辽宁省沈阳市第八十二中学2023年八年级数学第一学期期末经典试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳市第八十二中学2023年八年级数学第一学期期末经典试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如果是一个完全平方式，则n值为（ ）
A．1；B．-1；C．6；D．±1．
2．已知 △ABC(如图1)，按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是( )
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3．已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．B．C．D．
5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则BC的长是（ ）
A．B．2C．D．
6．长度分别为3，7，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．3B．4C．6D．10
7．下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．计算：（ ）
A．1B．C．4D．
9．当分式的值为0时，字母x的取值应为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
10．若方程mx+ny＝6的两个解是，，则m，n的值为（ ）
A．4，2B．2，4C．﹣4，﹣2D．﹣2，﹣4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，线段的垂直平分线分别交、于点和点，连接，，，则的度数是_____________．
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是__________．
13．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于下列结论：①；②点到各边的距离相等；③；④设，，则；⑤.其中正确的结论是.__________．
14．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，则EF的长是_____．
15．如图，在RtABC中，∠C= 90°，BD是ABC的平分线，交AC于D，若CD = n，AB = m，则ABD的面积是_______．
16．比较大小：4______（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．
17．已知x+y=8，xy=12，则的值为_______.
18．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2，AD=，CD=3，BC=5，则四边形ABCD的面积是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．
请你回答：
（1）在图①中，中线AD的取值范围是 ．
（2）应用上述方法，解决下面问题
①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．
②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．
20．（6分）如图（1）是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按照图（2）的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积。方法1．________________；方法2：______________．请你写出下列三个式子：之间的等量关系___________；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决下列问题：已知，求；
（3）实际上有许多恒等式可以用图形的面积来表示，如图（3），它表示的恒等式是___________．
21．（6分）解不等式组：；并将解集在数轴上表示出来．
22．（8分）如图，△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，AD是BC的中线，且AD=12cm．
（1）求AC的长；
（2）求△ABC的面积．
23．（8分）已知 ，k为正实数．
（1）当k＝3时，求x2的值；
（2）当k＝时，求x﹣的值；
（3）小安设计一个填空题并给出答案，但被老师打了两个“×”小安没看懂老师为什么指出两个错误？如果你看懂了，请向小安解释一下．
24．（8分）请阅读下列材料,并完成相应的任务．
任务:（1）利用上述方法推导立方和公式 (从左往右推导)；
（2）已知,求的值．
25．（10分）如图，在中，，为边上的任意点，为线段的中点，.
(1)求证:；
(2)求证:.
26．（10分）在△ABC中，CD⊥AB于点D，DA=DC=4，DB=1，AF⊥BC于点F，交DC于点E．
（1）求线段AE的长；
（1）若点G是AC的中点，点M是线段CD上一动点，连结GM，过点G作GN⊥GM交直线AB于点N，记△CGM的面积为S1，△AGN的面积为S1．在点M的运动过程中，试探究：S1与S1的数量关系
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】如果是一个完全平方式
则
【详解】,则，正确答案选D.
【点睛】
本题考查学生对完全平方式概念的理解和掌握，学会将一个式子配凑成完全平方式是解答本题的关键.
2、B
【分析】根据尺规作图可知AC,BD互相平分，即可判断.
【详解】根据尺规作图可得直线垂直平分AC，再可得到AC,BD互相平分，
故选B.
【点睛】
此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知尺规作图的特点.
3、C
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
【详解】设第三边长为xcm，
则8﹣2＜x＜2+8，
6＜x＜10，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
4、C
【分析】利用完全平方公式：，进而判断得出答案．
【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解；
B、，不能用完全平方公式进行因式分解；
C、，能用完全平方公式进行因式分解；
D、，不能用完全平方公式进行因式分解；
故选C．
【点睛】
本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式.
5、D
【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出AD＝CE，再利用勾股定理就可以求出BC的值．
【详解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°．
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴CE＝AD＝3，
在Rt△BEC中，，
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6、C
【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．
【详解】解：7−3＜x＜7＋3，
即4＜x＜10，
只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．
7、C
【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,分析即可.
