不符合题意；
∵由32−4x=3，得6−12x=3，
∴选项C符合题意；
∵由3=41−x，得3=4−4x，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程中去括号的规则，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程中去括号的规则．
【变式1.1】解方程2−32−3x=2，去括号正确的是（ ）
A．2−6−9x=2B．2−6−3x=2C．2−6+9x=2D．2−6+3x=2
【答案】C
【分析】根据去括号法则，进行化简即可．
【详解】解：2−32−3x=2，
去括号得，2−6+9x=2，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，特别是去括号时符号的变化是解题的关键．
【变式1.2】将方程72x−1−34x−1=10去括号正确的是（ ）
A．14x−7−12x+1=10B．14x−7−12x+3=10
C．14x−1−12x−3=10D．14x−1−12x−3=10
【答案】B
【分析】根据去括号法则即可得．
【详解】解：72x−1−34x−1=10，
去括号，得14x−7−12x+3=10，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程中的去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键．
【考点2 解一元一次方程——去括号】
【例2.1】如果5（x−2）与2（x−3）互为相反数，那么x的值是（ ）
A．167B．716C．34D．43
【答案】A
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】根据题意得：5（x−2）+2（x−3）=0，
去括号得：5x−10+2x−6=0
移项合并得：7x=16
解得：x=167．
故答案为：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题关键是了解步骤：去括号，移项合并，将未知数化为1，求出解．
【例2.2】方程−3(★−9)=5x−1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x=2，那么★处的数字是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，再解方程即可得到答案．
【详解】解：把x=2代入−3(★−9)=5x−1得，
−3(★−9)=5×2−1，
解得★=6．
故选：A
【点睛】此题考查了方程的解和解一元一次方程，准确计算是解题的关键．
【例2.3】解方程2x+2=1−x+3
【答案】x=−2．
【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：去括号，得2x+4=1−x−3，
移项，得2x+x=1−3−4，
合并同类项，得3x=−6，
系数化为1，得x=−2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
【变式2.1】解方程：−2x+3=2+3x
【答案】x=−85
【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．
【详解】解：−2x+3=2+3x，
去括号，得−2x−6=2+3x，
移项，得−2x−3x=2+6，
合并同类项，得−5x=8，
系数化为1，得x=−85．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
【变式2.2】解方程4(x−1)−x=2(x+0.5)步骤如下：①去括号，得：4x−4−x=2x+1；②移项，得：4x−x+2x=1+4；③合并同类项，得：5x=5；④系数化为1，得：x=1．其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据去括号法则，移项法则即可作出判断．
【详解】解：4x-4-x=2x+1；
移项，得4x-x-2x=1+4．
则做错的一步是②．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解方程的依据是等式的基本性质，注意移项变号．
【变式2.3】解方程：30%x+70%20−x=20×54%
【答案】x=8
【分析】根据解一元一次方程的方法步骤求解即可得到答案．
【详解】解：30%x+70%20−x=20×54%
去分母得30x+7020−x=20×54，
去括号得30x+1400−70x=1080，
移项、合并同类项得40x=320，
系数化为1得x=8．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟记解一元一次方的方法步骤是解决问题的关键．
模块二
解一元一次方程——去分母
【考点1 去分母】
【例1.1】解方程1+x+36=x2，去分母正确的是（ ）
A．1+x−3=3xB．1+x+3=3xC．6+x+3=3xD．6+x−3=3x
【答案】C
【分析】方程两边同乘最小公倍数，去掉分母，进行判断即可．
【详解】解：方程两边同乘6，得：6+x+3=3x；
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，去分母．在去分母时，注意常数项不要漏乘．
【例1.2】下列去分母正确的是（ ）
A．由x3−2=1−x2，得2x−2=31−x
B．由x−22−3x−24=−1，得2x−4−3x−2=−4
C．由x+12=x3−3x−16，得3x+3=2x−3x+1
D．由4x5−x+43=1，得12x−5x−4=15
【答案】C
【分析】利用等式的基本性质：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数，再逐一分析即可．
【详解】解：x3−2=1−x2，
去分母得：2x−12=3−3x ，故A不符合题意；
x−22−3x−24=−1，
去分母得；2x−4−3x+2=−4，故B不符合题意；
x+12=x3−3x−16，
去分母得：3x+3=2x−3x+1，故C符合题意；
4x5−x+43=1，
去分母得：12x−5x−20=15，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握“利用等式的基本性质去分母解一元一次方程”是解本题的关键．
【例1.3】将方程x0.3=1+1.2−0.3x0.2中分母化为整数，正确的是（ ）
