山东省泰安市2023_2024学年高二数学上学期12月月考试题

这是一份山东省泰安市2023_2024学年高二数学上学期12月月考试题，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知空间向量，满足，则实数值是（）
A. B. C. D.
2. 等差数列中中，，，则（）
A. 5B. 8C. 10D. 14
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（）
A. B. C. D.
4. 设，则数列的最大项是（）
A. B. C. D.
5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
6. 首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为
A. B.
C. D.
8. 已知数列，满足，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 空间中三点是坐标原点，则（）
A. B.
C. 点关于平面对称的点为D. 与夹角的余弦值是
10. 下列四个命题正确的是（）
A. 直线的一个方向向量是
B. 设直线过点，则这条直线的方程可以写成
C. 直线与圆相交
D. 圆与圆恰有三条公切线
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在准线上的射影为，则（）
A. 若，则
B. 若点的坐标为，则的最小值为4
C.
D. 若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条
12. 已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（）
A. 为递增数列B. 为等差数列
C. 当取得最大值时，D. 当时，d的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______
14. 直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______.
15. 如图正方形BCDE的边长为，已知，将直角沿BE边折起，点在面BCDE上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：
（1）与所成角的正切值是；
（2）的体积是；
（3）；
（4）平面平面；
（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.
其中正确的叙述有______（写出所有正确结论的编号）.
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列中，
（1）已知，，求与；
（2）已知，求.
18. 已知圆的圆心为，且与轴相切.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于，两点，，求的值.
19. （1）已知数列满足，.
①证明：数列等差数列；
②求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的通项公式.
20. 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
21. 如图，在三棱锥中，侧面等边三角形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
22. 如图，椭圆焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值.
泰安二中高二上学期12月月考数学试题
时间：120分钟满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，满足，则实数的值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】由已知条件得出，解得.
故选：D
2. 在等差数列中中，，，则（）
A. 5B. 8C. 10D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件利用等差数列性质计算即可得解.
【详解】在等差数列中中，，则，于是得，
所以.
故选：C
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率结合即可求解.
【详解】由题意知离心率，且双曲线，所以，，
所以双曲线为，所以渐近线方程为，故C正确.
故选：C.
4. 设，则数列的最大项是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数性质求解．
【详解】，
∵，
∴时，．
故选：B.
【点睛】本题考查数列中的项的最值．数列作为特殊的函数，可以利用函数性质求最值，只是要注意作为函数其自变量取值是正整数．
5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．
【详解】因为，
所以，
则点到直线的距离为.
故选：C.
6. 首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析，，从而求解.
【详解】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数，
所以，即，解得，故D正确.
故选：D.
7. 以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意, 以为焦点的抛物线的准线y=代入双曲线,可得，
∵△MNF为正三角形，
∴，
∵p>0,∴，
∴抛物线C的方程为，
故选C.
8. 已知数列，满足，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由求得，即得，把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项．
【详解】由题意，时，，
综上，，
题设不等式为，整理得，
记，则，
当时，，，时，，，
所以是中的最大值，，
所以．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 空间中三点是坐标原点，则（）
A. B.
C. 点关于平面对称的点为D. 与夹角的余弦值是
【答案】AB
【解析】
【分析】利用空间向量的求模公式，数量积公式及点的对称性即可判定.
【详解】由题意可得：，，
所以，故A正确；
，即，故B正确；
点关于平面对称的点为，故C错误；
，故D错误.
故选：AB
10. 下列四个命题正确的是（）
A. 直线的一个方向向量是
B. 设直线过点，则这条直线的方程可以写成
C. 直线与圆相交
D. 圆与圆恰有三条公切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线的方向向量、直线方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，直线的斜率是，
所以一个方向向量是，A选项错误.
B选项，直线过点，
则，
所以直线方程可化为，
即，所以B选项正确.
C选项，圆的圆心为，半径为，
到直线的距离，
所以直线与圆相交，C选项正确.
D选项，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距，所以两圆外切，
所以圆与圆恰有三条公切线，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在准线上的射影为，则（）
A. 若，则
B. 若点的坐标为，则的最小值为4
C.
D. 若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抛物线的弦长、定义、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】抛物线方程为，所以，焦点，准线方程.
A选项，若，则，A选项正确.
B选项，点在抛物线内，
根据抛物线的定义可知的最小值是到准线的距离，
即最小值，所以B选项错误.
C选项，设直线的方程为，
由消去并化简得，
所以，
则，
所以，
所以C选项正确.
D选项，直线和直线都过，且与抛物线有一个公共点，
当过的直线斜率存在时，设直线方程为，
由消去并化简得，
由，解得，
所以直线与抛物线有一个公共点，
所以满足条件的直线有条，D选项错误.
故选：AC
【点睛】思路点睛：求解直线和抛物线位置关系有关问题，可设出直线的方程，然后将直线方程和抛物线方程联立，化简后写出根与系数关系、判别式等等，再结合抛物线的定义来对问题进行求解.
