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新高考数学二轮复习培优专题训练专题19 等差数列与等比数列基本量的问题（2份打包，原卷版+解析版）
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1、（2023年全国乙卷数学（文））已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2、（2023年全国甲卷数学（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【详解】方法一：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意可得，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
方法二： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
3、（2023年全国甲卷数学（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公比为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4、（2023年全国甲卷数学（理））已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 前n项和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7B．9C．15D．30
【答案】C
【分析】根据题意列出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程,计算出 SKIPIF 1 < 0 ,即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题知 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
由题知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
5、（2023年新高考天津卷）已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
【详解】由题意可得：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， ①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， ②
联立①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6、【2022年全国乙卷】已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
7、（2023年新课标全国Ⅰ卷）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，设甲： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；乙： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】方法1，甲： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设其首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 为常数，设为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 也成立，
因此 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，上两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，上式成立，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为常数，
因此 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 分别为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，由等差数列性质知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，无解；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．120B．85C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】方法一：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，与题意不符，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
由①可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以有， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，舍去．
故选：C．
10、（2023年全国乙卷数学（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0
11、【2022年全国甲卷】记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】(1)
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
题组一、等差、等比数列的基本量的问题
1-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
【答案】C
【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可.
【详解】64个格子放满麦粒共需 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 麦子大约20000粒，1吨麦子大约 SKIPIF 1 < 0 粒，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：C.
1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 是等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系以及 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .进而判断数列 SKIPIF 1 < 0 是以8为首项，4为公比的等比数列，根据等比数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式即可判断C、D项.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，所以需满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以，A项正确，B项错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以8为首项，4为公比的等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C项错误，D项正确.
故选：AD.
1-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据等差数列的通项公式与 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的关系，根据 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，求出 SKIPIF 1 < 0 的值.再根据等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式求 SKIPIF 1 < 0
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 且正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
1-4、（2023·云南红河·统考一模）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】127
【分析】利用等比数列性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求值.
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：127.
题组二、等差、等比数列的判断与证明
2-1、（2023·安徽蚌埠·统考三模）（多选题）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
【答案】ABC
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为等差数列，A正确；
对于B选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，B正确；
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于C选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，C正确；
对于D选项，∵ SKIPIF 1 < 0 不一定为常数，故数列 SKIPIF 1 < 0 不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
2-2、（2023·重庆·统考三模）（多选题）对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以A选项正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
故B选项错误，C正确；
同理，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD
2-3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由通项与前 SKIPIF 1 < 0 项和的关系结合等差的定义证明即可；
（2）由等差数列通项公式得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由题设定义得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （常数），
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合上式，
故 SKIPIF 1 < 0
2-4、（2023·安徽宿州·统考一模）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)令 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；(2)297
【分析】(1)由递推关系结合等差数列定义证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，再由等差数列通项公式求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项；
(2)由递推关系证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用等差数列求和公式和组合求和法求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 为以1为首项，4为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1、（2023·浙江温州·统考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
【答案】C
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项都是正数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差中项法可知，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
故选：C.
2、（2022·山东日照·高三期末）（多选题）数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均是正数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
SKIPIF 1 < 0 ，A对；
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列，C错；
由上可知，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：ABD.
3、（2021·河北张家口市·高三期末）（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，，则
【答案】BC
【解析】若，当时，，不满足，故A错误.
若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.
若是等差数列，则，故C正确.
，故D错误.
故选：BC
4、（2023·河北唐山·统考三模）设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.875
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由等比数列求和公式可知 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5、（2023·安徽合肥·校联考三模） SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】1012
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6、（2022·广东潮州·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 是首项为2的等比数列， SKIPIF 1 < 0 是其前n项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】62
【解析】设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则根据题意得， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以计算得 SKIPIF 1 < 0 .
由等比数列前n项和 SKIPIF 1 < 0 得，数列 SKIPIF 1 < 0 的前五项和为，
SKIPIF 1 < 0
故答案为：62.