A．10x3=1+12−3x2B．x3=10+1.2−0.3x0.2
C．x3=10+12−3x2D．x3=1+1.2−0.3x0.2
【答案】A
【分析】根据分数的基本性质直接进行化简即可．
【详解】解：根据分数的基本性质可得x0.3=1+1.2−0.3x0.2分母化为整数，需分子分母同时扩大10倍，即10x3=1+12−3x2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分数的基本性质，熟练掌握分数的基本性质是解题的关键，注意式子中的1无需扩大．
【变式1.1】解方程x2−2x+16=1时，去分母得__________．
【答案】3x−(2x+1)=6
【分析】根据解一元一次方程的步骤，去分母，等式两边同时乘以6即得．
【详解】方程两边同时乘以6得，3x−(2x+1)=6，
故答案为：3x−(2x+1)=6．
【点睛】考查了解一元一次方程的步骤，去分母，注意等式两边同时乘以分母的最小公倍数，不要漏乘．
【变式1.2】解方程x12−2x−120=3x+48 －1，去分母时，方程两边应都乘____，得______________________，这一变形的依据是________________．
【答案】 120 10x－6(2x－1)＝15(3x＋4)－120 等式的性质2
【分析】找出方程两边分母的最小公倍数，根据等式的性质2即可得答案．
【详解】∵12、20、8的最小公倍数是120，
∴去分母时，方程两边应都乘120，得10x－6(2x－1)＝15(3x＋4)－120，
这一变形的依据是：等式的性质2
故答案为：120，10x－6(2x－1)＝15(3x＋4)－120，等式的性质2
【点睛】本题考查解一元一次方程及等式的性质，等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等；熟练掌握相关知识是解题关键．
【考点2 解一元一次方程——去分母】
【例2.1】若方程2x−1=5和1−3a−x3=0有相同的解，则a=（ ）
A．0B．13C．1D．2
【答案】D
【分析】先解方程2x−1=5，求得x的值，因为这个解也是方程1−3a−x3=0的解，根据方程的解的定义，把x代入求出a的值．
【详解】解：解方程2x−1=5，得x=3，
把x=3代入方程1−3a−x3=0，得
1−3a−33=0，
解得，a=2．
故选：D．
【点睛】此题考查同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
【例2.2】小明同学在完成课后作业解方程：3x+12−2x−56=1时，写出了如下的过程：
解：去分母，得3(3x+1)−(2x−5)=6 ①
去括号，得 9x+3−2x−5=6 ②
移项，得9x−2x=6−3+5 ③
合并同类项，得7x=8 ④
系数化为1，得x=87 ⑤
以上过程中开始出现错误的步骤是( )
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的步骤逐步分析即可求解．
【详解】解：解：去分母，得3(3x+1)−(2x−5)=6 ①
去括号，得 9x+3−2x+5=6 ②
第②步开始出现错误
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【例2.3】某书有一道一元一次方程：2+∗x3+1=x，*处的数印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为x=−2.5，那么*处被墨盖住的数应该是（ ）．
A．1011B．3C．115D．5
【答案】D
【分析】要想求x=−2.5时*处的数的值，思维的出发点是直接把x的值代入方程，这就转化为解关于*的一元一次方程了，解方程即可．
【详解】解：设∗=a，把方程去分母得：2+ax+3=3x，
把x=−2.5代入方程得：3×−2.5−−2.5a=5，
解得a=5．
故选：D．
【点睛】本题求*的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
【变式2.1】解方程：x−x−12=2−x+185
0.1−0.2x0.3−1=0.7−x0.4．
【答案】x=−3
x=2922
【分析】根据去分母、去括号、移项合并解题即可．
【详解】x−x−12=2−x+185
去分母得：10x−5x−1=20−2x+18
去括号得：10x−5x+5=20−2x−36
移项合并得：7x=−21
解得：x=−3;
0.1−0.2x0.3−1=0.7−x0.4．
方程整理得：1−2x3−1=7−10x4，
去分母得：41−2x−12=37−10x，
去括号得：4−8x−12=21−30x，
移项合并得：22x=29，
解得：x=2922．
【点睛】本题考查解一元一次方程，正确计算是解题关键．
【变式2.2】解方程x+2k2−1=2x−32去分母不小心，变为x+2k−1=2x−3，得到解为x=3．原方程正确的解应为（ ）
A．x=−3B．x=−2C．x=2D．x=−1
【答案】C
【分析】将x=3代入x+2k−1=2x−3得出k，代回原方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵x+2k−1=2x−3，得到解为x=3．
∴3+2k−1=2×3−3，
解得：k=12，
∴原方程为x+12−1=2x−32，
去分母得：x+1−2=2x−3
移项得：x−2x=−3−1+2
合并同类项得：−x=−2
化系数为1：x=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式2.3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“兄弟方程”．若关于x的方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0是“兄弟方程”，求m的值是__________．
【答案】2
【分析】求出方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0的解，再根据“兄弟方程”的定义得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：方程2x+3m−2=0的解为x=−3m+22，
方程3x−5m+4=0的解为x=5m−43，
∵x的方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0是“兄弟方程”，
∴−3m+22+5m−43=0，
解得m=2.
