2023-2024学年云南省玉溪市峨山彝族自治县九年级上学期数学期末试题及答案

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2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 我国航天事业取得了跨越式发展，下列航天图标属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
．
2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握左加右减，上加下减，计算即可．
【详解】根据题意，得，
故选：A．
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了配方法解方程，正确理解配方基本要领是解题的关键．
详解】根据配方，得，
故选D．
4. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
5. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A. 110°B. 80°C. 40°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】先利用三角形内角和计算出，再利用旋转的性质得到，然后计算即可．
【详解】解：，，
，
绕着点顺时针旋转后得到△，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率是1
B. “相等的圆心角所对的弧相等”是必然事件
C. “某彩票中奖概率是”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了随机事件的定义以及确定事件的定义．直接利用随机事件的定义以及确定事件的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率是0，故本选项错误，不符合题意；
B、“相等的圆心角所对的弧相等”是随机事件，故本选项错误，不符合题意；
C、“某彩票中奖概率是”，表示买100张这种彩票可能会有1张中奖，故本选项错误，不符合题意；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，故本选项正确，符合题意；
故选：D
7. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
故选：C．
8. 如图，已知D，分别是中，边上的点，且，的周长为4，则的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题运用了相似三角形的判定方法，及三角形相似的性质，由题可知，根据，可推得相似比，从而得到周长比，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
∴与的相似比是，
∴周长的比是，
∵的周长为4，
∴的周长为12.
故选：C.
9. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A. 图象位于第一，第三象限B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交D. 随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．
【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；
B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；
D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．
10. 在中，，，，则的长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的变形计算，根据，求得，再利用勾股定理计算即可．
【详解】∵，，，
∴，
解得，
∴，
故选A．
11. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为(cm)，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
【详解】∵半径，圆心角的扇形纸板，
∴扇形的弧长为(cm)，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴，
解得，
故圆锥的高为：，
故选B．
12. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：④⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13. 请填写一个常数，使得关于x的方程________=0有两个不相等的实数根．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案．
【详解】解：，，设常数为，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
14. 若点与点关于原点对称，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了原点对称，根据纵坐标，横坐标都变成相反数，计算即可．
【详解】点与点关于原点对称，
，
故答案：．
15. 如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点． 若矩形的面积为4，则该反比例函数的解析式为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，根据几何意义，矩形的面积等于，结合图像的分布计算即可．
【详解】根据题意，得，
∵，
故，
故函数的解析式为，
故答案为：．
16. 的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点线段上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，
同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，熟练掌握了解一元二次方程的方法，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．
（1）利用解一元二次方程，配方法，进行计算，得到答案．
（2）将特殊角的三角函数值代入进行计算，得到答案．
【详解】解：根据题意得：
（1），
，
，
，
，；
（2）
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出，并作出关于原点对称的；
（2）作出绕点顺时针旋转得到的，并求出点旋转到点经过的路径长．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转作图，原点对称作图，弧长公式，正确理解旋转的性质，原点对称性质是解题的关键．
(1) 根据原点对称，横坐标、纵坐标都变成原坐标的相反数，确定位置，作图即可．
(2) 根据旋转的全等性作图即可．并根据公式计算弧长．
【小问1详解】
根据题意，得，，，
故，，，作图如下：
则，即为所求．
【小问2详解】
根据旋转的全等性作图如下：
则即为所求．
根据题意，得，
故的长度为，
即点A旋转到点经过的路径长为.
