2025届高考数学一轮复习教师用书拓展拔高5指对同构讲义（Word附解析）

拓展拔高5　指对同构【高考考情】同构思想,在高考中有非常强烈的体现,不管是小题还是大题,都处在压轴题的位置,备受命题者的青睐,它能够很好地考查学生的数学建模、数学抽象、数学运算的核心素养.【同构法】是证明不等式的一种技巧,通过等价变形使得两边的式子结构相同,从而将两边看成是同一个函数的两个函数值,借助该函数的单调性简化不等式,使问题得以解决.同构法需要有敏锐的观察能力才能找到函数的模型.一、五个常见变形①xex=ex+ln x　②exx=ex-ln x　③xex=eln x-x④x+ln x=ln(xex)　⑤x-ln x=ln exx二、三种基本类型视角一　bln b与xex同构[导思]bln b=eln b·ln b,即ln b·eln b对应xex模型,可构造函数f(x)=xex.[例1]设实数λ>0,若对于任意的x∈(0,+∞),不等式eλx-lnxλ≥0恒成立,则λ的最小值为(　　)A.e B.12e C.1e D.2e【解析】选C.由eλx-lnxλ≥0,得λeλx-ln x≥0,即λxeλx-xln x≥0,也即λxeλx≥xln x.由同构xln x=eln x·ln x,可得(λx)·eλx≥ln x·eln x.设f(x)=xex,则f'(x)=(x+1)ex>0对x∈(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.由(λx)·eλx≥ln x·eln x可得f(λx)≥f(ln x),即λx≥ln x,也即λ≥lnxx,所以λ≥lnxxmax.令g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-lnxx2(x>0).所以当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,g'(x)0),则g'(x)=1+ln x,可知当x∈(0,1e)时,g'(x)0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围为[ 1e,+∞). 【解析】因为x2+xln a-aexln x>0,所以aexln xb±ln b三种同构形式.(2)复杂式的指对同构:比如aeax≤ln x两边同乘x可转化为axeax≤xln x;ax>logax可转化为exln a>lnxlna,两边再同时乘xln a可转化为(xln a)·exln a>xln x;x+1ex≥xa-ln xa可转化为1ex-ln 1ex≥xa-ln xa等.