故答案为：2
【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义．
模块三
课后作业
1．若3x−(−4)=−2，则x的值是（ ）
A．2B．−2C．23D．−23
【答案】B
【分析】先去小括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，即可．
【详解】3x−(−4)=−2
解：3x+4=−2
3x=−2−4
3x=−6
x=−2．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程．
2．在解方程x−13+x=3x+12时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）
A．2x−1+6x=33x+1B．2x−1+6x=33x+1
C．2x−1+x=33x+1D．x−1+x=3x−1
【答案】B
【分析】根据等式的性质，在方程的两边同时乘以6即可．
【详解】解：方程两边同时乘以6得：2x−1+6x=33x+1，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，解题的关键是正确理解等式的性质，一定不要漏乘了没有分母的项．
3．下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（ ）
A．方程3x−2=2x+1，移项得3x−2x=1+2
B．方程5−2xx−1=1，去分母得5x−1−2x=1
C．方程3−x=2−5x−1，去括号得3−x=2−5x−1
D．方程23x=32，系数化为1，得x=1
【答案】A
【分析】根据解一元一次方程的步骤，去分母，移项，合并同类项，系数化为1，即可．
【详解】A、方程3x−2=2x+1，移项得3x−2x=1+2，A正确，符合题意；
B、方程5−2xx−1=1，去分母得5x−1−2x=1x−1，B错误，不符合题意；
C、3−x=2−5x−1，去括号得3−x=2−5x+5，C错误，不符合题意；
D、方程23x=32，系数化为1，得x=3223，D错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤．
4．如果2x+3的值与31−x的值互为相反数，那么x等于( )
A．9B．8C．－9D．－8
【答案】A
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：根据题意得：2（x+3）+3（1﹣x）＝0，
去括号得：2x+6+3﹣3x＝0，
解得：x＝9，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解法是解本题的关键．
5．研究下面解方程1+4(2x−3)=5x−(1−3x)的过程：
去括号，得1+8x−12=5x−1−3x，（1）
移项，得8x−5x+3x=−1−1+12，（2）
合并同类项，得6x=10，（3）
系数化1，得x=53．
对于上面的解法，你认为（ ）
A．完全正确B．变形错误的是（1）
C．变形错误的是（2）D．变形错误的是（3）
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的步骤判断求解即可．
【详解】解：1+4(2x−3)=5x−(1−3x)，
去括号，得1+8x−12=5x−1−13x，①变形错误，
正确应为：1+8x−12=5x−1+3x，
移项，得8x−5x+3x=−1−1+12，（2）变形正确，
合并同类项，得6x=10，（3）变形正确，
系数化1，得x=53．（4）变形正确，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
6．将方程3x−12−2−x5=x去分母时，方程两边同乘以最小的正整数m，则式子2032−m的值是______．
【答案】2022
【分析】找出各分母的最小公倍数确定出m，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：将方程3x−12−2−x5=x去分母时，方程两边同乘最小的正整数 10，即m=10，则2032−m=2032−10=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程的方法是解本题的关键．
7．当x=____时，1−x与x−42的值相等．
【答案】2
【分析】根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解： 1−x=x−42，
2−2x=x−4，
−3x=−6，
解得x=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
8．在下面如图所示的运算程序中，若输出的数y=55，则输入的数x=_______．
【答案】110或111
【分析】分当x为奇数时和当x为偶数时两种情况求解即可．
【详解】解：当x为奇数时，x−12=55，解得x=111；
当x为偶数时，x2=55，解得x=110，
故答案为：110或111．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．解方程：
(1)12−3(x−2)=4x+7
(2)x+0.40.2−x−30.5=2
【答案】(1)x=117
(2)x=−2
【分析】（1）展开、移项、合并同类项、再将x系数化为1；
（2）先利用分数的基本性质把分母化为整数，再去分母，再合并同类项，再求解．
【详解】（1）解：12−3(x−2)=4x+7
去括号得，12−3x+6=4x+7，
移项得，−3x−4x=7−12−6，
合并同类项得，−7x=−11，
系数化1得，x=117
（2）x+0.40.2−x−30.5=2
原方程变形得，5x+21−2x−61=2，
去分母得，5x+2−2x−6=2，
去括号得，5x+2−2x+6=2，
移项得，5x−2x=2−2−6，
合并同类项得，3x=−6，
系数化1得，x=−2
【点睛】本题考查了一元一次方程求解，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．
