新高考数学二轮复习07选填题之解三角形（2份打包，原卷版+解析版）

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解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．
题型一、正、余弦定理基础
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（ ）
A．若，则A＝90°
B．
C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinB
D．若sin2A＝sin2B，则a＝b
【解答】解：A，∵，
∴由正弦定理sinB＝csB，sinC＝csC，
又∵B，C为△ABC的内角，
∴B＝C＝45°，
故A＝90°，A正确；
B，∵由正弦定理可得2R，
∴2R，故B正确；
C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，
若sinA＞sinB，
则2RsinA＞2RsinB，
由正弦定理可得a＞b，即A＞B；
若A＞B，即有a＞b，
即2RsinA＞2RsinB，
即a＞b．
则在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B，故C正确；
D，∵sin2A＝sin2B
∴sin2A﹣sin2B＝cs（A+B）sin（A﹣B）＝0
∴cs（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0
∴A+B或A＝B
∴三角形为直角三角形或等腰三角形．
故D错误．
故选：D．
2．在△ABC中，csC，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）
A．B．2C．4D．8
【解答】解：∵csC，AC＝4，BC＝3，
∴tanC，
∴AB3，可得A＝C，
∴B＝π﹣2C，
则tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C4．
故选：C．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，csA，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA﹣bsinB＝4csinC，csA，
∴，
解得3c2，
∴6．
故选：A．
4．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，，则A＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcsCsinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，
∴sinAcsCsinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，即sinAcsCsinAsinC﹣sinAcsC﹣csAsinC﹣sinC＝0，
∴sinAsinC﹣csAsinC﹣sinC＝0，
∵sinC≠0，
∴sinA＝csA+1，即，
∴tan，
∴，即A．
故选：B．
5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵b＝c，
∴a2＝b2+c2﹣2bccsA＝2b2﹣2b2csA＝2b2（1﹣csA），
∵a2＝2b2（1﹣sinA），
∴1﹣csA＝1﹣sinA，
则sinA＝csA，即tanA＝1，
即A，
故选：C．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c则，则∠C＝ 450 ．
【解答】解：1，
根据正弦定理得：，
∵1，
∴，即csA，
又A为三角形的内角，
∴∠A＝60°，
∵a＝2，c＝2，sinA，
∴由正弦定理得：sinC，
又a＞c，∴A＞C，
∴∠C＝45°．
故答案为：45°
题型二、角平分线问题
1．△ABC中，csA，AB＝4，AC＝2，则∠A的角平分线AD的长为（ ）
A．B．C．2D．1
【解答】解：在△ABC中，因为csA，AB＝4，AC＝2，
则由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•csA
＝16+4﹣1618，解得BC＝3，
所以csB，
根据角平分线的性质可得：
，所以BD，CD，
由余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•csB＝16+8﹣2×44，则AD＝2，
故选：C．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a＝4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD＝3，则S△ABC＝ 12 ．
【解答】解：由A，a＝4，
余弦定理：csA，即bc＝b2+c2﹣112．…①
角A的平分线交边BC于点D，
由ABD和ADC面积和定理可得AD，AD＝3，
即bc＝3（b+c）…②
由①②解得：bc＝48．
那么S△ABCcbsinA＝12．
故答案为：12
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．7
【解答】解：由题意得 acsin120°asin60°csin60°，
即ac＝a+c，
得1，
得4a+c＝（4a+c）（ ）5≥25＝4+5＝9，
当且仅当，即c＝2a时，取等号，
故选：B．
题型三、中位线问题
1．△ABC中，A，B，C的对边分别记a，b，c，若b＝5，c＝6，BC边上的中线AD＝3，则•（ ）
A．15B．﹣15C．D．
【解答】解：如图所示，根据平面向量的加法平行四边形法则可知，|AB|＝|AE|＝6，|BE|＝5，
csA＝cs（π﹣∠ABE），
所以．
故选：D．
2．在锐角△ABC中，D是线段BC的中点，若AD＝2，BD，∠BAD＝30°，则角B＝ 45° ，AC＝ ．
【解答】解：∵在△ABD中，AD＝2，BD，∠BAD＝30°，
∴由正弦定理，可得，解得sinB，
∵B为锐角，
∴B＝45°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°，
又D是线段BC的中点，
∴CD，