【详解】解:A、不是轴对称图形,故选项A不正确;
B、不是轴对称图形,故选项B不正确;
C、是轴对称图形,故选项C正确;
D、不是轴对称图形,故选项D不正确;
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两侧折叠后能够重叠.
8、A
【分析】根据零指数幂的运算法则计算即可．
【详解】
故选：A．
【点睛】
本题主要考查零指数幂，掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．
9、C
【分析】解分式方程，且分式的分母不能为0.
【详解】解：由题意，得
x+2=0且x﹣1≠0，
解得x=﹣2，
故选：C．
【点睛】
掌握分式方程的解法为本题的关键.
10、A
【分析】根据方程解的定义，将x与y的两对值代入方程得到关于m与n的方程组，解方程组即可．
【详解】解：将，分别代入mx+ny＝6中，
得：，
①+②得：3m＝12，即m＝4，
将m＝4代入①得：n＝2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程解的定义和二元一次方程组的解法，根据二元一次方程解的定义得到关于m、n的方程组是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】先根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的度数，从而可得的度数，最后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．
【详解】由题意得，DE为BC的垂直平分线
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）、三角形的内角和定理等知识点，熟记等腰三角形的性质是解题关键．
12、且．
【分析】根据一元二次方程的定义，得到m-2≠0，解之，根据“一元二次方程（m-2）x2+x-1=0有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到一个关于m的不等式，解之，取两个解集的公共部分即可．
【详解】根据题意得：
，
解得：，
解得：，
综上可知：且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义是解题的关键．
13、①②③⑤
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故④错误，根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD，同理可证BM=BN，CD=CN，变形即可得到⑤正确．
【详解】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．
∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；
∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；
同理可证：BM=BN，CD=CN．
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=（AB+AC﹣BC）故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
14、1．
【分析】连接BD，根据的等腰直角三角形的性质由ASA证明△BED≌△CFD，得出AE＝BF，BE＝CF，由勾股定理即可得出结果．
【详解】连接BD，如图所示：
∵D是AC中点，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C＝41°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC，AB＝BC
∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，
∴∠EDB＝∠CDF，
在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE＝FC＝3，
∴AE＝BF＝4，
在RT△BEF中，EF＝＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握好等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定.
15、
【分析】由已知条件，根据角平分线的性质，边AB上的高等于CD的长n，再由三角形的面积公式求得△ABD的面积．
【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴点D到AB的距离为CD的长，
∴S△ABD=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形面积的计算．本题比较简单，直接应用角平分线的性质进行解题，属于基础题．
16、＞
【分析】先把4写成，再进行比较．
【详解】
故填：＞．
【点睛】
本题考查实数比较大小，属于基础题型．
17、1
【分析】原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】∵x+y=8，xy=12，
∴=（x+y）2-3xy=64-36=1．
故答案为1.
【点睛】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18、
【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理逆定理证明，在计算面积即可；
【详解】连接BD，
∵∠A=90°，AB=2，AD=，
∴,
又∵CD=3，BC=5，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）1＜AD＜7；（2）①2＜EF＜6；②CE⊥ED，理由见解析
【分析】（1）在△ABE中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；
（2）①延长ED到点N，使，连接CN、FN，由SAS证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在△CFN中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；
②延长CE与DA的延长线交于点G，易证DG∥BC，得出，由ASA证得，得出，即可证得，由，根据等腰三角形的性质可得出．
【详解】（1）在△ABE中，由三角形的三边关系定理得：
，即
，即
故答案为：；
（2）①如图②，延长ED到点N，使，连接CN、FN
∵点D是BC边上的中点
在△NDC和△EDB中，