10．解方程：
(1)8−3(2x−1)=17+2(x+3)
(2)x−1−x2=5−x+47
【答案】(1)x=−32
(2)x=3
【分析】（1）方程去括号，移项合并，并将x的系数化为1，即可求出解．
（2）方程去分母，去括号，移项合并，将x的系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：去括号，得8−6x+3=17+2x+6，
移项、合并同类项，得8x=−12，
系数化为1，得x=−32．
（2）解：去分母，得14x−7(1−x)=70−2(x+4)，
去括号，得14x−7+7x=70−2x−8，
移项、合并同类项，得23x=69，
系数化为1，得x=3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解，掌握解方程的步骤是解题的关键．
11．若关于x的方程4x−m=2x+5的解比2x−m=3x−2−1的解小2，求m的值．
【答案】1
【分析】先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：由4x−m=2x+5得，x=5+m2，
由2x−m=3x−2−1得x=7−2m，
由题意得5+m2=7−2m−2，解得m=1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．
12．如果方程3x−14−1=5x−76的解与方程4x−(3a+1)=6x+2a−1的解相同，求a的值．
【答案】25
【分析】解方程3x−14−1=5x−76得x=−1，把x=−1代入方程4x−(3a+1)=6x+2a−1，即可求解．
【详解】解：方程3x−14−1=5x−76，
去分母得3(3x−1)−12=2(5x−7)，
去括号得9x−3−12=10x−14，
移项得9x−10x=−14+3+12，
合并同类项得−x=1，
系数化为1得x=−1，
把x=−1代入4x−(3a+1)=6x+2a−1得
−4−3a−1=−6+2a−1，
∴−3a−2a=−6−1+4+1，
∴−5a=−2，
∴a=25．
【点睛】本题主要考查去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解一元一次方程，掌握解方程的方法是解题的关键．
13．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
(1)任务一：填空：①以上求解步骤中，第一步进行的是______ ，这一步的依据是(填写具体内容) ______ ；
②以上求解步骤中，第______ 步开始出现错误，错误的原因是______ ；
③请直接写出该方程正确的解为______ ．
(2)任务二：④请你根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项提一条合理化建议．
(3)任务三：学以致用，请解方程：2x−56=3−x8−1．
【答案】(1)①去分母 ，等式两边同乘以(或除以)一个不为0的数等式仍然成立；②三，−9和−2从方程左边移到方程右边没有变号；③x=−17
(2)④在去分母时，用括号代替分数线（答案不唯一）
(3)x=511
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解；
（2）可以从去括号或分数线消失时用括号代替等方面进行回答；
（3）先去分母、去括号，再移项，然后合并后把x的系数化为1即可．
【详解】（1）解：①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同乘以(或除以)一个不为0的数等式仍然成立；
②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，错误的原因是−9和−2从方程左边移到方程右边没有变号；
③请直接写出该方程正确的解为x=−17；
（2）解：④在去分母时，用括号代替分数线(答案不唯一)；
（3）解：去分母，得4(2x−5)=3(3−x)−24，
去括号，得8x−20=9−3x−24，
移项，得8x+3x=9−24+20，
合并，得11x=5，
系数化为1，得x=511．
【点睛】本题考查了解一元一次方程：熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解决问题的关键．解方程：x−32−2x+13=1
解：______ ，得3x−3−22x+1=6第一步
去括号，得3x−9−4x−2=6第二步
移项，得3x−4x=6−9−2第三步
合并同类项，得−x=−5第四步
方程两边同除以−1，得x=5第五步
·模块一 解一元一次方程——去括号
·模块二 解一元一次方程——去分母
·模块三 课后作业
模块一
解一元一次方程——去括号
【考点1 去括号】
【例1.1】解下列方程时，去括号正确的是（ ）
A．由2x−1=x+3，得2x−1=x+3
B．由−51−x=4，得−5−5x=4
C．由32−4x=3，得6−12x=3
D．由3=41−x，得−3=4−4x
【答案】C
【分析】应用乘法分配律，逐一判断，判断出去括号正确的是哪个即可．
【详解】解：∵由2x−1=x+3，得2x−2=x+3，
∴选项A不符合题意；
∵由−51−x=4，得−5+5x=4，
∴选项B不符合题意；
∵由32−4x=3，得6−12x=3，
∴选项C符合题意；
∵由3=41−x，得3=4−4x，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程中去括号的规则，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程中去括号的规则．
【变式1.1】解方程2−32−3x=2，去括号正确的是（ ）
A．2−6−9x=2B．2−6−3x=2C．2−6+9x=2D．2−6+3x=2
【答案】C
【分析】根据去括号法则，进行化简即可．
【详解】解：2−32−3x=2，
去括号得，2−6+9x=2，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，特别是去括号时符号的变化是解题的关键．