∴在△ADC中，由余弦定理可得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cs∠ADC＝4+2﹣2cs75°＝8﹣2，即AC．
故答案为：45°，．
3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是BC的中点，且AD，若S△ABC＝4，b＞c，且csC，则B的值为（ ）
A．60°B．120°C．45°D．90°
【解答】解：∵csC，可得：b＝acsC+csinA，
由正弦定理可得：sinB＝sinAcsC+sinCsinA，
又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+sinCcsA，
∴sinCsinA＝sinCcsA，
∵sinC≠0，
∴sinA＝csA，可得：A＝45°，可得：csC，
∵S△ABCbcsinA＝4，可得：bc＝8，①
∵csC，
∴可得：，可得：b2+c2＝24，②
∴由①②解得：（b＞c，故舍去），或，
∴a2c，
∴A＝C＝45°，可得：B＝180°﹣A﹣B＝90°．
故选：D．
题型四、周长、面积问题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为 ．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB＝4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinBsinC≠0，
所以sinA，
则A
由于b2+c2﹣a2＝8，
则：，
①当A时，，
解得bc，
所以．
②当A时，，
解得bc（不合题意），舍去．
故：．
故答案为：．
2．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b2＝accsB，D为△ABC所在平面上一点，且CA⊥CD，CA＝CD，BC＝BD，AD＝2，则△ABD的面积为 1 ．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：
由b2＝accsB以及余弦定理得b2＝ac•，
得a2+c2＝3b2，
又根据题意得AD＝2，AC＝CD，∴a2+c2＝6，
∵BC＝BD，∴B的横坐标为，设B（，t），
又A（0，），C（0，0），
∴a2+c2＝BC2+AB2t2（t）2＝2t2﹣2t+3，
∴6＝2t2﹣2t+3，即t2t﹣3＝0，
解得t或t，
∴B（，）或B（，），
由于这两个点到直线AD：x+y0的距离都等于1，
∴△ABD的面积为1，
故答案为：1
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足面积为，sinC﹣csB＝cs（A﹣C），a，则△ABC的周长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵sinC﹣csB＝cs（A﹣C），
∴sinC+cs（A+C）＝cs（A﹣C），
∴sinC+csAcsC﹣sinAsinC＝csAcsC+sinAsinC，
∴sinC＝2sinAsinC
∵sinC≠0，
∴sinA，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A＝60°，
∵SbcsinA，
∴bc＝6，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（b+c）2﹣3bc，
∴（b+c）2＝7+18＝25，
∴b+c＝5，
∴△ABC的周长为5，
故选：D．
题型五、最值问题
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣b）•sinA＝csinC﹣bsinB，若△ABC的面积为3，则△ABC的周长的最小值为（ ）
A．4B．3C．6D．3
【解答】解：∵（a﹣b）•sinA＝csinC﹣bsinB，
∴由正弦定理可得（a﹣b）a＝c2﹣b2，可得a2+b2﹣c2＝ab，
∴由余弦定理可得csC，可得sinC，
∵△ABC的面积为3absinCab，解得ab＝12，
∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab＝12，即c≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
∴△ABC的周长为a+b+c≥6，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
即△ABC的周长的最小值为6．
故选：C．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝4，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．4B．2C．2D．
【解答】解：∵在△ABC中，
∴（2a﹣c）csB＝bcsC，
∴（2sinA﹣sinC）csB＝sinBcsC，
∴2sinAcsB＝sinCcsB+sinBcsC＝sin（B+C）＝sinA，
约掉sinA可得csB，即B，
由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accsB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
∴△ABC的面积SacsinBac≤4
故选：A．
3．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈（4，6），sin2A＝sinC，则c的取值范围为 （4，2）． ．
【解答】解：由正弦定理得，，
故c＝8csA，
因为16＝b2+c2﹣2bccsA，
所以16﹣b2＝64cs2A﹣16bcs2A，
因为b≠4，
所以cs2A，
所以c2＝64cs2A＝644（4+b）∈（32，40），
故．
故答案为：（4，2）．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcsC＝0，则当csB取最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知，利用正弦定理，余弦定理可得：b+2a•0，
可得：a2+2b2﹣c2＝0，
可得：b2，
可得：csB•，
当，即时csB取最小值．
故选：C．
