





新高考数学二轮复习专题2-6 导数大题证明不等式归类(2份打包,原卷版+解析版)
展开TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4934" 题型01 不等式证明方法 PAGEREF _Tc4934 \h 1
\l "_Tc13723" 题型02 单变量构造:利用第一问结论 PAGEREF _Tc13723 \h 2
\l "_Tc32511" 题型03 单变量构造:数列型 PAGEREF _Tc32511 \h 3
\l "_Tc32667" 题型04 数列不等式:无限和裂项型 PAGEREF _Tc32667 \h 4
\l "_Tc23969" 题型05 数列不等式:累积相消型 PAGEREF _Tc23969 \h 5
\l "_Tc373" 题型06 数列不等式:取对数型 PAGEREF _Tc373 \h 6
\l "_Tc1014" 题型07 虚设根型证不等式 PAGEREF _Tc1014 \h 6
\l "_Tc31593" 题型08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式 PAGEREF _Tc31593 \h 7
\l "_Tc32089" 题型09 同构型不等式证明 PAGEREF _Tc32089 \h 8
\l "_Tc20255" 题型10 双变量型构造 PAGEREF _Tc20255 \h 9
\l "_Tc25024" 题型11 极值点偏移型:和型证明 PAGEREF _Tc25024 \h 10
\l "_Tc9714" 题型12 极值点偏移型:积型证明 PAGEREF _Tc9714 \h 11
\l "_Tc26962" 题型13 极值点偏移型:平方型证明 PAGEREF _Tc26962 \h 12
\l "_Tc8895" 题型14 三角函数型不等式证明 PAGEREF _Tc8895 \h 12
\l "_Tc4479" 题型15 韦达定理代换型 PAGEREF _Tc4479 \h 13
\l "_Tc17176" 题型16 切线放缩型证明 PAGEREF _Tc17176 \h 14
\l "_Tc2029" 高考练场 PAGEREF _Tc2029 \h 14
题型01 不等式证明方法
【解题攻略】
【典例1-1】(陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学(理)试题)设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅰ)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(Ⅱ)求证:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求a,b的值;
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(湖北省华中师范大学潜江附属中学2021-2022学年高三4月数学试题)已知函数f(x)=ax3﹣3lnx.
(1)若a=1,证明:f(x)≥1;
(2)讨论f(x)的单调性.
【变式1-3】(2022·云南昆明·统考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程;
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
题型02 单变量构造:利用第一问结论
【解题攻略】
【典例1-1】(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值;
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(2021下·北京丰台·高三统考)已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值2.
(Ⅰ)求 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的值;
(Ⅱ)证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数,曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的倾斜角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2022下·山东聊城·高三练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性并求极值;
(2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-3】(20122安徽马鞍山·统考模拟)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在定义域内无极值点,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)求证:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 恒成立.
题型03 单变量构造:数列型
【解题攻略】
【典例1-1】(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明: SKIPIF 1 < 0 ;
(2)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性,并证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】2012·河北衡水·统考一模)设函数 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得极值,求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(3)证明对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ,不等式 SKIPIF 1 < 0 都成立.
【变式1-1】2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)设函数 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是实数,曲线 SKIPIF 1 < 0 恒与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于坐标原点.
SKIPIF 1 < 0 求常数 SKIPIF 1 < 0 的值;
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时,关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
SKIPIF 1 < 0 求证: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2023上·河南南阳·高三统考期中)(1)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性并证明;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为大于1的整数,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-3】(2017下·黑龙江大庆·高三大庆中学校已知函数 SKIPIF 1 < 0 ;
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数,求正实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最值;
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时,对大于1的任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ,试比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系.
题型04 数列不等式:无限和裂项型
【解题攻略】
【典例1-1】(2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值;
(2)求证: SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ).
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(3)对任意 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2023上·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)求证: SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数)
【变式1-3】(2023上·陕西·高三校联考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减,求a的取值范围;
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 ;
(3)证明: SKIPIF 1 < 0 .
题型05 数列不等式:累积相消型
【解题攻略】
【典例1-1】(2022贵州铜仁·高三贵州省铜仁第一中学阶段练习)已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R).
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)求证: SKIPIF 1 < 0 ×…× SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0 (n≥2,n∈N*)
【典例1-2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)求证: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)设整数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证: SKIPIF 1 < 0 ;
(2)求证: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)求证: SKIPIF 1 < 0 .
题型06 数列不等式:取对数型
【解题攻略】
【典例1-1】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
(2)已知e为自然对数的底数,求证: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程;
(2)若任意 SKIPIF 1 < 0 ,不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程;
(2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
(3)设 SKIPIF 1 < 0 为整数,若对于 SKIPIF 1 < 0 成立,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)已知关于 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
【变式1-3】(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 单调递增,求a的值;
(2)判断 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )与 SKIPIF 1 < 0 的大小,并说明理由.
题型07 虚设根型证不等式
【解题攻略】
【典例1-1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明:对任意的 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(20122·浙江·模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明:对任意的 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2023上·福建福州·高三校联考)设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)求证:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极大值点,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-3】(2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 , 求证: SKIPIF 1 < 0 ,其中e是自然对数的底数.