【变式1.2】将方程72x−1−34x−1=10去括号正确的是（ ）
A．14x−7−12x+1=10B．14x−7−12x+3=10
C．14x−1−12x−3=10D．14x−1−12x−3=10
【答案】B
【分析】根据去括号法则即可得．
【详解】解：72x−1−34x−1=10，
去括号，得14x−7−12x+3=10，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程中的去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键．
【考点2 解一元一次方程——去括号】
【例2.1】如果5（x−2）与2（x−3）互为相反数，那么x的值是（ ）
A．167B．716C．34D．43
【答案】A
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】根据题意得：5（x−2）+2（x−3）=0，
去括号得：5x−10+2x−6=0
移项合并得：7x=16
解得：x=167．
故答案为：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题关键是了解步骤：去括号，移项合并，将未知数化为1，求出解．
【例2.2】方程−3(★−9)=5x−1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x=2，那么★处的数字是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，再解方程即可得到答案．
【详解】解：把x=2代入−3(★−9)=5x−1得，
−3(★−9)=5×2−1，
解得★=6．
故选：A
【点睛】此题考查了方程的解和解一元一次方程，准确计算是解题的关键．
【例2.3】解方程2x+2=1−x+3
【答案】x=−2．
【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：去括号，得2x+4=1−x−3，
移项，得2x+x=1−3−4，
合并同类项，得3x=−6，
系数化为1，得x=−2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
【变式2.1】解方程：−2x+3=2+3x
【答案】x=−85
【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．
【详解】解：−2x+3=2+3x，
去括号，得−2x−6=2+3x，
移项，得−2x−3x=2+6，
合并同类项，得−5x=8，
系数化为1，得x=−85．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
【变式2.2】解方程4(x−1)−x=2(x+0.5)步骤如下：①去括号，得：4x−4−x=2x+1；②移项，得：4x−x+2x=1+4；③合并同类项，得：5x=5；④系数化为1，得：x=1．其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据去括号法则，移项法则即可作出判断．
【详解】解：4x-4-x=2x+1；
移项，得4x-x-2x=1+4．
则做错的一步是②．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解方程的依据是等式的基本性质，注意移项变号．
【变式2.3】解方程：30%x+70%20−x=20×54%
【答案】x=8
【分析】根据解一元一次方程的方法步骤求解即可得到答案．
【详解】解：30%x+70%20−x=20×54%
去分母得30x+7020−x=20×54，
去括号得30x+1400−70x=1080，
移项、合并同类项得40x=320，
系数化为1得x=8．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟记解一元一次方的方法步骤是解决问题的关键．
模块二
解一元一次方程——去分母
【考点1 去分母】
【例1.1】解方程1+x+36=x2，去分母正确的是（ ）
A．1+x−3=3xB．1+x+3=3xC．6+x+3=3xD．6+x−3=3x
【答案】C
【分析】方程两边同乘最小公倍数，去掉分母，进行判断即可．
【详解】解：方程两边同乘6，得：6+x+3=3x；
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，去分母．在去分母时，注意常数项不要漏乘．
【例1.2】下列去分母正确的是（ ）
A．由x3−2=1−x2，得2x−2=31−x
B．由x−22−3x−24=−1，得2x−4−3x−2=−4
C．由x+12=x3−3x−16，得3x+3=2x−3x+1
D．由4x5−x+43=1，得12x−5x−4=15
【答案】C
【分析】利用等式的基本性质：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数，再逐一分析即可．
【详解】解：x3−2=1−x2，
去分母得：2x−12=3−3x ，故A不符合题意；
x−22−3x−24=−1，
去分母得；2x−4−3x+2=−4，故B不符合题意；
x+12=x3−3x−16，
去分母得：3x+3=2x−3x+1，故C符合题意；
4x5−x+43=1，
去分母得：12x−5x−20=15，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握“利用等式的基本性质去分母解一元一次方程”是解本题的关键．
【例1.3】将方程x0.3=1+1.2−0.3x0.2中分母化为整数，正确的是（ ）
A．10x3=1+12−3x2B．x3=10+1.2−0.3x0.2
C．x3=10+12−3x2D．x3=1+1.2−0.3x0.2
【答案】A
【分析】根据分数的基本性质直接进行化简即可．
