辽宁省沈阳市实验北2023年数学八年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳市实验北2023年数学八年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题【含解析】，共26页。试卷主要包含了方差，计算的结果是等内容，欢迎下载使用。

注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）．
A．4B．3C．2D．1
2．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击命中环数的数据绘制成如图的统计图，则这组数据的众数和极差分别是（ ）
A．10、6B．10、5C．7、6D．7、5
3．在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
4．己知x,y满足方程组，则x+y的值为（ ）
A．5B．7C．9D．3
5．分式方程＝的解是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝1D．无解
6．禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
7．方差：一组数据：2，，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，是这组数据的方差是（ ）
A．10B．C．2D．
8．一等腰三角形的两边长x、y满足方程组则此等腰三角形的周长为 ( ）
A．5B．4C．3D．5或4
9．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
10．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．51B．49C．76D．无法确定
12．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61和63B．63和65C．65和67D．64和67
二、填空题（每题4分，共24分）
13．的绝对值是________.
14．如图:在中,,以顶点为圆心,适当长为半径画弧,分别交、于点、,再分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,作射线交于点,若,,则的面积为____.
15．如图,在方格纸中,以AB为一边做△ABP,使之与△ABC全等,从 P1,P2,P3,P4,四个点中,满足条件的点P有_____个
16．按一定规律排成的一列数依次为……照此下去，第个数是________ ．
17．将点P1(m，1)向右平移3个单位后得到点P2(2，n)，则m+n的值为_____．
18．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有_____（将所有正确答案的序号填写在横线上）．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE，BF交于点P.
（1）求证：BF＝CE；
（2）求∠BPC的度数．
20．（8分）如图，一块四边形的土地，其中，，，，，求这块土地的面积．
21．（8分）如图，是等边三角形，为上两点，且，延长至点，使，连接．
（1）如图1，当两点重合时，求证：；
（2）延长与交于点．
①如图2，求证：；
②如图3，连接，若，则的面积为______________．
22．（10分）如图，点，过点做直线平行于轴，点关于直线对称点为．
（1）求点的坐标；
（2）点在直线上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在直线上，求点的坐标和直线的解析式；
（3）设点在直线上，点在直线上，当为等边三角形时，求点的坐标．
23．（10分）如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．
（1）则____________；
（2）当为何值时，点在边的垂直平分线上？此时_________?
（3）当点在边上运动时，直接写出使成为等腰三角形的运动时间．
24．（10分）如图，点在线段上，，，，是的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
25．（12分）张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼.
（1）周日早上点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为千米和千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行米，求张康和李健的速度分别是多少米分？
（2）两人到达绿道后约定先跑千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地分钟.
①当，时，求李健跑了多少分钟？
②求张康的跑步速度多少米分？（直接用含，的式子表示）
26．如图，P是正方形ABCD的边BC上的一个动点(P与B、C不重合)连接AP，过点B作交CD于E，将沿BE所在直线翻折得到，延长交BA的延长长线于点F．
（1）探究AP与BE的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC时，求EF的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;
②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分.
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示：
则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故选B．
【点睛】
本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.
2、D
【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据极差的定义用最大值减去最小值即可得出答案．
【详解】解：由条形统计图可知7出现的次数最多，则众数是7（环）；
这组数据的最大值是10，最小值是5，则极差是10﹣5＝5；
故选D．
【点睛】
本题考查众数和极差，众数是一组数据中出现次数最多的数；极差是最大值减去最小值．
3、A
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】∵∠BAC=115°，
∴∠B+∠C=65°，
∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EA=EB，GA=GC，
∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，
∴∠EAG=∠BAC-（∠EAB+∠GAC）=∠BAC-（∠B+∠C）=50°，
故选A．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4、A
【分析】直接把两式相加即可得出结论．
【详解】，
+②得，4x+4y=20，解得x+y=1．
故选A．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键．
5、A
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验.