题型08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式
【解题攻略】
【典例1-1】(2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 恒成立,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2021上·全国·高三校联考阶段练习)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅰ)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(Ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
(1)对 SKIPIF 1 < 0 ,不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)证明:对一切 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-3】已知函数f(x)=ax2﹣xlnx.
(I)若f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(Ⅱ)若a=e(e为自然对数的底数),证明:当x>0时,f(x)<xex+.
题型09 同构型不等式证明
【解题攻略】
【典例1-1】(2023·全国·高三专题练习)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,求证: SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数.
(1)试判断函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数并说明理由;
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2023·四川遂宁·统考模拟预测)设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
(1)试讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
【变式1-2】已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,求证: SKIPIF 1 < 0 .
题型10 双变量型构造
【典例1-1】(2022贵州黔东南·统考一模)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)试讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(2023上·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)已知m,n是正整数,且 SKIPIF 1 < 0 ,证明 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2022·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,试证明 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2021·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证:函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,求证 SKIPIF 1 < 0 .
题型11 极值点偏移型:和型证明
【解题攻略】
【典例1-1】(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求实数a的取值范围;
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(2023·山西·校考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的正实根 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2023·江西·统考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的零点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求a的取值范围;
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
题型12 极值点偏移型:积型证明
【解题攻略】
【典例1-1】(2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 有唯一极值,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值;
(3)若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2023上·重庆渝中·高三统考)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数.
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同实根 SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围并证明 SKIPIF 1 < 0 .
题型13 极值点偏移型:平方型证明
【典例1-1】(2023下·辽宁·高三统考)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 (e是自然对数的底数),且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性:
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两不等实根,求证: SKIPIF 1 < 0 ;
【变式1-1】(2023·山西·校联考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有2个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),求证: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】(2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)证明:若存在 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
题型14 三角函数型不等式证明
【解题攻略】
【典例1-1】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明: SKIPIF 1 < 0 ;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明不等式 SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
【典例1-2】(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线l,求l的方程;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,对于任意 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】(2022·新疆·统考三模)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ,求实数a的值;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时,求证: SKIPIF 1 < 0
【变式1-2】设函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值,并证明: SKIPIF 1 < 0 ;
(2)若不等式: SKIPIF 1 < 0 成立,求实数a的取值范围.
题型15 韦达定理代换型
【解题攻略】
【典例1-1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】已知函数f(x)=ln x+ax2-x.
(1)若a=-1,求函数f(x)的极值;
(2)设f′(x)为f(x)的导函数,若x1,x2是函数f′(x)的两个不相等的零点,求证:f(x1)+f(x2)
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与坐标轴围成三角形的面积.
(2) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数,若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,( SKIPIF 1 < 0 ).
(1)若 SKIPIF 1 < 0 存在两个极值点,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点,证明: SKIPIF 1 < 0 .
题型16 切线放缩型证明
【解题攻略】
【典例1-1】(2023·青岛模拟改编)已知x1ln x1=x2ln x2=a,且x1
求证:|a-b|
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时,证明:曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象恒在切线 SKIPIF 1 < 0 的上方;
(3)证明:不等式: SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】已知函数f(x)=4ex-1+ax2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1.
(1)求实数a,b的值;
(2)x>0且x≠1时,证明:曲线y=f(x)的图象恒在切线y=bx+1的上方;
(3)证明不等式:4xex-1-x3-3x-2ln x≥0.
【变式1-2】(2013·新课标II卷)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ①
(1)设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点,求m并讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明: SKIPIF 1 < 0
高考练场
1.2021·福建莆田·统考二模)设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在零点,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
2.2024·河南·模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)证明:当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
3.(2023上·湖北·高三校联考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程,
(2)证明: SKIPIF 1 < 0 .
4.(2023·全国·高三专题练习)设函数 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数.
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,结合(1)的结论,你能得到怎样的不等式?
(3)利用(2)中的不等式证明: SKIPIF 1 < 0 .
5.(2022·全国·高三专题练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内是单调增函数,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)求证: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
6.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明: SKIPIF 1 < 0 恒成立;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明: SKIPIF 1 < 0 .
7.(2020·四川绵阳·统考模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程;
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的零点,若 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
8.(天津市红桥区2021-2022学年高三数学试题)已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(2)对一切 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对一切 SKIPIF 1 < 0 ,都有 SKIPIF 1 < 0 成立.
9.(辽宁省五校(辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连24中)2021-2022学年高三考试数学试题)材料:在现行的数学分析教材中,对“初等函数”给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且能用一个式子表示的.如函数 SKIPIF 1 < 0 ,我们可以作变形: SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 可看作是由函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 复合而成的,即 SKIPIF 1 < 0 为初等函数,根据以上材料:
(1)直接写出初等函数 SKIPIF 1 < 0 极值点
(2)对于初等函数 SKIPIF 1 < 0 ,有且仅有两个不相等实数 SKIPIF 1 < 0 满足: SKIPIF 1 < 0 .