【详解】解：根据分数的基本性质可得x0.3=1+1.2−0.3x0.2分母化为整数，需分子分母同时扩大10倍，即10x3=1+12−3x2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分数的基本性质，熟练掌握分数的基本性质是解题的关键，注意式子中的1无需扩大．
【变式1.1】解方程x2−2x+16=1时，去分母得__________．
【答案】3x−(2x+1)=6
【分析】根据解一元一次方程的步骤，去分母，等式两边同时乘以6即得．
【详解】方程两边同时乘以6得，3x−(2x+1)=6，
故答案为：3x−(2x+1)=6．
【点睛】考查了解一元一次方程的步骤，去分母，注意等式两边同时乘以分母的最小公倍数，不要漏乘．
【变式1.2】解方程x12−2x−120=3x+48 －1，去分母时，方程两边应都乘____，得______________________，这一变形的依据是________________．
【答案】 120 10x－6(2x－1)＝15(3x＋4)－120 等式的性质2
【分析】找出方程两边分母的最小公倍数，根据等式的性质2即可得答案．
【详解】∵12、20、8的最小公倍数是120，
∴去分母时，方程两边应都乘120，得10x－6(2x－1)＝15(3x＋4)－120，
这一变形的依据是：等式的性质2
故答案为：120，10x－6(2x－1)＝15(3x＋4)－120，等式的性质2
【点睛】本题考查解一元一次方程及等式的性质，等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等；熟练掌握相关知识是解题关键．
【考点2 解一元一次方程——去分母】
【例2.1】若方程2x−1=5和1−3a−x3=0有相同的解，则a=（ ）
A．0B．13C．1D．2
【答案】D
【分析】先解方程2x−1=5，求得x的值，因为这个解也是方程1−3a−x3=0的解，根据方程的解的定义，把x代入求出a的值．
【详解】解：解方程2x−1=5，得x=3，
把x=3代入方程1−3a−x3=0，得
1−3a−33=0，
解得，a=2．
故选：D．
【点睛】此题考查同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
【例2.2】小明同学在完成课后作业解方程：3x+12−2x−56=1时，写出了如下的过程：
解：去分母，得3(3x+1)−(2x−5)=6 ①
去括号，得 9x+3−2x−5=6 ②
移项，得9x−2x=6−3+5 ③
合并同类项，得7x=8 ④
系数化为1，得x=87 ⑤
以上过程中开始出现错误的步骤是( )
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的步骤逐步分析即可求解．
【详解】解：解：去分母，得3(3x+1)−(2x−5)=6 ①
去括号，得 9x+3−2x+5=6 ②
第②步开始出现错误
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【例2.3】某书有一道一元一次方程：2+∗x3+1=x，*处的数印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为x=−2.5，那么*处被墨盖住的数应该是（ ）．
A．1011B．3C．115D．5
【答案】D
【分析】要想求x=−2.5时*处的数的值，思维的出发点是直接把x的值代入方程，这就转化为解关于*的一元一次方程了，解方程即可．
【详解】解：设∗=a，把方程去分母得：2+ax+3=3x，
把x=−2.5代入方程得：3×−2.5−−2.5a=5，
解得a=5．
故选：D．
【点睛】本题求*的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
【变式2.1】解方程：x−x−12=2−x+185
0.1−0.2x0.3−1=0.7−x0.4．
【答案】x=−3
x=2922
【分析】根据去分母、去括号、移项合并解题即可．
【详解】x−x−12=2−x+185
去分母得：10x−5x−1=20−2x+18
去括号得：10x−5x+5=20−2x−36
移项合并得：7x=−21
解得：x=−3;
0.1−0.2x0.3−1=0.7−x0.4．
方程整理得：1−2x3−1=7−10x4，
去分母得：41−2x−12=37−10x，
去括号得：4−8x−12=21−30x，
移项合并得：22x=29，
解得：x=2922．
【点睛】本题考查解一元一次方程，正确计算是解题关键．
【变式2.2】解方程x+2k2−1=2x−32去分母不小心，变为x+2k−1=2x−3，得到解为x=3．原方程正确的解应为（ ）
A．x=−3B．x=−2C．x=2D．x=−1
【答案】C
【分析】将x=3代入x+2k−1=2x−3得出k，代回原方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵x+2k−1=2x−3，得到解为x=3．
∴3+2k−1=2×3−3，
解得：k=12，
∴原方程为x+12−1=2x−32，
去分母得：x+1−2=2x−3
移项得：x−2x=−3−1+2
合并同类项得：−x=−2
化系数为1：x=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式2.3】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“兄弟方程”．若关于x的方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0是“兄弟方程”，求m的值是__________．
【答案】2
【分析】求出方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0的解，再根据“兄弟方程”的定义得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：方程2x+3m−2=0的解为x=−3m+22，
方程3x−5m+4=0的解为x=5m−43，
∵x的方程2x+3m−2=0和3x−5m+4=0是“兄弟方程”，
∴−3m+22+5m−43=0，
解得m=2.
