新高考数学二轮复习专题4.3 正弦定理和余弦定理【八大题型】（举一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc3492" 【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】 PAGEREF _Tc3492 \h 3
\l "_Tc14947" 【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】 PAGEREF _Tc14947 \h 5
\l "_Tc23472" 【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 PAGEREF _Tc23472 \h 7
\l "_Tc5209" 【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】 PAGEREF _Tc5209 \h 9
\l "_Tc6946" 【题型5 求三角形（四边形）的面积】 PAGEREF _Tc6946 \h 13
\l "_Tc8491" 【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 PAGEREF _Tc8491 \h 16
\l "_Tc31183" 【题型7 距离、高度、角度测量问题】 PAGEREF _Tc31183 \h 20
\l "_Tc16856" 【题型8 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】 PAGEREF _Tc16856 \h 24
1、正弦定理、余弦定理解三角形
正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活求解.
【知识点1 解三角形几类问题的解题思路】
1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
SKIPIF 1 < 0
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2.判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3.对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 >1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 =1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若 SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 <1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0< SKIPIF 1 < 0 B= SKIPIF 1 < 0 <1可得B有两个值，一个大于 SKIPIF 1 < 0 ，一个小于 SKIPIF 1 < 0 ，考虑到“大边对大角”、“三
角形内角和等于 SKIPIF 1 < 0 ”等，此时需进行讨论.
4.与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【知识点2 测量问题的基本类型和解决思路】
1．测量问题
1.测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
2.测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
3.测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】
【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先在中，由余弦定理求得，即可知为等腰三角形，再解出和，然后在中，由正弦定理求解即可.
【解答过程】
如图所示，在中，由余弦定理得
，
∴，∴为等腰三角形，，，
又∵为角平分线，∴，
∴在中，，
由正弦定理得得，
.
故选：A．
【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据平方关系、诱导公式、余弦两角和差角关系式化简已知等式为，再结合正余弦定理即可得角的大小.
【解答过程】因为，
所以，
则，
整理得：
由正弦定理可得：，再由余弦定理得，
因为，故.
故选：B.
【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.
【解答过程】，
即，即，
，，得，，.
由余弦定理得，
由正弦定理，因此，.
故选：B.
【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于（ ）
A．2B．C．D．1
【解题思路】根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化简给定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.
【解答过程】在中，由已知及余弦定理得，即，
由正弦定理边化角得：，
而，即，则，即有，又的外接圆半径，
所以.
故选：C.
【题型2 】
【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
【解题思路】由余弦定理化简计算即可.
【解答过程】由及余弦定理得：，即.
故选：D.
【变式2-1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【解题思路】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状．
【解答过程】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，
则，即
或为等腰三角形或直角三角形．
故选：D.
【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
【解题思路】分别在和中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到，然后在中，由余弦定理判断.
【解答过程】解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
两式相加得，则，，
在中，由余弦定理得，
所以是钝角三角形，
故选：C.
【变式2-3】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在和中，若，，则（ ）
A．与均是锐角三角形
B．与均是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
【解题思路】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断是锐角三角形，然后再由，判断的形状即可得到结果.
【解答过程】在和中，因为，
所以均为锐角，即为锐角三角形.
另一方面，可得或
即，
所以为锐角或者钝角，
同理可得为锐角或者钝角，
但是中必然有一个为钝角，否则不成立，所以为钝角三角形.
故选:D.
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】
【例3】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由，得到，以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件，结合图象，列出关系式，即可求解.
【解答过程】在中，，，若有唯一解，则有唯一解，
设内角，，所对应的边分别为，，，
由，则为一确定的锐角且，所以，
如图以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件，
如图示：即圆弧与边相切或与圆弧与边相交有2个交点，
其中一个交点在线段的反向延长线上（或在点处），故或，
由，即，得或，
解得或.
故选：．
【变式3-1】（2023下·河南开封·高一校联考期末）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解B．有一解
C．有两解D．解的个数不确定
【解题思路】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解.
【解答过程】由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.
故选：C.
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ）
A．，，，有两解B．，，，有一解
C．，，，有一解D．，，，无解
【解题思路】已知，的前提下，利用直角构造出关于的不等式，即可得出三角形的个数解.
【解答过程】因为，，如图于，
由直角可得.
当或时，有一解；
当时，无解；
当时，有两解.
结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.
故选：D.
【变式3-3】（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.
【解答过程】由正弦定理可得，.
要使有两解，即有两解，则应有，且，
所以，
所以.
故选：B．
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）在中，.
(1)求的大小；
(2)若，证明：.
【解题思路】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tanB即可求出B；
(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．
【解答过程】（1）在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，∴．
由余弦定理得①，
∵，∴②，
将②代入①，得，
整理得，∴．
【变式4-1】（2023下·北京·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
（i）求证:；
（ii）若，，求CD的长.
【解题思路】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C的大小；
（2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；
（ii）由正弦定理可得，进而得，设并表示出，应用余弦定理列方程求k，最后求CD的长.
【解答过程】（1）由题设，则，故，
所以，又，故.
（2）（i）由题设，若上的高为，
又，
，
所以，即.
（ii）由，则，又为锐角，故，
若，则，且，，
由余弦定理知：，
所以，可得或，
当，则，，此时，则；
当，则，即，不合题设；
综上，.
【变式4-2】（2023·高一课时练习）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
【解题思路】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；
（2）由题意求得，继而求得，在 中利用余弦定理求得，即可求得答案.
【解答过程】（1）证明：
在△ABP中，由正弦定理得，
即，
要证明，只需证明，
在△ABP中，，
在△ABC中，，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，又因为，，
所以，
由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，
则，
所以在△PBC中，，
由正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理得，
由题意知，
故解得，
所以．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.
【解题思路】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证；
（2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案.
【解答过程】（1）证明：设，
由余弦定理知：，，
由是外心知，
而，
所以，
即，
而，因此，
同理可知，
因此，
所以；
（2）解：由（1）知，
由余弦定理知：，，
代入得，
设，则，
因此，
当且仅当时取到等号，
因此的最大值为.
【题型5 求三角形（四边形）的面积】
【例5】（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径，求的面积．
【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得的值，即可得答案；
（2）利用余弦定理得，配方得，再结合的内切圆半径，利用等面积法推出，即可求得，从而求得答案.
【解答过程】（1）在中，由得，
即,
故，由于，
故，而，故.
（2）由可得，而，
故，则，
由的内切圆半径，可得，
即，即，
故，解得，
故的面积.
【变式5-1】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．
(1)求角的值；
(2)若，求面积的最大值．
【解题思路】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可求得的最大值.
【解答过程】（1）解：因为，
所以，
，且，
由正弦定理可得，
即，
因为，则，则，
又因为，故.
（2）解：由余弦定理，可得.
当且仅当时取得等号，所以.
所以，面积，
所以，面积的最大值为．
【变式5-2】（2023·江西·校联考二模）在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【解题思路】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可；
（2）由题知，进而结合正弦定理得，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可.
【解答过程】（1）解：因为
所以
整理可得，
所以，由正弦定理可得：.
由余弦定理知，，
因为，所以
（2）解：由（1）知，，所以，
又是锐角三角形，
所以，且，解得，
因为，由正弦定理知：，，
所以
所以
因为，
所以，所以
所以，面积的取值范围为.
【变式5-3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在中，内角的对边分别为，且.

