华师版数学九上 第24章综合素质评价试卷

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第24章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．sin 30°的值为(　　)A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A等于(　　)A．eq \f(3,5) B．eq \f(4,5) C．eq \f(3,4) D．eq \f(4,3)3．[2024·海南中学月考]若锐角α满足eq \f(1,2)＜cos α＜eq \f(\r(2),2)，则锐角α的取值范围是(　　)A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60° D．30°＜α＜60°4．[2023·益阳]如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，则sin ∠BAC＝(　　)A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(13),5) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)5．[2023·厦门一中月考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝ 2 cm, D为BC的中点，若动点E以每秒1 cm的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，△BDE是直角三角形，则t的值为(　　)A．2 B．0.5 C．2或3.5 D．2或0.56．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知 AB＝4，BC＝5，则cos ∠EFC的值为(　　)A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3) C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)7．[2023·衢州]如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC＝eq \r(2)a，AB＝b，AB的最大仰角为α.当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是(　　)A．a＋eq \f(b,cos α) B．a＋eq \f(b,sin α) C．a＋bcos α D．a＋bsin α8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1∶2，则等腰三角形顶角的度数为(　　)A．30° B．50° C．60°或120° D．30°或150°9．[2024·深圳外国语学校校联考]如图，在平面直角坐标系中，连结AB并延长至C，连结OC，AB＝3eq \r(5)，若满足OC2＝BC·AC，tan α＝2，则点C的坐标为(　　)A．(－3，6) B．(－2，4) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(10,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(26),3)，\f(\r(38),3)))10．[2023·河南]如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x， eq \f(PB,PC)＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为(　　)A．6 B．3 C．4eq \r(3) D．2eq \r(3)二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，旗杆高AB＝8 m，某一时刻，旗杆的影子长BC＝16 m，则tan C＝________．12．[2023·内江]在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足 a2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝12a－36，则sin B的值为________．13．[2023·驻马店四中月考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC的长为________．14．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AB＝4，sin A＝eq \f(3,4)，则平行四边形ABCD的面积是______．15．[2024·邢台市第七中学校考]如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，已知楔子斜面的倾斜角为20°，要使木桩向上移动5 cm，则楔子沿水平方向前进(如箭头所示)了________cm.16．[2023·雅安]如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为________．17．[2023·成都]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若eq \f(AG,GE)＝eq \f(7,3)，则tan A＝________.18．[2023·黄冈]如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7，h)，则h＝________．三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分)19．计算：(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；(2)[2022·齐齐哈尔](eq \r(3)－1)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(－2)＋|eq \r(3)－2|＋tan 60°.20．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，根据下列已知条件，求这个三角形未知的边和角．(1)b＝2eq \r(3)，c＝4；(2)c＝8，∠A＝60°.21．[2024·宣城市第三中学模拟]如图，在△ABC中，AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(13)， cos A＝eq \f(\r(5),5)，点D在BC边上，且CD＝2BD，DE⊥AB，垂足为E，连结CE.(1)求线段AB的长；(2)求∠CEA的正切值．22．[2023·泰州]如图，堤坝AB的长为10 m，坡度i为1∶0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(参考数据：sin 26°35′≈ 0.45，cos 26°35′≈0.89，tan 26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1 m)23．[2022·舟山]小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图①，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②.已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.(1)连结DE，求线段DE的长；(2)求点A，B之间的距离．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)24．[2023·海南]如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB＝________度，∠BCM＝________度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．答案一、1．C　2．B　3．C　4．C　5．C　6．D　7．D8．D 【解析】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝eq \f(1,2)，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝eq \f(1,2)，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.故选D.9．B 【解析】如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D.∵tan α＝eq \f(CD,OD)＝2，∴CD＝2DO. ∵OC2＝BC·AC，∴eq \f(OC,AC)＝eq \f(BC,OC).∵∠ACO＝∠BCO，∴△CBO∽△COA.∴∠CAO＝∠COB.∵∠CAO＋∠ABO＝90°，∠COD＋∠COB＝90°，∴∠ABO＝∠COD＝α.∴eq \f(AO,BO)＝tan α＝2.∴AO＝2BO.在Rt△AOB中，AO2＋BO2＝AB2，AB＝3eq \r(5)，∴4BO2＋BO2＝45.∴BO＝3.∴AO＝2BO＝6.∵∠CDO＝∠BOA＝90°，∠BAO＝∠CAD，∴△BAO∽△CAD.∴eq \f(OB,CD)＝eq \f(AO,AD)，即eq \f(3,2OD)＝eq \f(6,6＋OD)，解得OD＝2.∴CD＝4.∴点C的坐标为(－2，4)．故选B.10．A 【解析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B.结合图象可知，当点P在AO上运动时，eq \f(PB,PC)＝1，∴PB＝PC，AO＝2eq \r(3).又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC.∵PB＝PC，AP＝AP，∴△APB≌△APC(SSS)．∴∠BAO＝∠CAO＝30°.当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4eq \r(3)，∴OB＝2eq \r(3)，即AO＝OB＝2eq \r(3).∴∠BAO＝∠ABO＝30°.过点O作OD⊥AB于点D，易得AD＝BD，∵AD＝AO·cos 30°＝3，∴AB＝AD＋BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6.故选A.二、11．eq \f(1,2)12．eq \f(4,5) 【解析】∵a2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝12a－36，∴a2－12a＋36＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝0.∴(a－6)2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝0，∴a－6＝0，c－10＝0，b－8＝0，解得a＝6，b＝8，c＝10.∴a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2.∴∠C＝90°.∴sin B＝eq \f(b,c)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).13．4eq \r(2) 【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点， CD＝3，AC＝2，∴AB＝2CD＝6.∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(62－22)＝4eq \r(2).14．3eq \r(7) 【解析】∵AD⊥BD，∴△ABD为直角三角形，sin A＝eq \f(BD,AB).∵sin A＝eq \f(3,4)，AB＝4，∴BD＝3.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2＝AD2＋BD2，即16＝AD2＋9，∴AD＝eq \r(7)，∴S▱ABCD＝AD·BD＝eq \r(7)×3＝3eq \r(7).15．eq \f(5,tan 20°) 【解析】设楔子沿水平方向前进了x cm，则tan 20°＝eq \f(5,x)，解得x＝eq \f(5,tan 20°)，即楔子沿水平方向前进了eq \f(5,tan 20°) cm.16．2eq \r(7) 【解析】如图，连结AC，BD交于点O.又∵BC＝DC，∠C＝60°. ∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝CD＝8.∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO＝eq \f(1,2)BD＝4，∴∠ACD＝∠ACB＝eq \f(1,2)∠BCD＝30°.又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，∴AE＝EC＝6，过点E作EF⊥AC于点F，∴CF＝CE·cos 30°＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，AF＝AE·cos 30°＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，∴AC＝CF＋AF＝6eq \r(3).∵CO＝BC·cos 30°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)，∴AO＝AC－CO＝6eq \r(3)－4eq \r(3)＝2eq \r(3).∴在Rt△BOA中，AB＝eq \r(BO2＋AO2)＝eq \r(42＋(2\r(3))2)＝2eq \r(7).17．eq \f(3\r(7),7) 【解析】如图，过点G作GM⊥DE于点M.∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴ED＝EC.∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠1.又∵∠DGE＝∠CGD，∴△DGE∽△CGD，∴eq \f(DG,CG)＝eq \f(GE,DG)，∴DG2＝GE·GC.∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴AD⊥DE，∴AD∥GM，∴eq \f(AG,GE)＝eq \f(DM,EM)＝eq \f(7,3)，∠MGE＝∠A.设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，∴EC＝DE＝10n，∴DG2＝GE·GC＝GE·(GE＋EC)＝3k×(3k＋10n)＝9k2＋30kn.在Rt△DGM中，GM2＝DG2－DM2，在Rt△GME中，GM2＝GE2－EM2，∴DG2－DM2＝GE2－EM2，即9k2＋30kn－(7n)2＝(3k)2－(3n)2，解得n＝eq \f(3,4)k，∴EM＝eq \f(9,4)k.