故答案为：2
【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义．
模块三
课后作业
1．若3x−(−4)=−2，则x的值是（ ）
A．2B．−2C．23D．−23
【答案】B
【分析】先去小括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，即可．
【详解】3x−(−4)=−2
解：3x+4=−2
3x=−2−4
3x=−6
x=−2．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程．
2．在解方程x−13+x=3x+12时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）
A．2x−1+6x=33x+1B．2x−1+6x=33x+1
C．2x−1+x=33x+1D．x−1+x=3x−1
【答案】B
【分析】根据等式的性质，在方程的两边同时乘以6即可．
【详解】解：方程两边同时乘以6得：2x−1+6x=33x+1，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，解题的关键是正确理解等式的性质，一定不要漏乘了没有分母的项．
3．下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（ ）
A．方程3x−2=2x+1，移项得3x−2x=1+2
B．方程5−2xx−1=1，去分母得5x−1−2x=1
C．方程3−x=2−5x−1，去括号得3−x=2−5x−1
D．方程23x=32，系数化为1，得x=1
【答案】A
【分析】根据解一元一次方程的步骤，去分母，移项，合并同类项，系数化为1，即可．
【详解】A、方程3x−2=2x+1，移项得3x−2x=1+2，A正确，符合题意；
B、方程5−2xx−1=1，去分母得5x−1−2x=1x−1，B错误，不符合题意；
C、3−x=2−5x−1，去括号得3−x=2−5x+5，C错误，不符合题意；
D、方程23x=32，系数化为1，得x=3223，D错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤．
4．如果2x+3的值与31−x的值互为相反数，那么x等于( )
A．9B．8C．－9D．－8
【答案】A
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：根据题意得：2（x+3）+3（1﹣x）＝0，
去括号得：2x+6+3﹣3x＝0，
解得：x＝9，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解法是解本题的关键．
5．研究下面解方程1+4(2x−3)=5x−(1−3x)的过程：
去括号，得1+8x−12=5x−1−3x，（1）
移项，得8x−5x+3x=−1−1+12，（2）
合并同类项，得6x=10，（3）
系数化1，得x=53．
对于上面的解法，你认为（ ）
A．完全正确B．变形错误的是（1）
C．变形错误的是（2）D．变形错误的是（3）
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的步骤判断求解即可．
【详解】解：1+4(2x−3)=5x−(1−3x)，
去括号，得1+8x−12=5x−1−13x，①变形错误，
正确应为：1+8x−12=5x−1+3x，
移项，得8x−5x+3x=−1−1+12，（2）变形正确，
合并同类项，得6x=10，（3）变形正确，
系数化1，得x=53．（4）变形正确，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
6．将方程3x−12−2−x5=x去分母时，方程两边同乘以最小的正整数m，则式子2032−m的值是______．
【答案】2022
【分析】找出各分母的最小公倍数确定出m，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：将方程3x−12−2−x5=x去分母时，方程两边同乘最小的正整数 10，即m=10，则2032−m=2032−10=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程的方法是解本题的关键．
7．当x=____时，1−x与x−42的值相等．
【答案】2
【分析】根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解： 1−x=x−42，
2−2x=x−4，
−3x=−6，
解得x=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
8．在下面如图所示的运算程序中，若输出的数y=55，则输入的数x=_______．
【答案】110或111
【分析】分当x为奇数时和当x为偶数时两种情况求解即可．
【详解】解：当x为奇数时，x−12=55，解得x=111；
当x为偶数时，x2=55，解得x=110，
故答案为：110或111．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．解方程：
(1)12−3(x−2)=4x+7
(2)x+0.40.2−x−30.5=2
【答案】(1)x=117
(2)x=−2
【分析】（1）展开、移项、合并同类项、再将x系数化为1；