(1)求B；
(2)如图，在AC的两侧，且，求四边形面积的最大值．
【解题思路】（1）由余弦定理边角关系可得，再由余弦定理求角；
（2）根据已知可得，进而有为等边三角形，令且，等腰的顶角为，且，且，利用三角形面积公式、三角恒等变换、三角函数性质求四边形面积的最大值．
【解答过程】（1）由题设及余弦定理，
由，且，则.
（2）由（1）及已知：，即，
所以为等边三角形，令且，
而，等腰的顶角为，且，
所以，则，
所以四边形面积，
故，
而，故仅当时.
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求周长的取值范围.
【解题思路】（1）根据为锐角三角形得到，并求出，由正弦定理得到，求出的取值范围；
（2）由（1）知，，由正弦定理得到，表达出的周长，结合（1）中，求出答案.
【解答过程】（1）因为为锐角三角形，所以，，.
又因为，所以，
由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，即，
解得，
所以，即，
所以的取值范围为.
（2）因为，由（1）知，，
由正弦定理，得
，
故的周长，
令，由（1）知，则，
因为函数在上单调递增，
所以周长的取值范围为.
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的值．
(2)求的取值范围．
【解题思路】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可得结果；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质分析求解.
【解答过程】（1）设的外接圆半径为．
由正弦定理，得，，．
因为，则，
整理得，
由余弦定理得，即，
又因为，则，可得，所以．
（2）由正弦定理可得，
则
因为是锐角三角形，则，解得，
则，可得，
所以的取值范围是．
【变式6-2】（2023·四川雅安·统考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求周长l的最小值．
【解题思路】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，进而求得.
（2）利用的面积求得，结合基本不等式求得周长l的最小值．
【解答过程】（1）由，
根据正弦定理，得，
即，则有，
由于，所以．
（2）由题，，则．
又由（1）知，
则周长，
当且仅当取“”，同时解得，
所以，周长l的最小值为12．
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）从①，②（为的面积），③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．
在中，内角、、的对边分别为、、，且______．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）选条件①：利用正弦定理结合余弦定理可得出，求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选条件②：利用三角形的面积公式结合切化弦可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选条件③：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可得出，利用基本不等式结合三角形三边关系可求得的取值范围.
【解答过程】（1）解：选条件①：因为，所以由正弦定理得，
由余弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因为，所以；
选条件②：因为，
由三角形的面积公式可得，
因为、，则，，所以，，
因为，所以；
选条件③：因为，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，．
因为、，则，所以，故.
（2）解：由及正弦定理得，所以．
又由（1）知，所以由余弦定理得，
由基本不等式可得，
即，当且仅当时取等号，
又，所以，
所以的取值范围为．
【题型7 距离、高度、角度测量问题】
【例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
【解题思路】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得.
（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.
【解答过程】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，
由题意知
在中，
由余弦定理得
所以
在中， 由正弦定理得，即
所以（舍去）
所在
又
在中，
由余弦定理得
，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.
（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，
则
在中，由正弦定理得：
则
所以，
在中，由正弦定理得：
则，故 （舍）