6、B
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】．
故选：B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7、B
【分析】先根据中位数是3，得到数据从小到大排列时与3相邻，再根据中位数的定义列方程求解即得的值，最后应用方差计算公式即得．
【详解】∵这组数据的中位数是3
∴这组数据按照从小到大的排列顺序应是1，2，，3，4，5或1，2， 3，，4，5
∴
解得：
∴这组数据是1，2，3，3，4，5
∴这组数据的平均数为
∵
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了中位数的定义和方差的计算公式，根据中位数定义应用方程思想确定的值是解题关键，理解“方差反映一组数据与平均值的离散程度”有助于熟练掌握方差计算公式．
8、A
【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
【详解】解：解方程组，得，
所以等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为2．
所以，这个等腰三角形的周长为2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
9、D
【分析】根据幂的乘方：底数不变，指数相乘；以及积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行运算，即可求解．
【详解】解：，
故选D．
【点睛】
本题考察积的乘方以及幂的乘方运算，较容易，熟练掌握积的乘方以及幂的乘方运算法则是顺利解题的关键．
10、C
【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案．
【详解】解：∵多边形的每个内角都是108°，
∴每个外角是180°﹣108°=72°，
∴这个多边形的边数是360°÷72°=5，
∴这个多边形是五边形，
故选C.
【点睛】
此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．
11、C
【解析】试题解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169，
解得x=1．
故“数学风车”的周长是：（1+6）×4=2．
故选C．
12、B
【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．
【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】根据绝对值的意义，实数的绝对值永远是非负数，负数的绝对值是它的相反数，即可得解.
【详解】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得
故答案为.
【点睛】
此题主要考查绝对值的意义，熟练掌握，即可解题.
14、6
【解析】作⊥，由角平分线的性质知，再根据三角形的面积公式计算可得．
【详解】作于．
由作图知是的平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15、3
【分析】根据，并且两个三角形有一条公共边，所以可以作点C关于直线AB以及线段AB的垂直平分线的对称点，得到两个点P，再看一下点P关于直线AB的对称点，即可得出有3个这样的点P.
【详解】解：由题可知，以AB为一边做△ABP使之与△ABC全等，
∵两个三角形有一条公共边AB，
∴可以找出点C关于直线AB的对称点，即图中的，
可得：；
再找出点C关于直线AB的垂直平分线的对称点，即为图中点，
可得：；
再找到点关于直线AB的对称点，即为图中，
可得：；
所以符合条件的有、、；
故答案为3.
【点睛】
本题考查全等以及对称，如果已知两个三角形全等，并且有一条公共边，可以考虑用对称的方法先找其中的几个点，然后再作找到的这些点的对称点，注意找到的点要检验一下，做到不重不漏.
16、
【分析】根据题目给出数列的规律即可求出答案．
【详解】解：分子可以看出：
故第10个数的分子为：
分母可以看出：第奇数个分母是其个数的平方加1，例如：12+1=2，32+1=10，52+1=26，
第偶数个分母是其个数的平方减1，例如：22-1=3，42-1=15，62-1=35，
故这列数中的第10个数是：
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，正确得出分母的变化规律是解题关键．
17、1
【分析】根据平移规律进行计算即可．
【详解】∵点P1(m，1)向右平移3个单位后得到点P2(2，n)，
∴m+3=2，n=1，
∴m=－1，
∴m+n=－1+1=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了点的坐标平移规律，熟练掌握平移规律是解题的关键．
18、①③④.
【分析】①根据角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠DCE=∠ACD，根据外角的性质即可得到结论；
②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；
③由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到结论；
④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论．
【详解】①BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC= (∠BAC+∠ABC)=∠EBC+∠BAC，
∴∠BEC=∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误；
③BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE=∠GEB，
∴∠ABE=∠GEB，
∴BG=GE，
同理CH=HE，
∴BG−CH=GE−EH=GH，
∴BG=CH+GH，
故③正确；
④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN=ED，
∴EN=EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如图，
则∠BAC=180−2z，∠ACB=180−2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180，
∴2y+180−2z+180−2x=180，
∴x+z=y+90，
∵z=y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB=y+90，
∴x+∠AEB=90，
即∠ACE+∠AEB=90，
故④正确.
故答案为①③④.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质和判定，三角形内角和定理， 三角形的外角性质等多个知识点.判断出AE是△ABC的外角平分线是关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）先根据等边三角形和已知条件证明△ABF≌△BCE，然后根据全等三角形的性质证明即可；
（2）先证明∠ABF=∠BCE，再运用等量代换说明∠BCE+∠FBC=60°，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
在△ABF和△BCE中
∴△ABF≌△BCE
∴BF=CE；
（2）∵△ABF≌△BCE
∴∠ABF=∠BCE
∵∠ABF+∠FBC=60°
∴∠BCE+∠FBC=60°
∴∠BPC=180°-（∠BCE+∠FBC）=180°-60°=120°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
20、36cm2
【分析】根据勾股定理逆定理证BD⊥BC，再根据四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积.
【详解】解：∵AD=3cm，AB=4cm，∠BAD=90°，
∴BD=5cm.
又∵BC=12cm，CD=13cm，
∴BD2+BC2=CD2.
∴BD⊥BC.
∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积==6+30=36（cm2）.
故这块土地的面积是36m2.
【点睛】
考核知识点：勾股定理逆定理应用.推出直角三角形，再求三角形面积是关键.
21、（1）见解析；（1）①见解析；②1．
【分析】（1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；
（1）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=110°，BH=EC，于是可根据SAS证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；
②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积=，而BC和CG可得，问题即得解决．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
当D、E两点重合时，则AD=CD，∴，
∵，∴∠F=∠CDF，
∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，
∴∠CBD=∠F，∴；
（1）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，
∴△AHE是等边三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，
∵，CD=CF，∴EH=CF，
又∵∠BHE=∠ECF=110°，∴△BHE≌△ECF（SAS），
∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，
∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，
∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，
∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；
②∵∠BGE=60°，∠EBD=30°，∴∠BEG=90°，
∵EB=EF，∴∠F=∠EBF=45°，
∵∠EBG=30°，BG=4，∴EG=1，BE=1，
∴BF=，，
过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACB=60°，∴∠MEC=30°，∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，∴∠GCF=90°=∠GCB，
∴，
∴△BCG的面积=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．
22、（1）（3，0）；（2）A（1，）；直线BD为；（3）点P的坐标为（，）或（，）.
【分析】（1）根据题意，点B、C关于点M对称，即可求出点C的坐标；
（2）由折叠的性质，得AB=CB，BD=AD，根据勾股定理先求出AM的长度，设点D为（1，a），利用勾股定理构造方程，即可求出点D坐标，然后利用待定系数法求直线BD.
（3）分两种情形：如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．证明点P在AC的垂直平分线上，构建方程组求出交点坐标即可．如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，可得∠CAQ=∠CBP=30°，构建方程组解决问题即可．
【详解】解：（1）根据题意，
∵点B、C关于点M对称，且点B、M、C都在x轴上，
又点B（），点M（1，0），
∴点C为（3，0）；
（2）如图：
由折叠的性质，得：AB=CB=4，AD=CD=BD，
∵BM=2，∠AMB=90°，
∴，
∴点A的坐标为：（1，）；
设点D为（1，a），则DM=a，BD=AD=，
在Rt△BDM中，由勾股定理，得
，
解得：，
∴点D的坐标为：（1，）；
设直线BD为，则
，解得：，
∴直线BD为：；
（3）如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．
∵△ABC，△CPQ都是等边三角形，
∴∠ACB=∠PCQ=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵CA=CB，CP=CQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP=BQ，
∵AD垂直平分线段BC，
∴QC=QB，
∴PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
由，解得，
∴P（，）．
如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，
∴∠CAQ=∠CBP=30°，
∵B（-1，0），
∴直线PB的解析式为，
由，解得：，
∴P（，）.
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
23、（1）11；（1）t=11.5s时，13 cm；（3）11s或11s或13.1s
【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；
（1）由线段垂直平分线的性质得到PC= PA=t，则PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判断出此时，点Q在边AC上，根据CQ=1t-BC计算即可；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）在Rt△ABC中，BC(cm)．
故答案为：11；
（1）如图，点P在边AC的垂直平分线上时，连接PC，
∴PC= PA=t，PB=16-t．
在Rt△BPC中，，即，
解得：t=．
∵Q从B到C所需的时间为11÷1=6(s)，＞6，
∴此时，点Q在边AC上，CQ=(cm)；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ=BQ时，如图1所示，
则∠C=∠CBQ．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷1=11(s)．
②当CQ=BC时，如图1所示，
则BC+CQ=14，
∴t=14÷1=11(s)．
③当BC=BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE，
∴CE=7.1．
∵BC=BQ，BE⊥CQ，
∴CQ=1CE=14.4，
∴BC+CQ=16.4，
∴t=16.4÷1=13.1(s)．
综上所述：当t为11s或11s或13.1s时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
24、 (1) 证明见解析；(2)
【分析】(1)由“SAS”可证△ADC≌△BCE，可得CD=CE，由等腰三角形的性质可得结论；
(2)由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【详解】(1)在和中，
，
∴，
∴，
又∵是的中点，
∴；
(2)由(1)可知，，
∴，，
又∵，
∴，
∵
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ADC≌△BCE是本题的关键．
25、（1）李康的速度为米分，张健的速度为米分.（2）①李健跑了分钟，②
【分析】（1）设李康的速度为米分，则张健的速度为米分，根据两人所用的时间相等列出方程求解即可得出答案；
（2）①李健跑的时间=，将，代入计算即可得解；
②先用含有a,b的代数式表示出张康的跑步时间，再用路程除以时间即可得到他的速度.
【详解】（1）设李康的速度为米分，则张健的速度为米分，
根据题意得：
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
.
答：李康的速度为米分，张健的速度为米分.
（2）①，，
（分钟）.
故李健跑了分钟；
②李健跑了的时间：分钟，
张康跑了的时间：分钟，
张康的跑步速度为：米分.
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，行程问题里通常的等量关系是列出表示时间的代数式，然后根据时间相等或多少的关系列出方程并求解，要注意两个层面上的检验.
26、（1）AP=BE，证明见解析；（1）．
【分析】（1）AP=BE，要证AP=BE，只需证△PBA≌△ECB即可；
（1）过点E作EH⊥AB于H，如图．易得EH=BC=AB=2，BP=1，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP（即BE）=，BH=1．易得DC∥AB，从而有∠CEB=∠EBA．由折叠可得∠C′EB=∠CEB，即可得到∠EBA=∠C′EB，即可得到FE=FB．设EF=x，则有FB=x，FH=x-1．在Rt△FHE中运用勾股定理就可解决问题；
【详解】（1）解：（1）AP=BE．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°．
∵BE⊥AP，∴∠PAB+∠EBA=90°，
∴∠PAB=∠CBE．
在△PBA和△ECB中，

∴△PBA≌△ECB，
∴AP=BE；
（1）过点E作EH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴EH=BC=AB=2．
∵BP=1PC，
∴BP=1，PC=1
∴BE=AP=
∴BH=
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB=∠EBA．
由折叠可得∠C′EB=∠CEB，
∴∠EBA=∠C′EB，
∴EF=FB．
设EF=x，则有FB=x，FH=x-1．
在Rt△FHE中，
根据勾股定理可得x1=（x-1）1+21，
解得x=，
∴EF=
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．