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acsB﹣bcsAc，则tan（A﹣B）的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵acsB﹣bcsAc，
∴结合正弦定理，得sinAcsB﹣sinBcsAsinC，
∵C＝π﹣（A+B），得sinC＝sin（A+B），
∴sinAcsB﹣sinBcsA（sinAcsB+csAsinB），
整理，得sinAcsB＝4sinBcsA，同除以csAcsB，得tanA＝4tanB，
由此可得tan（A﹣B），
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
∵4tanB≥2 4，
∴tan（A﹣B），当且仅当4tanB，即tanB时，tan（A﹣B）的最大值为．
故选：D．
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为 ．
【解答】解：由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2rsinC＝2sinC，b＝2rsinB＝2sinB，
∵tanA，tanB，
∴，
∴sinAcsB＝csA（2sinC﹣sinB）＝2sinCcsA﹣sinBcsA，
即sinAcsB+csAsinB＝sin（A+B）＝sinC＝2sinCcsA，
∵sinC≠0，∴csA，即A，
∴csA，
∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2rsinA）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3，
∴bc≤3（当且仅当b＝c时，取等号），
∴△ABC面积为SbcsinA3，
则△ABC面积的最大值为：．
故答案为：．
题型六、取值范围问题
1．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2﹣b2+ac＝0，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵由题意可得：b2＝a2+c2﹣2accsB＝a2+ac，
∴a＝c﹣2acsB，由正弦定理得：sinA＝sinC﹣2sinAcsB＝sin（A+B）﹣2sinAcsB，化简得sinA＝sin（B﹣A），
又△ABC为锐角三角形，∴B＝2A，
又0＜B＝2A，0＜C＝π﹣3A，
∴A，则csA∈（，），2csA∈（，），
∴∈（，），
∵∈（，）．
故选：D．
2．设锐角△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（acsB+bcsA）＝2csinC，b＝1，则c的取值范围为 （，） ．
【解答】解：∵，
∴由正弦定理可得：（sinAcsB+sinBcsA）＝2sin2C，
∴sin（A+B）sinC＝2sin2C，
∵sinC≠0，
∴解得：sinC，
∴由C为锐角，可得C，
又在锐角△ABC中，有，可得：，可得，
∴sinB∈（，1），
∵b＝1，
∴由正弦定理可得：c∈（，）．
故答案为：（，）．
3．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，若a，则b2+c2的取值范围是 （5，6] ．
【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2＝bc．
由余弦定理可得：csA，
∴A为锐角，可得A，
∵a，
∴由正弦定理可得：2，
∴可得：b2+c2＝（2sinB）2+[2sin（B）]2＝3+2sin2Bsin2B＝4+2sin（2B），
∵B∈（，），可得：2B∈（，），
∴sin（2B）∈（，1]，可得：b2+c2＝4+2sin（2B）∈（5，6]．
故答案为：（5，6]．
4．已知△ABC的三个内角；A，B，C所对边分别为；a，b，c，若b2+c2＜a2，且cs2A﹣3sinA+1＝0，则sin（C﹣A）cs（2A﹣B）的取值范围为（ ）
A．（，）B．（，]C．[0，]D．（，）
【解答】解：因为cs2A﹣3sinA+1＝0，
所以1﹣2sin2A﹣3sinA+1＝0，
所以sinA或﹣2（舍），
又因为csA＜0，
所以Aπ，
所以sin（C﹣A）cs（2A﹣B）＝sin（C）cs[2×﹣（πC）]
＝sin（C）sinCcsC，
又因为C∈（0，），
所以csC∈（，1），
所以csC∈（，）
故选：A．
5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则的取值范围为 （1，） ．
【解答】解：∵b2﹣a2＝ac，
∴b2＝a2+c2﹣2accsB＝a2+ac，
∴c＝2acsB+a，
∴sinC＝2sinAcsB+sinA，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
∴sinA＝csAsinB﹣sinAcsB＝sin（B﹣A），
∵三角形ABC为锐角三角形，
∴A＝B﹣A，
∴B＝2A，
∴C＝π﹣3A，
∴
∴A∈（，），B∈（，）
∴，
∵B∈（，）
∴sinB∈（，1），
∴∈，），
∴的范围为（1，），
故答案为：（1，）
6．已知△ABC的周长为6，且cs2B+2sinAsinC＝1，则的取值范围是 [2，） ．
【解答】解：由cs2B+2sinAsinC＝1，得2sinAsinC＝1﹣cs2B＝2sin2B，
利用正弦定理可得b2＝ac，
又a+b+c＝6，
∴b，从而0＜b≤2．
再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，
∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，
又b＞0，解得b，
∴b≤2，
∵csB，
∴ac•csB（b+3）2+27．
则2．
∴的取值范围是[2，）．
故答案为：[2，）．
题型七、解三角形实际问题
1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°
【解答】解：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，
∴∠DBA＝40°﹣30°＝10°，
∴灯塔A在灯塔B的南偏西80°．
故选：D．
