2024济宁高二下学期7月期末考试数学含解析

这是一份2024济宁高二下学期7月期末考试数学含解析，共26页。试卷主要包含了07， 在中，，记，，则， 设函数等内容，欢迎下载使用。

2024.07
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ）
A. 744B. 620C. 372D. 162
4. 如图是函数的部分图象，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在中，，记，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 对24小时内降落在平地上积水厚度（mm）进行如下定义：
小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A B.
C D.
10. 体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：
记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为下底面的中心，为的中点，则下列结论正确的是（ ）

A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 与平面所成角为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据第百分位数是______.
13. 某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，，，均为正三角形，且他们所在的平面都与底面垂直，则该几何模型的体积为______ 立方厘米.
14. 已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，且，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.
（1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数；
（2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数.
16. 设向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的取值范围.
17. 如图所示，为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为、的中点，连接并延长交圆O于点E.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且.
（1）证明：；
（2）若，，且，求，；
（3）若存在最小值，求实数的取值范围.
19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，.
（1）求的长；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值；
（3）若为上一点，且满足，求.
积水厚度（mm）
0~10
10~25
25~50
50~100
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
同学
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲（投中个数）
6
7
5
6
4
3
8
9
乙（投中个数）
8
4
6
7
6
5
7
5
2023—2024学年度第二学期质量检测
高一数学试题
2024.07
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得出，利用复数的除法运算可求得复数.
【详解】由得出.
故选：D.
【点睛】本题考查复数的计算，考查复数除法运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
2. 已知向量，，，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，，
所以，
又，所以，解得.
故选：A
3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ）
A. 744B. 620C. 372D. 162
【答案】C
【解析】
【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.
【详解】依题意可得，解得.
故选：C
4. 如图是函数的部分图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察图象可得的最小正周期，由周期公式可计算，又过点，把代入解析式，结合，即可求解.
【详解】由图知的最小正周期为，
，
，
又过点，
，即，
，
，
.
故选：.
5. 在中，，记，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，则.
故选：D
6. 对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：
小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
【答案】C
【解析】
【分析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，计算出圆台的体积可得答案.
【详解】由题意知降雨量是雨水体积除以容器口面积，
因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半，
且下底面半径是50mm，上底面半径是150mm，
可得圆台中雨水的上底面半径是mm，
所以雨水的厚度为
mm，是大雨.
故选：C．
7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中，运用正弦定理求得，再在直角三角形中，求解.
【详解】在中，由正弦定理可知：
，
在直角三角形中，
，
故选：A
8. 设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得.
【详解】记函数的最小正周期为，则，可得．
又，且，
又，所以函数的一个对称中心为，
函数的一条对称轴为，又，
，解得．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角函数的变换规则，求出变化后的解析式，再由诱导公式判断即可.
【详解】把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到，
把向左平移个单位长度得到，
即，
又，
，
，
故满足题意的有B、C.
故选：BC
10. 体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：
记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均数和方差的公式计算即可.
【详解】根据题意，，
，所以，
，
，
所以.
故选：BD
11. 如图，在棱长为1的正方体中，为下底面的中心，为的中点，则下列结论正确的是（ ）

A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 与平面所成角为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先说明，根据线面垂直的判定定理及性质定理说明A；取的中点，连接、、、，则，所以直线与所成角为，再由锐角三角函数判断B；与平面所成角为，即可判断C，求出外接球的半径，即可判断D.
【详解】对于A：为下底面的中心，为的中点，连，
，，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，，故A正确；

对于B，取的中点，连接、、、，则且，
且，所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，
直线与所成角为，
又，，，为的中点，，
，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C：，又平面，
与平面所成角为，又，，
又，
与平面所成角不为，故C错误；
对于D：如图，

