重庆市七校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市七校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．,则( )
A.B.C.3D.
2．,,,则( )
A.-2B.2C.1D.-1
3．已知圆锥的母线长为6,底面半径为2,则该圆锥的表面积为( )
A.B.C.D.
4．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则( )
A.B.C.D.
5．已知四边形是平行四边形,,,则( )
A.B.C.D.
6．下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑,简称“解放碑”,位于重庆市渝中区,是抗战胜利的精神象征,是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为、点B处测得其顶点P的仰角为,若米,且,则解放碑的高度为( )
A.米B.55米C.米D.米
7．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,,角A的平分线与BC交于D点,点E满足,则=( )
A.B.C.D.
8．如图所示,在正四棱台中,上底面边长为4,下底面边长为6,体积为,点E为AD中点,过点E的平面与平面平行,且与正四棱台各面相交得到截面多边形,则该截面多边形的周长为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若z为纯虚数，则
C.若点M在第一象限，则
D.若为z的共轭复数，且，则
10．如图,在平行四边形中,,,点F为BC的中点,则下列正确的是( )
A.B.
C.在上的投影向量为D.
11．如图,四面体ABCD的各个面都是全等的三角形,且,若A,B,C,D在同一个球面上,则下列正确的是( )
A.直线AB,CD所成角为B.二面角的余弦值为
C.四面体ABCD的体积为D.四面体外接球的半径为
三、填空题
12．设,则=_______________.
13．如图,在四边形ABCD中,,,,,.若P为线段AB上一动点,则的最小值为_____________.
14．在平行四边形ABCD中,若,,则平行四边形ABCD的面积为_______________.
四、解答题
15．已知,.
(1)若与的夹角为,求;
(2)若,求与的夹角.
16．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,,,若.
(1)求的值;
(2)若,,求b的值.
17．如图,四棱锥中,底面ABCD为正方形,面ABCD,,E,F分别是PC,AD的中点.
(1)证明：平面PFB;
(2)求三棱锥的体积.
18．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.
(1)求角A;
(2)若,周长为6,求的面积;
(3)若为锐角三角形,求的范围.
19．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形.若，E为的中点，F为线段上的动点.
（1）证明：面；
（2）求二面角的正切值；
（3）当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：,
故选：B.
2．答案：A
解析：因为,
所以,
故选：A.
3．答案：C
解析：由圆锥的表面积等于底面积加侧面面积可得.
故选：C.
4．答案：A
解析：,
由正弦定理可得,
因为C为三角形内角,所以,
又,
所以,
故选：A.
5．答案：A
解析：因为四边形是平行四边形,
故,
故选：A.
6．答案：A
解析：设,由已知,,,,
则,,又,,
在中：,则
解得或（舍去）,所以解放碑的高度为米.
故选：A.
7．答案：C
解析：由余弦定理得,
因为,所以,所以,
故为等腰三角形,,
因为为角A的平分线,由三线合一可知,
设,则,,
又,所以,
故.
故选：C.
8．答案：D
解析：如图所示,点作于点H,因为,,所以,
则四棱台的高为,则四棱台的体积为,
解得,所以侧棱长为.
如图所示：作于点F,作于点G,连接,
由对称性可知,,
所以,而,
所以,所以,
同理,
分别在棱,上取中点M,N,则平面即为平面,
,,
所以截面多边形的周长为.
故选：D.
9．答案：ABC
解析：对于A，若，
则，解得，故A正确；
对于B，若z为纯虚数，
则，解得，故B正确；
对于C，若点M在第一象限，
则，解得，故C正确；
对于D，若z为z的共轭复数且，则，解得，故D错误.
综上所述，本题正确答案为ABC
10．答案：AD
解析：对于A,四边形是平行四边形,点F为BC的中点,
所以 ,故A正确;
对于B,因为,,
所以
,故B错误;
对于C,在上的投影向量为,故C错误;
对于D,因为,
所以
,
所以,故D正确.
故选：AD.
11．答案：ABC
解析：A：取的中点E,连接,,
由题意四面体ABCD的各个面都是全等的三角形,
可得,,又,,平面,
所以平面,因为平面,所以,
所以AB,CD所成角为,故A正确;
B：取的中点E,连接,,
则,,所以为二面角的平面角,
在中,,,
由余弦定理可得,故B正确;
C：由B可得,
由,故C正确;
D：将四面体放入长方体中,如图
可得长方体与四棱锥共圆,所以外接球半径一样,设为r,
所以,故D错误;
故选：ABC.
12．答案：
解析：,
所以
故答案为：.
13．答案：2
解析：如图,以点A为原点建立直角坐标系,
则,,设,,
故,,
所以,
则当时,取得最小值2.
故答案为：2.
14．答案：8
解析：根据题意,在平行四边形ABCD中有,
又,,
所以,
即,,
所以,,
又,则,
所以平行四边形ABCD的面积为为,
故答案为：8.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)已知,,与的夹角为60°,
所以|+|.
(2)因为,所以,设的夹角为,,
所以,则,,
所以,所以与的夹角为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意,整理得,
所以由余弦定理有.
(2)因为,,,所以,
所以
,
所以由正弦定理有.
17．答案：(1)证明见详解
(2)
解析：(1)取PB的中点G,连接EG,FG,如图,
E,G分别是PC,PB的中点,底面ABCD为正方形,
且,又且,
且,
四边形是平行四边形,
则,又平面PFB,平面PFB,
平面PFB.
(2)因为,
又平面ABCD,所以是三棱锥的高,
因为,F是AD的中点,则,
所以,
即三棱锥的体积是.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由正弦定理,得,
即,即,
又,所以,所以,
因为,故.
(2)在中,由余弦定理可得,
所以,又因为周长为6,所以,
所以,所以的面积.
(3)因为为锐角三角形,则,则可得,
所以,所以,
,所以,
所以,
由正弦定理可得
,
所以.
19．答案：（1）证明见解答；
（2）；
（3）
解析：（1）因为E为AC的中点，为等腰直角三角形，所以，
又为等边三角形，所以，
又，平面，所以面；
（2）为等腰直角三角形，且AC为斜边，，可得，
为等边三角形.若，所以，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
所以平面，，
过点D作于M，因为，平面，
所以平面，平面，从而可得，
所以为二面角的平面角，
又，所以，所以，
所以，
所以二面角的正切值为；
（3）因为平面，平面，所以，
所以当最小时，的面积最小，此时，
由面，面，可得，又，，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以（或其补角）是CF与底面ABD所成的角，
由（2）可知，且，所以，
由勾股定理可求得，
在中，由余弦定理可得，
所以.