2．如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了100米到山腰B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h＝ 25 ．
【解答】解：△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝（90°﹣30°）﹣（90°﹣75°）＝45°，
∴，∴PB50（），
∴山高h＝PQ＝PC+CQ＝PB•sin75°+AB•sin15°100．
故答案为：25．
27．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为 m．

【答案】
【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.
【详解】因为，，所以，，所以，
又因为，所以，，

在中，由正弦定理得 ，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得．
故答案为：.
一、单选题
1．在中，，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为，由正弦定理可得，所以A正确；
由，
，
由，可得，所以B正确；
由，
又由B可知，所以C正确；
由，所以D错误.
故选：D．
2．在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由正弦定理得，所以,
因为该三角形有两解，故,
故，即，
故选：B
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】在中，由及正弦定理得，
即有，而，于是或，即或，
命题“若，则为等腰三角形”是假命题；
当为等腰三角形时，不一定是，命题“若为等腰三角形，则”是假命题，
所以“”是“为等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD约（ ）（，）

A．18米B．19米C．20米D．21米
【答案】B
【分析】在中用表示，中用表示，建立的方程求解即得.
【详解】在中，，则，在中，，，
由，得，，所以岳阳楼的高度约为19米.
故选：B.
5．如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，，
由余弦定理得，，
得到，又，所以为直角三角形，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，又分别为中点，
所以，故，
所以，
故选：D.
6．在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，且，
所以，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：A
7．在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图所示，在中，由，得．
又，即，
所以，
化简得．①
在中，由余弦定理得，，②
由①②式，解得．由，得，
将其代入②式，得，解得，
故的面积．
故选：D
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的面积（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】方法1：因为，所以，
又，所以，
由于，解得，则，
由可得均为锐角，所以，则，
所以，即，所以.
方法2：因为，所以，又，故均为锐角，
所以，即，
因为，故，且,
所以，
则，故，.
故选：A
9．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
由正弦定理可得，
整理可得，
所以，
为三角形内角，，
∴，∵，，则，故B错误；
∵，，
，解得，
由余弦定理得，
解得或（舍去），故C正确，D错误.
又，所以，则三角形为等边三角形，
所以，则，故A错误.
故选：C.
10．在中，，，分别为，，的对边，且，，的面积为，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，
可得，
又，
且，
得，
所以，
则.
故选：B
11．中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】B
【详解】由题意可知：，
因为，即，
整理得，
则．
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：B.
12．如果内接于半径为的圆，且，则角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
，，
，，，
所以.
故选:B．
13．在中，内角、、对应边分别为、、，已知，且角的平分线交于点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，，
由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，可得，
因为角的平分线交于点，，
由，即，
所以，，所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
14．在三角形ABC中，角A，B，C的对边为.且，则最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在中，由正弦定理及，得，即，而，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：A
15．下列命题正确的是（ ）
①在中，“”是“”的既不充分也不必要条件．
②在中，．
③在中，角，，所对的边分别为，，，当时，为锐角三角形．
④在中，．
⑤在三角形中，已知两边和一角，则该三角形唯一确定．
A．①②③B．①②④C．③④⑤D．①④⑤
【答案】B
【详解】①，即，
若，则有，此时，
若，可能,此时，即，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确；
②若，由、，在上单调递减，故，
若，则有，即，
与在中矛盾，故有，
由，故，即，
若，由，则有，
即有或，
若，此时，即,
与在中矛盾，故，即有，
由在上单调递减，故，
即，即，故正确.
③由，则，
即为锐角，但或可能为钝角，故错误；
④在中，
，
故，由，
则，
故，故正确；
⑤已知两边和一角，例如，、，
此时，有，
故有两解，即该三角形并不唯一确定，故错误.
故选：B.
16．记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则周长范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
在中，由射影定理得，
则题目条件可化简为：.
由余弦定理得：，
则.
因为，所以.
因为
所以在中，由正弦定理得，
则周长，
因为
，
所以.
因为为锐角三角形，，
则，解得
所以.
所以
所以.
故选：A
二、多选题
17．下列命题中正确的是（ ）
A．在中，若，则是等腰三角形
B．在中，是的充要条件
C．函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象
D．在中，若，则的面积为或
【答案】BCD
【详解】A选项中，因为，所以或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以A错误；
B选项中，由，得，
则由正弦定理得，，反之亦成立，所以B正确；
C选项中，由函数的图象向左平移个单位，
得，所以C正确；
D选项中，由正弦定理得，，即，得，
则或，所以或，
所以的面积为或，
所以D正确．
故选：BCD．
18．在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．满足条件的不可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．当时，的内切圆的半径为
D．若为锐角三角形，则
【答案】BC
【详解】，则，
对选项A：取，则，，故，是直角三角形，错误；
对选项B：设，则，，，
，当时，最大为，正确；
对选项C：时，，， ，
，故，设内切圆的半径为，
则，解得，正确；
对选项D：为锐角三角形，则，即，解得，
且，即，解得，故，错误；
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，从而得解.
19．如图，已知的内接四边形中，，下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积为
B．该外接圆的半径为
C．
D．过作交于点，则
【答案】ABC
【详解】对于A，连接AC，
在中，，，
由于，所以，故，解得，
所以，，所以，
故，
，
故四边形ABCD的面积为，A正确；
对于B，设外接圆半径为R，则，
故该外接圆的直径为，半径为，B正确；
对于C，连接BD，过点O作于点G，过点B作于点E，
则由垂径定理得：，由于，所以，
即，解得，所以，所以，
且，所以，即在向量上的投影长为1，
且与反向，故，C正确；
对于D，由C选项可知：，故，且，
因为，由对称性可知：DO为的平分线，故，
由A选项可知：，显然为锐角，
故，，
所以，
所以，D错误.
故选：ABC
20．在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．的面积为2B．外接圆的半径为
C．D．
【答案】ABD
【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理，
得，解得，B正确；
的面积，A正确；
由，得，C错误；
由，得，即，
由，得，因此，
所以，D正确．
故选：ABD
三、填空题
21．如图，在平面凸四边形中，，，，，为钝角，则对角线的最大值为 .
【答案】/
【详解】方法一：设，
，
，，
，
中，
，当且仅当时等号成立，.
方法二：设，，由，
则，
，
，当且仅当时等号成立，
.
故答案为：.
22．在中，D为BC边上一点，满足，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
由题意得，，
所以，所以，即，所以，
在中，由余弦定理得，
则，所以，或（舍去），
所以面积．
.
故答案为：．
23．在中，内角的对边分别为，已知 ，且的面积为，则边的值为 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
即，
由正弦定理角化边得，
所以，
由正弦定理，
所以即，化简得，
又的面积为
解得．
故答案为：.
24．在中，角，，所对的边分别为，，.，的平分线交于点，且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，
所以，所以，可得．
所以，
（当且仅当，即，时取等号）．
故答案为：．
25．在中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，且.已知， S 为的面积，则的最大值是 .
【答案】3
【详解】因为，所以，
因为，所以，
设外接圆的半径为，则，
则，，
所以
，
因为，所以当，即时，取得最大值.
故答案为：.
26．若锐角的内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，
所以，
即，由正弦定理得 ，
显然，所以，所以，
因为，所以.
因为外接圆的半径为，所以，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以，所以，即.
令，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，所以，即，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.