冀教版数学九上 第二十八章综合素质评价试卷

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第二十八章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．(母题：教材P158练习T1)如图，点A，B，C在⊙O上 ，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为(　　)A．27° B．108° C．116° D．128°2．[2024·石家庄第八十一中学月考]如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为(　　)A．eq \r(3) B．eq \r(5) C．2eq \r(3) D．2eq \r(5)3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC，BD．下列结论中不一定正确的是(　　)A．AE＝BE B．eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵)) C．OE＝DE D．∠DBC＝90°4．[2022·兰州]如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝(　　)A．70° B．60° C．50° D．40°5．[2024·石家庄平山期中]为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽(相邻两边互相垂直)内，测得的有关数据如图所示(单位： cm)，则该铁球的直径为(　　)A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm6．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是(　　)A．eq \r(5) B．4 C．eq \r(11) D．eq \r(13)7．[2022·荆门]如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E.若AB＝12， BE＝3，则四边形ACBD的面积为(　　)A．36eq \r(3) B．24eq \r(3) C．18eq \r(3) D．72eq \r(3)8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是(　　)A．30° B．35° C．45° D．60°9．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为(　　)A．2 B．4 C．eq \r(2) D．2eq \r(2) 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B转过的路径长为(　　)A．eq \f(π,3) B．eq \f(\r(3)π,3) C．eq \f(2π,3) D．π11．[2022·泸州]如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC＝4eq \r(2)，DE＝4，则BC的长是(　　)A．1 B．eq \r(2) C．2 D．412．如图，如果从半径为9 cm的圆形纸片中剪去eq \f(1,3)圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(　　)A．6 cm B．3eq \r(5) cm C．8 cm D．5eq \r(3) cm二、填空题(每题3分，共12分)13．[2022·永州]如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝________°.14．如图，AB，BC是以AC为直径的⊙O的两条弦，延长AC至点D，使CD＝BC，则当∠D＝15°时，AD与AB之间的数量关系为AD＝________AB．15．如图，AD为⊙O的直径，AD＝6 cm，∠DAC＝∠ABC，则AC＝________．16．[2023·青海]如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π)三、解答题(第17，18题6分，第19～21题每题5分，第22～24题每题12分，共72分)17．[2024·石家庄第十七中学期中]如图，AB为⊙O的直径，点C，E，D在⊙O上，若∠BED＝20°，求∠ACD的度数．18．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠CAP.19．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．20．已知扇形的半径为30 cm，面积为300π cm2.(1)求扇形的弧长．(2)若将此扇形卷成一个圆锥(无底，忽略接头部分)，则这个圆锥的高是多少？21．如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE.(1)求证：四边形ODCE是菱形；(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．22．如图，一座拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径．(2)现有一艘宽60米，顶部截面为长方形且高出水面9米的轮船要经过这座拱形公路桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．23．如图，在△ABC中， AB＝AC＝4eq \r(5)，cos C＝eq \f(\r(5),5).(1)动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)综合应用：在你所作的图中，①求证：eq \o(DE,\s\up8(︵))＝eq \o(CE,\s\up8(︵))；②求点D到BC的距离．24．[2023·湘西]如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于 点F.(1)求证：AE2＝AF·AD；(2)若sin∠ABD＝eq \f(2\r(5),5)，AB＝5，求AD的长．答案一、1．B　2．D3．C 【解析】∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∴AE＝BE，eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，故A，B正确；∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，故D正确．由已知不能推出OE＝DE.故选C．4．C5．C 【解析】连接AB，OC，OA，OC交AB于点H，如图所示．由题可得，AB＝8 cm，半径OC⊥AB，∴AH＝BH＝eq \f(1,2)AB＝4 cm.设AO＝OC＝x cm.∵HC＝2 cm，∴OH＝(x－2)cm.在Rt△AOH中，AO2＝AH2＋OH2，∴x2＝42＋(x－2)2，解得x＝5，即AO＝5 cm.∴铁球的直径为2×5＝10(cm)．故选C．6．D 【解析】连接AC．∵点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径．∴∠ADC＝90°.∵AD＝3，CD＝2，∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(13)，即⊙O的直径的长是eq \r(13).故选D．7．A 【解析】连接OC．∵AB＝12，∴OB＝OC＝6.∵BE＝3，∴OE＝3.∵直径AB⊥CD，∴CE＝eq \f(1,2)CD．在Rt△COE中，CE＝eq \r(OC2－OE2)＝eq \r(36－9)＝3eq \r(3)，∴CD＝2CE＝6eq \r(3).∴四边形ACBD的面积＝eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(1,2)×12×6eq \r(3)＝36eq \r(3).故选A．8．A 【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD＋∠BAD＝180°.∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°.∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－60°＝30°.故选A．9．D 【解析】连接OA，OB．∵∠APB＝45°，∴∠AOB＝2∠APB＝90°.∵OA＝OB＝2，∴AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝2eq \r(2).故选D．10．B 【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，∴cos30°＝eq \f(BC,AB).∴BC＝AB·cos30°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，∴B′C＝BC＝eq \r(3)，∠BCB′＝60°.