（2）先利用分数的基本性质把分母化为整数，再去分母，再合并同类项，再求解．
【详解】（1）解：12−3(x−2)=4x+7
去括号得，12−3x+6=4x+7，
移项得，−3x−4x=7−12−6，
合并同类项得，−7x=−11，
系数化1得，x=117
（2）x+0.40.2−x−30.5=2
原方程变形得，5x+21−2x−61=2，
去分母得，5x+2−2x−6=2，
去括号得，5x+2−2x+6=2，
移项得，5x−2x=2−2−6，
合并同类项得，3x=−6，
系数化1得，x=−2
【点睛】本题考查了一元一次方程求解，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．
10．解方程：
(1)8−3(2x−1)=17+2(x+3)
(2)x−1−x2=5−x+47
【答案】(1)x=−32
(2)x=3
【分析】（1）方程去括号，移项合并，并将x的系数化为1，即可求出解．
（2）方程去分母，去括号，移项合并，将x的系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：去括号，得8−6x+3=17+2x+6，
移项、合并同类项，得8x=−12，
系数化为1，得x=−32．
（2）解：去分母，得14x−7(1−x)=70−2(x+4)，
去括号，得14x−7+7x=70−2x−8，
移项、合并同类项，得23x=69，
系数化为1，得x=3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解，掌握解方程的步骤是解题的关键．
11．若关于x的方程4x−m=2x+5的解比2x−m=3x−2−1的解小2，求m的值．
【答案】1
【分析】先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：由4x−m=2x+5得，x=5+m2，
由2x−m=3x−2−1得x=7−2m，
由题意得5+m2=7−2m−2，解得m=1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．
12．如果方程3x−14−1=5x−76的解与方程4x−(3a+1)=6x+2a−1的解相同，求a的值．
【答案】25
【分析】解方程3x−14−1=5x−76得x=−1，把x=−1代入方程4x−(3a+1)=6x+2a−1，即可求解．
【详解】解：方程3x−14−1=5x−76，
去分母得3(3x−1)−12=2(5x−7)，
去括号得9x−3−12=10x−14，
移项得9x−10x=−14+3+12，
合并同类项得−x=1，
系数化为1得x=−1，
把x=−1代入4x−(3a+1)=6x+2a−1得
−4−3a−1=−6+2a−1，
∴−3a−2a=−6−1+4+1，
∴−5a=−2，
∴a=25．
【点睛】本题主要考查去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解一元一次方程，掌握解方程的方法是解题的关键．
13．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
(1)任务一：填空：①以上求解步骤中，第一步进行的是______ ，这一步的依据是(填写具体内容) ______ ；
②以上求解步骤中，第______ 步开始出现错误，错误的原因是______ ；
③请直接写出该方程正确的解为______ ．
(2)任务二：④请你根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项提一条合理化建议．
(3)任务三：学以致用，请解方程：2x−56=3−x8−1．
【答案】(1)①去分母 ，等式两边同乘以(或除以)一个不为0的数等式仍然成立；②三，−9和−2从方程左边移到方程右边没有变号；③x=−17
(2)④在去分母时，用括号代替分数线（答案不唯一）
(3)x=511
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解；
（2）可以从去括号或分数线消失时用括号代替等方面进行回答；
（3）先去分母、去括号，再移项，然后合并后把x的系数化为1即可．
【详解】（1）解：①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同乘以(或除以)一个不为0的数等式仍然成立；
②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，错误的原因是−9和−2从方程左边移到方程右边没有变号；
③请直接写出该方程正确的解为x=−17；
（2）解：④在去分母时，用括号代替分数线(答案不唯一)；
（3）解：去分母，得4(2x−5)=3(3−x)−24，
去括号，得8x−20=9−3x−24，
移项，得8x+3x=9−24+20，
合并，得11x=5，
系数化为1，得x=511．
【点睛】本题考查了解一元一次方程：熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解决问题的关键．解方程：x−32−2x+13=1
解：______ ，得3x−3−22x+1=6第一步
去括号，得3x−9−4x−2=6第二步
移项，得3x−4x=6−9−2第三步
合并同类项，得−x=−5第四步
方程两边同除以−1，得x=5第五步
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