由A可知，，，平面，
所以平面，
又是边长为的正三角形，
设，则易知为靠近的的三等分点，其为正三角形的中心，
，设三棱锥的外接球的球心为，
则在上，设，球的半径为，则，
，
又易知，，，
在与中，根据勾股定理和余弦定理可得：
，解得，
，
三棱锥外接球的表面积为，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据第百分位数是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】因为，所以第百分位数.
故答案为：
13. 某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，，，均为正三角形，且他们所在的平面都与底面垂直，则该几何模型的体积为______ 立方厘米.
【答案】
【解析】
【分析】将几何体补全为正三棱柱，如图所示分别为的中点，正三棱柱高为，该几何模型的体积为：.
【详解】将几何体补全为正三棱柱，如图所示，

分别为的中点，
底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，
且，，均为正三角形，所以
则该几何模型的体积为：
.
故答案为：.
14. 已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】如图，以为邻边做平行四边形，即，由，可得，所以三点共线，再化简，可得，设，则，利用余弦定理，可得，，所以，再由同角基本关系式和两角和的正弦公式可解.
【详解】如图，以为邻边做平行四边形，即，
由，可得，即，
所以，则，又，所以，
即三点共线，
由，
即，
即，所以，
设，则，
利用余弦定理，，
且，所以，
则，
则，所以，
由等腰三角形可知都是锐角，
所以，
所以
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：以为邻边做平行四边形，即，由，可得，所以三点共线，再利用余弦定理求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.
（1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数；
（2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数.
【答案】（1）45 （2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据先求，再求等待时间不超过60秒的概率，即可得次数；
（2）由频率分布直方图中平均数的公式求解.
【小问1详解】
因为各组频率之和为1，组距为10，
所以，解得，
该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的概率为：
，
所以该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数约为：
.
【小问2详解】
该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数约为：
16. 设向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，，所以，由三角函数恒等变形可解；
（2）先求出，由正弦型函数在区间内的值域求解.
【小问1详解】
根据题意，，所以，
即，
化简为
所以；
【小问2详解】
，
，
所以，
所以，
由，得，
所以，所以，
所以的取值范围为.
17. 如图所示，为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为、的中点，连接并延长交圆O于点E.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，可得，，而，所以，可证平面；
（2）连接，可证平面，平面，从而平面平面，所以平面.
【小问1详解】
由题意，平面，平面，
所以，
由为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知，
因为D、分别为的中点，所以，则，
又因为平面，，
所以平面；
【小问2详解】
连接，因为D、F分别为、的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
而平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面.
18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且.
（1）证明：；
（2）若，，且，求，；
（3）若存在最小值，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，化简得证；
（2）结合二倍角公式与两角和的余弦公式，求出的值，再由，将其两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，可得关于和的方程，然后结合正弦定理，解方程组即可；
（3）由为锐角三角形，推出，再根据，，的关系，化简可得，然后结合正弦函数的值域与二次函数的性质，求解即可．
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
所以或，
因为，所以，又，所以不可能成立，
所以．
【小问2详解】
由，，则，
因为，所以，
因为，所以，，
所以，
因为，则，
所以，
将其两边平方得，
所以①，
由正弦定理知，，
因为，所以，
所以②，
联立①②解得，．
【小问3详解】
因为为锐角三角形，且，
所以，即，解得，
所以，，
又，
令，则，
所以，其中对称轴为，
因为存在最小值，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，.
（1）求的长；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值；
（3）若为上一点，且满足，求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先说明为直线与所成角，即，设，根据所给定义得到方程，解得即可；
（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面角为，则，利用诱导公式计算可得；
（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即可得解.
【小问1详解】
因为底面为矩形，底面，
所以，，又底面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为直线与所成的角，即，
设，则，，
在中，
又，所以，解得（负值已舍去），
所以；
【小问2详解】
在平面内过点作交的延长线于点，连接，
因为底面，底面，所以，又，
平面，所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为为的中点，
所以，，
所以，
设二面角的平面角为，则，
所以，
即二面角的余弦值为；
【小问3详解】
依题意，，又，
所以，，又，所以，
又，平面，所以平面，
在平面内过点作，垂足为，
由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又，即，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.
积水厚度（mm）
0~10
10~25
25~50
50~100
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
同学
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲（投中个数）
6
7
5
6
4
3
8
9
乙（投中个数）
8
4
6
7
6
5
7
5