∴点B转过的路径长为eq \f(60π×\r(3),180)＝ eq \f(\r(3),3)π.故选B．11．C 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵OD⊥AC，∴点D是AC的中点．又∵O为AB的中点，∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥BC，且OD＝eq \f(1,2)BC．设OD＝x，则BC＝2x. ∵DE＝4， ∴OE＝4－x，∴AB＝2OE＝8－2x.在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2＋BC2，即(8－2x)2＝(4eq \r(2))2＋(2x)2，解得x＝1.∴BC＝2x＝2.故选C．12．B 【解析】∵留下的扇形的弧长为eq \f(2,3)×2π×9＝12π(cm)，∴围成圆锥的底面半径为eq \f(12π,2π)＝6(cm)．又∵圆锥的母线长为9 cm，∴这个圆锥的高为eq \r(92－62)＝3eq \r(5)(cm)．故选B．二、13．120　14．(2＋eq \r(3))15．3eq \r(2) cm　【解析】连接CD，则∠ADC＝∠ABC．∵∠ABC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ADC．∴AC＝CD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵AD＝6 cm，∴AC2＋CD2＝36.∴AC＝3eq \r(2) cm.16．16－4π 【解析】由题图得，阴影面积＝正方形面积－4个扇形面积，即阴影面积＝正方形面积－圆的面积．∴S阴影＝42－π·22＝16－4π.三、17．【解】如图所示，连接BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BED＝20°，∴∠BCD＝∠BED＝20°.∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－20°＝70°.18．【证明】连接BM.∵AP⊥BC，∴∠APC＝90°.∴∠CAP＝90°－∠C．∵AM为⊙O的直径，∴∠ABM＝90°.∴∠BAM＝90°－∠M.又∵∠M＝∠C，∴∠BAM＝∠CAP.19．(1)【证明】如图，连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．∵DC＝BD，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC．(2)【解】∵⊙O的半径为4，∴AB＝8.∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC＝BC＝8，∠B＝60°.∴DC＝BD＝4.∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°.在Rt△BAD中，BD＝4，AB＝8，∴AD＝4eq \r(3).又∵DE⊥AC，∴eq \f(1,2)DC·AD＝eq \f(1,2)AC·DE.∴DE＝eq \f(DC·AD,AC)＝eq \f(4×4\r(3),8)＝2eq \r(3).20．【解】(1)∵扇形的半径为30 cm，面积为300π cm2，∴扇形的弧长为eq \f(2×300π,30)＝20π (cm)．(2)设圆锥的底面半径为r cm，根据题意，得2πr＝20π，∴r＝10.∴这个圆锥的高是eq \r(302－102)＝20eq \r(2)(cm)．21．(1)【证明】如图，连接OC．∵⊙O和底边AB相切于点C，∴OC⊥AB．∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝eq \f(1,2)∠AOB＝60°.∵OD＝OC，OC＝OE，∴△ODC和△OCE都是等边三角形．∴OD＝OC＝DC，OC＝OE＝CE.∴OD＝CD＝CE＝OE，∴四边形ODCE是菱形．(2)【解】如图，连接DE交OC于点F.∵四边形ODCE是菱形，∴OF＝eq \f(1,2)OC＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°.在Rt△ODF中，OD＝2，∴DF＝eq \r(OD2－OF2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).∴DE＝2DF＝2eq \r(3).∴图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积－菱形ODCE的面积＝eq \f(120π×22,360)－ eq \f(1,2)OC·DE＝eq \f(4π,3)－eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝eq \f(4π,3)－2eq \r(3).∴图中阴影部分的面积为eq \f(4π,3)－2eq \r(3).22．【解】(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交eq \o(AB,\s\up8(︵))于点C，连接AE，则CF＝20米．由垂径定理知，F是AB的中点，∴AF＝FB＝eq \f(1,2)AB＝40米．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2.设桥拱的半径是r米，则r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.∴桥拱的半径为50米．(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：如图，作MN∥AB，使MN＝60米，连接EM，设EC与MN的交点为D．∵EC⊥AB，∴EC⊥MN.∴MD＝eq \f(1,2)MN＝30米．∴DE＝eq \r(EM2－DM2)＝eq \r(502－302)＝40(米)．∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(米)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(米)．∵10米>9米，∴这艘轮船能顺利通过．23．(1)【解】如图所示．(2)①【证明】如图，连接AE.∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAE.∴eq \o(DE,\s\up8(︵))＝eq \o(CE,\s\up8(︵)).②【解】如图，连接CD，过点D作DF⊥BC于点F.∵AB＝AC＝4 eq \r(5)，cos ∠ACB＝eq \f(CE,AC)＝eq \f(\r(5),5)，∴CE＝AC·cos ∠ACB＝4.∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE＝8，AE＝eq \r(AC2－CE2)＝eq \r((4 \r(5))2－42)＝8.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD．∵∠AEC＝90°，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AE·BC．∴eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(1,2)AE·BC．∴CD＝eq \f(16 \r(5),5).∴BD＝eq \r(BC2－CD2)＝eq \f(8 \r(5),5).∵DF⊥BC，∴S△DBC＝eq \f(1,2)BD·CD＝eq \f(1,2)DF·BC．∴DF＝eq \f(16,5)，即点D到BC的距离为eq \f(16,5).24．(1)【证明】连接ED，如图．∵EH⊥AC，∴∠EHA＝90°.∴∠EAH＋∠AEH＝90°.∵AC是直径，∴∠AEC＝90°.∴∠EAH＋∠ACE＝90°.∴∠ACE＝∠AEH.又∵∠ACE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠AEH.又∵∠EAF＝∠DAE，∴△EAF∽△DAE.∴eq \f(AE,AD)＝eq \f(AF,AE).∴AE2＝AF·AD．(2)【解】如图，连接BC．∵AC是直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∵∠ADC的平分线交⊙O于点B，∴∠ADB＝∠BDC．∴eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵)).∴AB＝BC．∵AB＝5，∴BC＝AB＝5.∴在Rt△ABC中，AC＝eq \r(52＋52)＝5eq \r(2).∵∠ABD＝∠ACD，sin∠ABD＝eq \f(2\r(5),5)，∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝eq \f(2\r(5),5).在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝eq \f(AD,AC)，∴AD＝AC·sin∠ACD＝5eq \r(2)×eq \f(2\r(5),5)＝2eq \r(10).