是等腰三角形，
在△CFN中，由三角形的三边关系定理得：
，即
；
②；理由如下：
如图③，延长CE与DA的延长线交于点G
∵点E是AB中点
在△GAE和△CBE中，
，即
．（等腰三角形的三线合一）
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
20、（1）（m-n）2，，；（2）1；（3）
【分析】（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释；
（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2=a2+2ab+b2，（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
对a，b数值变换后的几何图解法，充分利用了数形结合的思想方法；
（3）图③的面积计算也有两种方法，方法一是大长方形(长为的2m+n，宽为m+n)的面积是(2m+n)(m+n)，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式．
【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为m-n，
根据阴影部分正方形面积计算公式可得S阴=（m-n）2，
方法2：大正方形边长为m+n，面积是：（m+n）2，四个长为m，宽为n的长方形的面积是4mn，
阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积S阴=（m+n）2-4mn，
方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即（m-n）2=（m+n）2-4mn，
故答案为：（m-n）2，，；
（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2，
（a+b）2=（a-b）2+4ab，
=52-4×6
=25-24
=1
∴（a+b）2=1；
（3）计算图③的面积方法一是看作一个完整的长方形长为（m+n）宽为（2m+n），面积是：（m+n）（2m+n）
方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积2m2，3个长为m，宽为n的长方形的面积即3mn，1个边长为n的正方形的面积n2，
他们的面积和是：2m2+3mn+n2，
方法一和方法二的计算结果相等即为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了完全平方式和整式的混合运算，主要考查学生的理解能力和计算能力．
21、．数轴表示见解析
【分析】先分别求出各不等式的解集，然后再确定其公共部分即为不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由不等式①解得，，
由不等式②解得，，
所以，原不等式组的解集是．
在数轴上表示如下：
【点睛】
本题考查了不等式组的解法，掌握解不等式和确定不等式组解集的方法是解答本题的关键．
22、（1）AC= 13cm；（1）2cm1．
【分析】（1）根据已知及勾股定理的逆定理可得△ABD，△ADC是直角三角形，从而不难求得AC的长．
（1）先根据三线合一可知：AD是高，由三角形面积公式即可得到结论．
【详解】（1）∵D是BC的中点，BC=10cm，∴DC=BD=5cm．
∵BD1+AD1=144+15=169，AB1=169，∴BD1+AD1=AB1，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴△ADC也是直角三角形，且AC是斜边，∴AC1=AD1+DC1=AB1，∴AC=13（cm）．
（1）∵AB=AC=13，BD=CD，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×10×11=2．
答：△ABC的面积是2cm1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是得出中线AD是BC上的高线．
23、（1）5；（2）±；（3）见解析
【分析】（1）根据代入可得结果；
（2）先根据，计算的值，再由即可求解；
（3）由可知题目错误，由错误题目求解可以得出结果错误．
【详解】解：（1）当时，，
；
（2）当时，，
，
；
（3）由题可知x>0，∴，
∵
不能等于，
即使当时，，
的值也不对；
题干错误，答案错误，故老师指出了两个错误．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的运用．将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
24、（1）推导见解析；（2），．
【分析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:;（2）根据配方法和立方差公式可得.
【详解】解:
解：
【点睛】
考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.
25、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD=∠DAE；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AF=BC．
【详解】证明:，为线段BE的中点，
,
，
(2).
,
又,
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
26、（1）；（1）S1+S1=4，见解析
【分析】（1）先证明△ADE≌△CDB，得到DE=DB=1，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE．
（1）过点G作CD，DA的垂直线，垂足分别为P，Q，证明△MGP≌△NGQ，所以S1+S1=S△AGQ+S△CGP= S△ACD-S四边形GQDP，即可求解．
【详解】（1）在△ABC中，CD⊥AB，AF⊥BC
∴∠ADC=∠AFB=90°
∵∠AED=∠CEF
∴∠EAD=∠BCD
在△ADE和△CDB中
∴△ADE≌△CDB
∴DE=DB=1
∴AE=
（1）在△ABC中，CD⊥AB，DA=DC=4，
点G是AC的中点
过点G作CD，DA的垂直线，垂足分别为P，Q．
则，GP=GQ=DA=1
∠PGQ=90°=∠GQN=∠GPM
∵GN⊥GM
∴∠MGN=90°
∴∠MGP=∠NGQ
∴△MGP≌△NGQ
S1+S1=S△AGQ+S△CGP= S△ACD-S四边形GQDP=
故答案为：4
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，利用三角形中位线性质求线段长度．