新高考数学二轮复习培优专题训练专题11 空间几何体的表面积与体积（2份打包，原卷版+解析版）

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A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆锥的体积 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2、（2023年全国甲卷数学（文））在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】A
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，

SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3、（2023年全国甲卷数学（理））在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】连结 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，如图，
因为底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
则由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
4、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
5、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A
6、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点C在底面圆周上，且二面角 SKIPIF 1 < 0 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 B．该圆锥的侧面积为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
A选项，圆锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误；
C选项，设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确；
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误.
故选：AC.

7、（2023年新课标全国Ⅰ卷）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 SKIPIF 1 < 0 的球体
B．所有棱长均为 SKIPIF 1 < 0 的四面体
C．底面直径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体
D．底面直径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体
【答案】ABD
【详解】对于选项A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；
对于选项D：因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故以 SKIPIF 1 < 0 为轴可能对称放置底面直径为 SKIPIF 1 < 0 圆柱，
若底面直径为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心 SKIPIF 1 < 0 ，与正方体的下底面的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据对称性可知圆柱的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）在正四棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则该棱台的体积为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 为四棱台 SKIPIF 1 < 0 的高，

因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】方法一：由于 SKIPIF 1 < 0 ，而截去的正四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，所以原正四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正四棱锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
截去的正四棱锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .

10、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积；
（2）已知D为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)如图所示，连结AF，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于AB⊥BB1，BC⊥AB， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
从而有 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，取棱 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
题组一、空间几何体的表面积
1-1、（2023·云南玉溪·统考一模）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（ ）克（精确到个位数）
A．176B．207C．239D．270
【答案】B
【分析】求出圆锥的母线长，再由台灯是由一个圆锥和一个半球组成可求得台灯表面积 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求得涂胶的克数.
【详解】由已知得圆锥的母线长 SKIPIF 1 < 0 ，
所以台灯表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
需要涂胶的重量为 SKIPIF 1 < 0 （克），
故选：B.
1-2、（2023·安徽·统考一模）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，所以外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的表面积 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
1-3、（2023·江苏·统考三模）已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】圆锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
圆柱侧面积 SKIPIF 1 < 0 ，
圆锥侧面积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
1-4、（2021·山东日照市·高三二模）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧组成的图形称为球面．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点．若P，Q在赤道上，且经度分别为东经和东经，则球面的面积为__________．
【答案】
【解析】因为PQ在赤道上，且经度分别为东经和东经，
上半球面面积为，球面的面积为；
故答案为：
题组二、空间几何体的体积
2-1、（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】作出正四棱台，作出辅助线，得到各边长，求出四棱台的高，从而利用台体体积公式求出体积.
【详解】由题知，该容器的容积就是正四棱台的体积，
如图，连接正四棱台上下底面的中心 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取上底面正方形一边中点 SKIPIF 1 < 0 ，对应下底面正方形一边中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 四点共面，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为该正四棱台上、下底面边长分别为2，6，等腰梯形的斜高为4，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该棱台的高 SKIPIF 1 < 0 ，下底面面积 SKIPIF 1 < 0 ，上底面面积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该容器的容积是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
2-2、（2023·云南·统考一模）三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，从而利用基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该三棱锥体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
.
2-3、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除 SKIPIF 1 < 0 如图所示，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.
【详解】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .取BC的中点G，连接FG，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，如图所示，
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，
∴这个羡除的外接球体积为 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，即：点A到面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点B到面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴这个羡除的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2-4、（2022·江苏如东·高三期末）已知三棱锥P－ABC的外接球半径为4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，则三棱锥P－ABC体积的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．24πD． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 的外接圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
且由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又外接球的球心到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2-5、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为 SKIPIF 1 < 0 ，顶角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为轴截面的顶角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以底角 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，依题意，
该圆形攒尖的底面圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，所以该屋顶的体积约为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题组三、球的切接问题
3-1、（2023·安徽黄山·统考三模）如图，球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，四面体 SKIPIF 1 < 0 内接于球 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则该四面体体积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知底面三角形的面积为定值，要使四面体体积的最大，只须顶点 SKIPIF 1 < 0 到底面的距离最大即可，
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可知当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 到底面的距离最大，
SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时体积最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3-2、（2023·云南红河·统考一模）三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．球心O在三棱锥的外部
C．球心O到底面ABC的距离为2D．球O的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】对A，由余弦定理直接判断；对B，设△ABC外接圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，说明 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 在△ABC外部，故球心O在三棱锥的外部；对C，取线段PA的中点Q，连接OQ，说明 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，球心O到底面ABC的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；对D，由正弦定理求得设△ABC外接圆半径，从而求得球半径，由体积公式可求得结果.
【详解】对A，在△ABC中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B，如图，设△ABC外接圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 底面ABC，
又PA⊥底面ABC，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得圆心 SKIPIF 1 < 0 在△ABC外部，
故球心O在三棱锥的外部，故B正确；
对C，取线段PA的中点Q，连接OQ，因为PA是球O的一条弦，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，故 SKIPIF 1 < 0 ，即球心O到底面ABC的距离为1，故C不正确；
对D，设球O的半径为R，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为r，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ，
球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：ABD．
3-3、（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，PA⊥平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由PA⊥平面ABC， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，故可将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 补全为长方体，
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球，即为长方体外接球，
令三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题组四、计算的综合性问题
4-1、（2023·江苏南通·统考一模）（多选题）在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
D．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断D.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
因为 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C错；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4-2、（2023·安徽·统考一模）（多选题）在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
B．线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 分别用 SKIPIF 1 < 0 表示，再根据向量数量积的运算律即可判断ABC；对于D，先证明平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，再解 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC.
4-3、（2023·安徽合肥·统考一模）（多选题）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ）
A．三角形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
B．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积的最大值 SKIPIF 1 < 0
C．四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球表面积的最小值为11 SKIPIF 1 < 0
D．直线SP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】选项A，由已知计算出底面半径的长度，以及轴截面的顶角大小，利用三角形的面积公式可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，三角形 SKIPIF 1 < 0 面积最大，可判断选项A；利用三棱锥等体积转换，可得当 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大，可判断选项B；因为 SKIPIF 1 < 0 底面圆，所以四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球球心在 SKIPIF 1 < 0 的中垂面和过 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心的底面垂线的交点处，利用勾股定理和正弦定理可计算出最小值，判断选项C；由线面角公式可得，当 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 时，直线SP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值最小，判断出选项D．
【详解】选项A，由母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，可得底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 是底面圆的一条直径，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是钝角，又 SKIPIF 1 < 0 ，则存在点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
选项B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
选项C，设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面圆， SKIPIF 1 < 0 四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球半径 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若外接球表面积的最小，即外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 最小，又 SKIPIF 1 < 0 ，即在底面圆中， SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径最小，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 经过线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线时， SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径最小，此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球表面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
选项D，设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线SP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线SP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：BD.
1、【2022·广州市荔湾区上学期调研】若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】：圆台的轴截面如图所示：
则圆台的高 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆台的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体积的一半，即可求解答案.
【详解】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F,
因为MN平行于地面，故 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆长轴上的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到容器底部的距离分别是12和18，
故 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体积的一半，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
3、（2023·江苏南京·校考一模）某圆锥母线长为2，底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【分析】如图截面为 SKIPIF 1 < 0 ，P为MN的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得面积最大值.
【详解】
如图所示，截面为 SKIPIF 1 < 0 ，P为MN的中点，设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时截面面积最大.
故选：A
4、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，正八面体的棱长为2，则此正八面体的表面积与体积之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】如图，由边长为2，可得 SKIPIF 1 < 0 的高 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则其表面积为
SKIPIF 1 < 0 .
体积为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 此正八面体的表面积与体积之比为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选题）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆台（ ）
A．高为 SKIPIF 1 < 0 B．表面积为 SKIPIF 1 < 0
C．体积为 SKIPIF 1 < 0 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.
【详解】对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以圆台的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，选项A错误；
对于B，圆台的上底面积为 SKIPIF 1 < 0 ，下底面积为 SKIPIF 1 < 0 ，侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆台的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，选项B正确；
对于C，圆台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，选项C正确；
对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，选项D正确，
故选：BCD．
6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），过P作垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 的直线l，分别交正方体 SKIPIF 1 < 0 的表面于M，N两点，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．若四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故选项A不正确；
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确，选项D正确．
若四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C不正确，
故选：BD．
7、（2023·安徽·校联考三模）已知四面体 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点都在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ．若四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时， SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的半径为______；若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆的半径R，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
若四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，则点B在过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直径上，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的两侧，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得，则 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合图形可得 SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点O作BF的垂线，垂足为点G，连接BO，
四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以球O的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
四面体ABCD外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .