辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年八年级数学第一学期期末综合测试试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年八年级数学第一学期期末综合测试试题【含解析】，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列各式从左到右的变形正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．分式和的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（ ）
A．3.5B．7C．14D．28
3．下列说法不正确的是 （ ）
A．的平方根是B．-9是81的一个平方根
C．D．0.2的算术平方根是0.02
4．关于函数y＝﹣3x+2，下列结论正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣3，2）B．图象经过第一、三象限
C．y的值随着x的值增大而减小D．y的值随着x的值增大而增大
5．在△ABC中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B等于（ ）
A．50°B．55°C．45°D．40°
6．如图，直线，点、在上，点在上，若、，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
8．下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．= -1B．=C．=D．=
10．如图，正方期ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且为F，则EF的长为（ ）

A．2B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形，其中，的坐标分别为和．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正三角形的顶点，，中，会过点的是点__________．
12．如图， 中， ，以为边在的外侧作两个等边和，，则的度数为________．
13．对于两个非0实数x，y，定义一种新的运算：，若，则值是______
14．在的运算结果中系数为，那么的值为_____________．
15．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是________．
16．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.
17．将正比例函数y＝﹣3x的图象向上平移5个单位，得到函数_____的图象．
18．写出一个能说明命题：“若，则”是假命题的反例：__________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．
21．（6分）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因.为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．
22．（8分）如图，点，，，在一条直线上，，，.求证：.
23．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C坐标分别是（a，5），（﹣1，b）．
（1）求a，b的值；
（2）在图中作出直角坐标系；
（3）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE=60°.
（1）求∠ADB的度数 .
（2）判断△ABE的形状并证明 .
（3）连结DE，若DE⊥BD，DE＝6，求AD的长
25．（10分）先化简，再求值：（2x+1）（2x−1）−（x+1）（3x−2），其中x= −1．
26．（10分）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位.
(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】当所有的分母都是单项式时，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．再结合题意即可求解．
【详解】∵和的最简公分母是
∴选C
故选：C
【点睛】
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂最为最简公分母，本题属于基础题．
2、B
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝2，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
∵AB＝7，
∴△ABD的面积是：＝＝7，
故选：B．
【点睛】
本题是对角平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键.
3、D
【分析】依据平方根、算术平方根的性质进行判断即可．
【详解】A、的平方根是，故A正确，与要求不符；
B、-9是81的一个平方根，故B正确，与要求不符；
C、，故C正确，与要求相符；
D、0.2的算术平方根不是0.02，故D错误，与要求相符．
故选D．
【点睛】
本题主要考查的是平方根、算术平方根的性质，熟练掌握平方根、算术平方根的性质是解题的关键．
4、C
【解析】根据一次函数的性质和一次函数图象的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【详解】A．把x＝﹣3代入y＝﹣3x+2得：y＝11，即A项错误，
B．函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，即B项错误，
C．y的值随着x的增大而减小，即C项正确，
D．y的值随着x的增大而减小，即D项错误，
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质和一次函数图象是解题的关键．
5、C
【详解】解：∵△ABC中，∠C=55°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-55°=125°①，
∵∠A-∠B=35°②，
∴①-②得，2∠B=90°，解得∠B=45°
故选C
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，难度不大．
6、B
【分析】根据等边对等角的性质，可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，同旁内角互补即可求得∠1的度数．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠1=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与等边对等角定理的应用．
7、C
【分析】可设正多边形一个外角为x，则一个内角为4x，根据一个内角和一个外角互补列方程解答即可求出一个外角的度数，再根据多边形的外角和为360°解答即可．
【详解】设正多边形一个外角为x，则一个内角为4x，根据题意得：
x+4x=180°
x=36°
360°÷36°=10
故这个正多边形为十边形．
故选：C
【点睛】
本题考查的是正多边形的外角与内角，掌握正多边形的外角和为360°是关键．
8、A
【分析】用平方差公式和完全平方公式分别计算，逐项判断即可.
【详解】解：A．，故A正确；
B．应为，故B错误；
C．应为，故C错误；
D．应为，故D错误．
故选A．
【点睛】
本题考查平方差公式及完全平方公式的计算．
9、A
【解析】==－1，A选项正确；
≠，B选项错误；
≠，C选项错误；
（－）2=，D选项错误.
故选A.
点睛：掌握分式的性质.
10、D
【分析】在AF上取FG=EF，连接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EG=，∠EGF=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根据等角对等边可得AG=EG，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BF=EF，设EF=x，最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可．
【详解】解：如图，在AF上取FG=EF，连接GE，
∵EF⊥AB，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG=EF，∠EGF=45°，
由三角形的外角性质得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，
∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，
∴∠BAE=∠AEG=22.5°，
∴AG=EG，
在正方形ABCD中，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF，
设EF=x，∵AB=AG+FG+BF，
∴4=x+x+x，
解得x=
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出等腰直角三角形并根据正方形的边长AB列出方程．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、C
【分析】先得到三角形的边长为1，再计算2020-2=2018，2018÷3=672……2，而672=224×3，即向右滚动672个60°后点A过点（2020，0），此时再绕A滚动60°点C过点（2020，1）．
【详解】∵C，B的坐标分别为（2，0）和（1，0），
∴三角形的边长为1，
∴三角形每向右滚动60°时，其中一个点的纵坐标为，
∵2020-2=2018，
2018÷3=672，
而672=224×3，
∴点A过点（2020，0），
∴点C过点（2020，1）．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，1．
12、20°．
【分析】首先利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出各个角的度数，进而利用四边形内角和定理求出2∠ABC的度数，最后再计算出∠BAC的度数即可．
【详解】∵，以为边在的外侧作两个等边和，
∴，，，，
，
，
∴∠BAC=180°-160°=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和四边形内角和定理等知识，根据已知得出是解暑关键．
13、-1
【分析】根据新定义的运算法则即可求出答案．
【详解】解：∵1∗(−1)=2，∴，即a−b=2，
∴．
故答案为−1．
【点睛】
本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想．
14、
【分析】先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中x2的系数是−2，列出关于a的等式求解即可．
【详解】解：（x＋1）（2x2＋ax＋1）
＝2x3＋ax2＋x＋2x2＋ax＋1
＝2x3＋（a＋2）x2＋（1＋a）x＋1；
∵运算结果中x2的系数是−2，
∴a＋2＝−2，
解得a＝−1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了多项式的乘法，注意运用运算结果中x2的系数是−2，列方程求解．
15、140°．
【解析】∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为140°．
16、6； 3×1.
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．
【详解】解： 如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=3，
∴A2B1=3，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1=6，
a3=4a1，
a4=8a1，
a5=16a1，
以此类推：a2019=1a1=3×1
故答案是：6；3×1．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
17、y=-3x+1
【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．
【详解】解：原直线的k=-3，b=0；向上平移1个单位得到了新直线，那么新直线的k=-3，b=0+1=1．
∴新直线的解析式为y=-3x+1．
故答案为y=-3x+1.
【点睛】
求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化，掌握这点很重要．
18、（注：答案不唯一）
【分析】根据假命题的判断方法，只要找到满足题设条件，而不满足题设结论的a，b值即可．
【详解】当时，
根据有理数的大小比较法则可知：
则此时满足，但不满足
因此，“若，则”是假命题
故答案为：．（注：答案不唯一）
【点睛】
本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、见解析
【解析】试题分析：根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形．
试题解析：如图所示，
20、（1）见解析；（1）k＜1．
【分析】（1）先求出△的值，再根据△的意义即可得到结论；
（1）利用求根公式求得，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答．
【详解】（1）△＝（k﹣1）1﹣4（k﹣1）＝k1﹣1k+1﹣4k+8＝（k﹣3）1
∵（k﹣3）1≥0，
∴方程总有两个实数根．
（1）∵，
∴x1＝﹣1，x1＝1﹣k．
∵方程有一个根为正数，
∴1﹣k＞0，
k＜1．
【点睛】
考查了根的判别式．体现了数学转化思想，属于中档题目．
21、每套《水浒传》连环画的价格为120元
【分析】设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格为(x+60)元，根据等量关系“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列方程进行求解即可得.
【详解】设每套《水浒传》连环画的价格为元，则每套《三国演义》连环画的价格为元，由题意，
得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：每套《水浒传》连环画的价格为120元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找到题中的等量关系是解题的关键，注意解完方程后要进行检验.
22、见解析
【分析】根据得出,根据平行得出,,从而得出三角形全等.
【详解】证明：∵,
∴.
∵,
∴,
∴在和中,
∴.
∴.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理、平行线的性质定理，能够熟练运用性质定理是解题的关键.
23、（1）a=﹣4，b=3；（2）如图所示，见解析；（3）△A'B'C'如图所示，见解析．
【分析】（1）根据点A的纵坐标和点C的横坐标即可画出直角坐标系，即可判定a，b的值；
（2）根据点A的纵坐标和点C的横坐标即可画出直角坐标系；
（3）根据轴对称的性质，先找出各点的对称点，然后连接即可.
【详解】（1）由题意平面直角坐标系如图所示，
可得：a=﹣4，b=3
（2）如图所示：
（3）△A'B'C'如图所示：
【点睛】
此题主要考查平面直角坐标系的确定以及轴对称图形的画法，熟练掌握，即可解题.
24、（1）150°；（2）△ABE是等边三角形，理由详见解析；（1）1.
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，DB＝DC，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题；
（2）利用ASA证明△ABD≌△EBC得到AB＝BE，结合∠ABE＝60°可得△ABE是等边三角形；
（1）首先证明△DEC是含有10度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB＝DC，∠BDC＝60°，
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝（160°−60°）＝150°；
（2）△ABE是等边三角形．
证明：∵∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵∠ADB＝∠BCE＝150°，BD＝BC，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB＝BE，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形；
（1）连接DE．
∵∠BCE＝150°，∠DCB＝60°，
∴∠DCE＝90°，
∵∠EDB＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠EDC＝10°，
∴EC＝DE＝1，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC＝1．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、10度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
25、（1）；3
【分析】利用平方差公式以及多项式乘多项式展开后，再合并同类项，代入x= −1即可求解．
【详解】
，
当时，
原式．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握整式乘法的计算法则，正确把式子化简．
26、 (1)计划36座的新能源客车6辆，共有218名志愿者；(2)调配36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆.
【分析】(1)设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者.列方程组，得解方程组可得；(2)设调配36座新能源客车辆，22座新能源客车辆，根据题意，得，求正整数解；
【详解】解：(1)设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者.
列方程组，得
解得
∴计划36座的新能源客车6辆，共有218名志愿者.
(2)设调配36座新能源客车辆，22座新能源客车辆，
根据题意，得，正整数解为
∴调配36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆.
【点睛】
考核知识点：二元一次方程组的运用.理解题意是关键.