7、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】136
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：136
8、（2022·山东烟台·高三期末）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设其公差为d，
所以根据 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2. SKIPIF 1 < 0
1、（2023年全国乙卷数学（文））已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2、（2023年全国甲卷数学（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【详解】方法一：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意可得，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
方法二： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
3、（2023年全国甲卷数学（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公比为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4、（2023年全国甲卷数学（理））已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 前n项和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7B．9C．15D．30
【答案】C
【分析】根据题意列出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程,计算出 SKIPIF 1 < 0 ,即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题知 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
由题知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
5、（2023年新高考天津卷）已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
【详解】由题意可得：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， ①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， ②
联立①②可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6、【2022年全国乙卷】已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
7、（2023年新课标全国Ⅰ卷）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，设甲： SKIPIF 1 < 0 为等差数列；乙： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】方法1，甲： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设其首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 为常数，设为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 也成立，
因此 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： SKIPIF 1 < 0 为等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，上两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，上式成立，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为常数，
因此 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 分别为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，由等差数列性质知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，无解；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．120B．85C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】方法一：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，与题意不符，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
由①可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以有， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，舍去．
故选：C．
10、（2023年全国乙卷数学（文））记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设等差数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0
11、【2022年全国甲卷】记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】(1)
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
题组一、等差、等比数列的基本量的问题
1-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
【答案】C
【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可.
【详解】64个格子放满麦粒共需 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 麦子大约20000粒，1吨麦子大约 SKIPIF 1 < 0 粒，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：C.
1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 是等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系以及 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .进而判断数列 SKIPIF 1 < 0 是以8为首项，4为公比的等比数列，根据等比数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式即可判断C、D项.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，所以需满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以，A项正确，B项错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以8为首项，4为公比的等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C项错误，D项正确.
故选：AD.
1-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据等差数列的通项公式与 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的关系，根据 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，求出 SKIPIF 1 < 0 的值.再根据等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式求 SKIPIF 1 < 0
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 且正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
1-4、（2023·云南红河·统考一模）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】127
【分析】利用等比数列性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求值.
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：127.
题组二、等差、等比数列的判断与证明
2-1、（2023·安徽蚌埠·统考三模）（多选题）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
【答案】ABC
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为等差数列，A正确；
对于B选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，B正确；
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于C选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，C正确；
对于D选项，∵ SKIPIF 1 < 0 不一定为常数，故数列 SKIPIF 1 < 0 不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
2-2、（2023·重庆·统考三模）（多选题）对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以A选项正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
故B选项错误，C正确；
同理，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD
2-3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由通项与前 SKIPIF 1 < 0 项和的关系结合等差的定义证明即可；
（2）由等差数列通项公式得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由题设定义得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （常数），
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合上式，
故 SKIPIF 1 < 0
2-4、（2023·安徽宿州·统考一模）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)令 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；(2)297
【分析】(1)由递推关系结合等差数列定义证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，再由等差数列通项公式求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项；
(2)由递推关系证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用等差数列求和公式和组合求和法求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 为以1为首项，4为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1、（2023·浙江温州·统考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
【答案】C
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项都是正数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由等差中项法可知，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
故选：C.
2、（2022·山东日照·高三期末）（多选题）数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均是正数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
SKIPIF 1 < 0 ，A对；
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列，C错；
由上可知，因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：ABD.
3、（2021·河北张家口市·高三期末）（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，，则
【答案】BC
【解析】若，当时，，不满足，故A错误.
若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.
若是等差数列，则，故C正确.
，故D错误.
故选：BC
4、（2023·河北唐山·统考三模）设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.875
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由等比数列求和公式可知 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5、（2023·安徽合肥·校联考三模） SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】1012
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6、（2022·广东潮州·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 是首项为2的等比数列， SKIPIF 1 < 0 是其前n项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】62
【解析】设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则根据题意得， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以计算得 SKIPIF 1 < 0 .
由等比数列前n项和 SKIPIF 1 < 0 得，数列 SKIPIF 1 < 0 的前五项和为，
SKIPIF 1 < 0
故答案为：62.
7、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】136
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：136
8、（2022·山东烟台·高三期末）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设其公差为d，
所以根据 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2. SKIPIF 1 < 0
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