(i)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
(ii)求证: SKIPIF 1 < 0 (注:题中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数,即 SKIPIF 1 < 0 )
10.(2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,a为实数.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求函数在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程;
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
(3)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值, SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
11.(2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习)设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时,求 SKIPIF 1 < 0 的极值;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 恒成立,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时,若 SKIPIF 1 < 0 ,求证: SKIPIF 1 < 0 .
12.(2023·北京通州·统考三模)已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)已知f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,求实数a的值;
(2)已知f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求实数a的取值范围并证明 SKIPIF 1 < 0 .
13.(2021·福建·高三统考阶段练习)已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
14.(广西桂林市国龙外国语学校2021-2022学年高三考试数学试题)已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的零点,求证: SKIPIF 1 < 0 .
15.(山西省山西大学附属中学2021届高三下学期三月模块诊断理科数学试题)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 .
利用导数证明不等式问题,基本思维方法如下:
(1)直接构造函数法:证明不等式 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )转化为证明 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ),进而构造辅助函数 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;
(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形;
(2)构造新的函数 SKIPIF 1 < 0 ;
(3)利用导数研究 SKIPIF 1 < 0 的单调性或最值;
(4)根据单调性及最值,得到所证不等式.
特别地:当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时,一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.
一些试题,可以通过对第一问分类讨论,得出一些不等式放缩式子或者放缩方向
1.可以利用第一问单调性提炼出不等式
2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式
3.可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)
数列型不等式证明
对于n SKIPIF 1 < 0 型数列不等式证明,可以转化为定义域为X SKIPIF 1 < 0 1,在实数范围内证明不等式。
一些特殊形式的数列不等式,可以通过选择合适的换元,构造新函数,注意因为n的正整数属性,注意对应换元的取值范围
数列型不等式的证明,一般需要联系前面第一问的结论,对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明
证明不等式 SKIPIF 1 < 0 ,该不等式左边是求和式,右边只有单独的一项,但可以通过变形将右边也转化为求和式,即
SKIPIF 1 < 0
这样一来,设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
则只需证 SKIPIF 1 < 0 ,而要证明这个式子,可以证明左右两侧对应项的大小关系,即如果能够证出 SKIPIF 1 < 0 恒成立,则原不等式也就成立.
累加列项相消证明法
证明不等式 SKIPIF 1 < 0 为例,该不等式左边是求积式,右边只有单独的一项,但可以通过变形将右边也转化为求和式,如转化为 累积相消型
SKIPIF 1 < 0
这样一来,设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
则只需证 SKIPIF 1 < 0 ,而要证明这个式子,可以证明左右两侧对应项的大小关系,即如果能够证出 SKIPIF 1 < 0 恒成立,则原不等式也就成立.
取对数型
证明不等式 SKIPIF 1 < 0 为例,该不等式左边是求积式,右边只有单独的一项常数,但可以通过取对数,把左边的积转化为对数和型,如转化为 累加或者累积相消型
SKIPIF 1 < 0
虚设零点法:
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时,可以将这个零点只设出来而不必求出来,然后寻找一种整体的转换和过度,再结合其他条件,进行代换变形,从而最重获得问题的解决
凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧,欲证明 SKIPIF 1 < 0 ,若可将不等式左端 SKIPIF 1 < 0 拆成 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 的话,就可证明原不等式成立. 通常情况,我们一般选取 SKIPIF 1 < 0 为上凸型函数, SKIPIF 1 < 0 为下凹型函数来完成证明.
常见同构技巧:
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
极值点偏移多有零点这个条件。零点型,注意数形结合思想的应用:
零点是否是特殊值,或者在某个确定的区间之内。
零点是否可以通过构造零点方程,进行迭代或者转化。
将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理
处理极值点偏移问题中的类似于 SKIPIF 1 < 0 的问题的基本步骤如下:
①求导确定 SKIPIF 1 < 0 的单调性,得到 SKIPIF 1 < 0 的范围;
②构造函数 SKIPIF 1 < 0 ,求导可得 SKIPIF 1 < 0 恒正或恒负;
③得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系后,将 SKIPIF 1 < 0 置换为 SKIPIF 1 < 0 ;
④根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的范围,结合 SKIPIF 1 < 0 的单调性,可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系,由此证得结论.
利用导数证明三角函数型不等式
正余弦的有界性
三角函数与函数的重要放缩公式: SKIPIF 1 < 0 .
利用韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1,x2有关。
2.利用韦达定理代换:可以消去参数
常用的切线放缩有:
(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 ;(4) SKIPIF 1 < 0 .
高考数学二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)专题3-7导数压轴大题归类:不等式证明归类(2)(原卷版+解析): 这是一份高考数学二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)专题3-7导数压轴大题归类:不等式证明归类(2)(原卷版+解析),共67页。试卷主要包含了热点题型归纳1,最新模考题组练10等内容,欢迎下载使用。
2024年新高考数学题型全归纳讲义第七讲导数大题证明不等式归类(原卷版+解析): 这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第七讲导数大题证明不等式归类(原卷版+解析),共103页。
2024年新高考数学二轮专题复习 导数大题证明不等式归类(原卷版+解析版): 这是一份2024年新高考数学二轮专题复习 导数大题证明不等式归类(原卷版+解析版),共112页。