∴GM＝eq \r(GE2－EM2)＝eq \r((3k)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)k))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(7),4)k，∴tan A＝tan∠EGM＝eq \f(EM,GM)＝eq \f(\f(9,4)k,\f(3\r(7),4)k)＝eq \f(3\r(7),7).18．eq \f(2\r(3),3) 【解析】如图，在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x轴于点F. ∵点C的坐标为(7，h)，∴OF＝7，CF＝h.在Rt△CEF中，∠CEF＝180°－∠AEC＝60°，CF＝h，∴EF＝eq \f(CF,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)h，CE＝eq \f(CF,sin 60°)＝eq \f(2\r(3),3)h.∵∠BAC＝∠ADB＝120°，∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD.∴∠CAE＝∠ABD.∵AB＝CA，∴△CAE≌△ABD(AAS)．∴AD＝CE＝eq \f(2\r(3),3)h，AE＝BD.∵点A(3，0)，∴OA＝3.∴OD＝OA－AD＝3－eq \f(2\r(3),3)h.在Rt△BOD中，∠BDO＝180°－∠ADB＝60°，∴BD＝eq \f(OD,cos 60°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2\r(3),3)h))＝6－eq \f(4\r(3),3)h.∴AE＝BD＝6－eq \f(4\r(3),3)h.∵OA＋AE＋EF＝OF，∴3＋6－eq \f(4\r(3),3)h＋eq \f(\r(3),3)h＝7，解得h＝eq \f(2\r(3),3).三、19．【解】(1)原式＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(1,2)＋1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),6)＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2\r(3),3).(2)原式＝1＋9＋2－eq \r(3)＋eq \r(3)＝12.20．【解】(1)∵b＝2eq \r(3)，c＝4，∴a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(42－(2\r(3))2)＝2.∵sin A＝eq \f(a,c)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，∴∠A＝30°.∴∠B＝90°－∠A＝60°.(2)∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∵sin B＝sin 30°＝eq \f(b,c)＝eq \f(1,2)，c＝8，∴b＝eq \f(1,2)×8＝4.∴a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(82－42)＝4eq \r(3).21．【解】(1)如图，过点C作CF⊥AB于点F. ∵AC＝eq \r(5)，cos A＝eq \f(\r(5),5)＝eq \f(AF,AC)，∴AF＝1.∴CF＝eq \r(AC2－AF2)＝2.在Rt△BCF中，FB＝eq \r(CB2－CF2)＝eq \r(13－4)＝3，∴AB＝AF＋FB＝1＋3＝4.(2)∵CD＝2BD，BC＝eq \r(13)，∴BD＝eq \f(1,3)CB＝eq \f(\r(13),3).∵FB＝3，CB＝eq \r(13)，∴cos B＝eq \f(EB,DB)＝eq \f(FB,CB)＝eq \f(3,\r(13))＝eq \f(3\r(13),13)，∴BE＝DB·cos B＝eq \f(\r(13),3)×eq \f(3\r(13),13)＝1.∴EF＝2.又∵CF＝2，CF⊥AB，∴tan∠CEA＝tan∠CEF＝eq \f(CF,EF)＝1.22．【解】如图，过点B作BH⊥AE于点H.∵坡度i为1∶0.75，∴设BH＝4x m，则AH＝3x m，∴AB＝eq \r(AH2＋BH2)＝5x m．∵AB＝10 m，∴x＝2，∴AH＝6 m，BH＝8 m.过点B作BF⊥CE于点F，则EF＝BH＝8 m，BF＝EH.设DF＝a m，∵α＝26°35′，∴BF＝eq \f(DF,tan 26°35′)≈eq \f(a,0.5)＝2a m，∴AE≈(6＋2a)m.∵坡度i为1∶0.75，∴CE∶AE＝1∶0.75≈(20＋a＋8)∶(6＋2a)．∴a≈12.∴DF≈12 m，∴DE＝DF＋EF≈12＋8＝20(m)．∴堤坝高为8 m，山高DE约为20 m.23．【解】(1)如图，过点C作CF⊥DE于点F.∵CD＝CE＝5 cm，∠DCE＝40°，∴∠DCF＝eq \f(1,2)∠DCE＝20°，DF＝EF.∴DF＝CD·sin 20°≈5×0.34＝1.7(cm)，∴DE＝2DF≈3.4 cm，∴线段DE的长约为3.4 cm.(2)如图，横截面是一个轴对称图形，延长CF交AD，BE的延长线于点G，连结AB.由题意易得DE∥AB，AG＝BG，∴∠A＝∠GDE，CG⊥AB.∵AD⊥CD，∴∠GDF＋∠FDC＝90°.又∵∠DCF＋∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DCF＝20°.∴∠A＝20°，DG＝eq \f(DF,cos 20°)≈eq \f(1.7,0.94)≈1.81(cm)．∴AG＝AD＋DG≈10＋1.81＝11.81(cm)．∴易得AB＝2AG·cos 20°≈2×11.81×0.94≈22.2(cm)．∴点A，B之间的距离约为22.2 cm.24．【解】(1)30；45 【解析】如图，过点C作CD⊥AB交AB于D.∵∠DBM＝∠A＋∠AMB＝30°＋∠AMB＝60°，∴∠AMB＝30°.∵AB，CM都是正北方向，∴AB∥CM.∴∠DBC＝∠BCM.∵∠DBC＝45°，∴∠BCM＝45°.(2)如图，过点M作ME⊥AB交AB于点E.由(1)可得∠A＝∠BMA＝30°，∴BM＝AB＝20海里，在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴EM＝BM·sin ∠EBM＝20×sin 60°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)(海里)，∴灯塔M到轮船航线AB的距离为10eq \r(3)海里．(3)∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB，CM都是正北方向，∴四边形CDEM是矩形，∴CD＝EM＝10eq \r(3)海里，DE＝CM.在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴BE＝BM·cos ∠EBM＝20×cos 60°＝20×eq \f(1,2)＝10海里．∵在Rt△CDB中，∠DBC＝45°，∴△CDB是等腰直角三角形，∴CD＝BD＝10eq \r(3)海里，∴CM＝DE＝BD－BE＝10eq \r(3)－10＝10(eq \r(3)－1)海里．∴港口C与灯塔M的距离为10(eq \r(3)－1)海里．