12. 已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（）
A. 为递增数列B. 为等差数列
C. 当取得最大值时，D. 当时，d的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到，，，，则可判断AC，而则可判断B，而通过，，则可得到关于的不等式组，即可判断D.
【详解】对A，，即，，
即，，则，而，故，
故为递减数列，故A错误；
对B，设的首项为，则，
，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故B正确；
对C，由A知，即，则，而，即，
则，而，当取得最大值时,，故C错误；
对D，当时，由A知，，即，
即，解得，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】表示点与点的距离，由圆的性质可求．
【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆心到点距离为，
∴所求最大值为．
【点睛】设圆的半径为，圆心到平面上一点的距离为，则圆上的点到点距离的最大值为，最小值为．
14. 直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】联立方程组，结合韦达定理，求得，进而求得弦的中点坐标.
【详解】设直线与双曲线的交点为，
联立方程组，整理得，则，且，
设弦的中点为，则，代入直线方程可得，
所以截得弦的中点坐标为.
故答案为：.
15. 如图正方形BCDE的边长为，已知，将直角沿BE边折起，点在面BCDE上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：
（1）与所成角的正切值是；
（2）的体积是；
（3）；
（4）平面平面；
（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.
其中正确的叙述有______（写出所有正确结论的编号）.
【答案】（1）（2）（4）（5）
【解析】
【分析】由，所以（或补角）为与所成的角，可判定（1）正确；由锥体的体积公式，结合，可判定（2）正确；由，结合与不平行，可判定（3）不正确；证得平面，结合面面垂直的判定定理，可判定（4）正确；由平面，在中，结合，可判定（5）正确.
【详解】如图所示，由点在面上的射影为点，且
可得平面，且，
（1）中，由，所以（或补角）为与所成的角，
因为，所以，所以，
所以，所以（1）正确；
（2）中，由正方形的边长为，平面，且，
所以，所以（2）正确；
（3）中，在正方形中，可得，
又因为与相交，所以与不平行，所以（3）不正确；
（4）中，因为平面，平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，所以（4）正确；
（5）中，因为平面，所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
所以（5）正确.
故答案为：（1）（2）（4）（5）.
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】解：如图：设的中点为，连接，，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
由，得，
所以，
在中，，
因为，所以，
在中，，
因为，
所以，即，
整理可得，即，
所以，
所以或（舍），
所以离心率，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列中，
（1）已知，，求与；
（2）已知，求.
【答案】（1），
（2）24
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，求得，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
由，，可得，解得
所以公差的值为3，的值为.
【小问2详解】
解：由是等差数列，因为，解得
所以，故的值为24.
18. 已知圆的圆心为，且与轴相切.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于，两点，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出圆半径，即可得出答案.
（2）先利用余弦定理求出，从而利用勾股定理可得圆心到直线的距离；再根据点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，得出关于的方程即可求解.
【小问1详解】
因为圆的圆心为，且与轴相切，
所以圆的半径，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
因为，，
所以在中，由余弦定理可得：.
所以圆心到直线的距离，
即，解得.
19. （1）已知数列满足，.
①证明：数列是等差数列；
②求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】（1）①证明见解析；②（2）
【解析】
【分析】（1）①证根据题意，化简得到，结合等差数列定义，即可得证；
②根据等差数列的通项公式，即可求得的通项公式；.
（2）根据题意，求得，结合累加法，即可求得数列的通项公式.
【详解】（1）①证明：根据题意，数列满足，
等式两边除以，可得，即，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
②因为数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
（2）由数列满足，可得，
可得，
当时，可得，
又因为，适合上式，
所以数列的通项公式.
20. 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得，则抛物线方程得解；
（2）设出直线的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果.
小问1详解】
根据题意，，则，故抛物线方程为：.
【小问2详解】
显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，
联立抛物线方程可得：，时，
设两点的坐标分别为，则，，
由题可知，，即，解得，此时满足，
故直线恒过轴上的定点.
21. 如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明详见解析
（2）存在，且是线段上，靠近点的三等分点.
【解析】
【分析】（1）设是的中点，通过证明平面来证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，根据平面与平面的夹角求得点的位置.
【小问1详解】
设分别是的中点，连接，
则，由于，所以，
由于三角形是等边三角形，所以，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）可知平面平面，
以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，则，
所以，
，设，
平面的一个法向量是，
，
设平面的一个法向量是，
则，
故可设，
若平面与平面的夹角为，
则，即，
解得（负根舍去），
则，，
所以是线段上，靠近点的三等分点.
22. 如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，得到关于的方程，即可得到结果；
（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由列出方程，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
，，，故椭圆的方程为；
【小问2详解】
依题意设直线的方程为，，
联立方程组，消元得：，
，，
由得：，两边同除，，
即；将代入上式得：
整理得：所以或（舍），
当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为.