故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
【变式7-1】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得，，，，，在点C测得塔顶A的仰角为.参考数据：取，，.

(1)求；
(2)求塔高（结果精确到1m）.
【解题思路】（1）在中，由余弦定理即可得解；
（2）在中，先利用正弦定理求出，再解即可.
【解答过程】（1）在中，由余弦定理得，
则
；
（2）在中，由正弦定理得，
则，
在中，，
所以，
故塔高为85m.
【变式7-2】（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．

(1)求B点到D点的距离BD；
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
【解题思路】（1）利用正弦定理解三角形计算即可；
（2）利用余弦定理解三角形计算即可.
【解答过程】（1）由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以(海里)；
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，所以需要的时间为(小时).
【变式7-3】（2023下·上海宝山·高二校考期中）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选（与在同一水平面的）､两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为.

(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到）
【解题思路】（1）根据题意，先求出，然后利用正弦定理计算即可求解；
（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出，然后利用两角和的正切公式计算即可.
【解答过程】（1）由已知得，
在中，
因为，
即，所以，
所以两点间的距离为m.
（2）在中，
因为，
所以，
又因为
所以
，
答：楼高约为.
【题型8 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】
【例8】（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数在上单调．
(1)求的单调递增区间；
(2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，求△ABC周长的最大值．
【解题思路】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可得，再根据在上单调，可得，从而可求得，再根据正弦函数的单调性即可得解；
（2）先根据求出，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，即可得解.
【解答过程】（1）由题意可得，
因为在上单调，
所以，解得，
因为，
所以，即，
令，
解得，
即的单调递增区间是；
（2）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，
则，即△ABC周长的最大值为9．
【变式8-1】（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【解题思路】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案
【解答过程】（1） ，
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为，所以，所以即，
由锐角可得，所以，
由正弦定理可得 ，
因为，所以所以，
所以的最大值为2.
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.
【解答过程】（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
【解题思路】（1）利用图象变换求出函数的解析式，由求出，利用正弦函数的基本性质求出，结合已知条件可求得实数的值；
（2）利用为锐角三角形求出角的取值范围，利用切化弦结合三角恒等变换思想得出，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【解答过程】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，
则，
，，
当，即时，最大值，所以，；
（2），
，则，所以，，所以，，
，
是锐角三角形，由，解得，
所以，，，则.
1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【解答过程】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【解答过程】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
3．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 2 ．
【解题思路】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【解答过程】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
4．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【解题思路】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【解答过程】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
5．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【解题思路】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【解答过程】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
6．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【解题思路】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【解答过程】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【解题思路】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【解答过程】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由 ，
由正弦定理，，可得，
，
.
8．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【解题思路】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【解答过程】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
9．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【解题思路】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【解答过程】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
10．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解题思路】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【解答过程】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．类型
简图
计算方法
A,B间不可达也不可视
测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0
B, C与点A可视但不可达
测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0
C,D与点A,B均可视不可达
测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.
类型
简图
计算方法
底部
可达
测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
底部不可达
点B与C,D共线
测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.
点B与C , D不共线
测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.