19. 青春一代更加积极向上，从“为中华之崛起而读书”，到“为中华民族伟大复兴而读书”，时代各有不同，青春一脉相承． 中华民族始终有着“自古英雄出少年”的传统，始终有着“长江后浪推前浪”的情怀，始终有着“少年强则国强，少年进步则国进步”的信念，始终有着“希望寄托在你们身上”的期待． 千百年来，青春的力量，青春的涌动，青春的创造，始终是推动中华民族勇毅前行、屹立于世界民族之林的磅礴力量！某班甲、乙两名同学被推荐为学校14岁集体生日活动做励志演讲，两人计划用游戏的方式在《努力的我们最美丽》与《青春的呐喊》中确定一个题目作为本次演讲的题目． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3的三张卡片（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1张卡片，记卡片上的标号为，并将卡片放回口袋中，充分摇匀后，乙从口袋中任意摸出1张卡片，记卡片上的标号为． 若甲、乙取出的卡片标号相同，则演讲的题目为《青春的呐喊》；否则，演讲的题目为《努力的我们最美丽》．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果总数；
（2）求演讲的题目为《努力的我们最美丽》的概率．
【答案】（1）9种等可能性，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图是解题关键．
(1)选择画树状图法解答即可．
(2)根据画图，解答即可．
【小问1详解】
画树状图如下：
有9种等可能性，具体为，，．
【小问2详解】
根据题意，一共有9种等可能性，卡号不同的等可能性有6种，
故演讲的题目为《努力的我们最美丽》的概率．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当时，的解集．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为；
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式：
（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式中，利用待定系数法求出m的值，从而可确定反比例函数的解析式；由于点B在反比例函数图象上，将点B的坐标代入反比例函数解析式中，求出n的值，确定B的坐标，再利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）找出直线在一次函数图象在反比例函数上方的图象对应的x的范围即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴反比例函数的解析式为；
把代入中，得：，
∴点，
把，代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
观察图象得：当或时，
∴当时，解集为或．
21. 在中，是斜边上的高．

（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
【小问2详解】
∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 玉溪新平县哀牢山出产的“褚橙”以含大量维生素C、营养价值高、高糖低酸、味甜清香而著称． 某水果商以每千克30元的价格批发了一批“褚橙”，再按每千克40元的价格到市区销售，平均每天可售出60千克，经调查发现：如果每千克该“褚橙”的售价每降低1元，那么该水果商平均每天的销售量会增加10千克，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售，设该“褚橙”每千克的价格降低元．
（1）降价后，该水果商每天的销售量为 千克；（用含的代数式表示）
（2）若该水果商销售该“褚橙”每天盈利630元，每千克“褚橙”的售价应降至多少元？
（3）若满足，求该水果商每天销售该“褚橙”的最低利润．
【答案】（1）
（2）应将价格降到37元每千克销售
（3）元
【解析】
【分析】（1）根据题意，得销售数量千克．
（2）设应降价x元，则千克盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值即可求得．
（3）设降价x元，则千克盈利元，每天可售出千克，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，得销售数量千克，
故答案为：．
【小问2详解】
设应降价x元，则千克盈利元，每天可售出千克，根据题意，得，
整理得，
解得，
由于为了尽快减少库存，
故降价幅度要大，
故，
故应将价格降到(元),
答：应将价格降到37元每千克销售．
【小问3详解】
设降价x元，则千克盈利元，每天可售出千克，每天的总利润为w元，
根据题意，得
，
∵
∴当时，利润最大，当时，利润最小，且为(元),
答：每天的最小利润为480元．
23. 如图，为外接圆的直径，点是外一点，，延长交延长线于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明．
（2）根据切线性质，计算，得到等边三角形，根据特殊角的三角函数值，求得．根据计算即可；本题考查了切线的证明，三角函数，圆周角定理，熟练掌握切线的证明，三角函数，圆周角定理是解题的关键．
【小问1详解】
连接，
∵，
∴．
∵为外接圆的直径，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
【小问2详解】
连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
解得，
∵，
∴
．
24. 已知抛物线交轴于、，交轴于，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求，的值；
（2）①若为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点的坐标；
②若点在该抛物线上，且，，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②2024
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用题意和分式有意义的条件求得m值，再利用二次函数的解析式解答即可；②利用已知条件求得m，n的值，再代入运算即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线交轴于、，
∴，解得：，
【小问2详解】
解：①由（1）得：抛物线解析式为，
∵点是第四象限内抛物线上的一个动点．
∴，
∵为整数，且的值也为整数，
∴，
当时，，
∴满足条件的点的坐标为；
②∵点在该抛物线上，点是第四象限内抛物线上的一个动点．，
∴轴，，且直线与抛物线交于点M，N，
∵，
∴，即
∴方程，即的实数根为m，n，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二次函数的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．