2025届高考数学一轮复习教师用书第十一章第五节离散型随机变量及其分布列、均值与方差讲义（Word附解析）

第五节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.离散型随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pn=1.【微点拨】分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.4.离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为(1)均值:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的标准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.【微点拨】(1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均状态.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.5.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(4)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(5)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 (　　)A.在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1B.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的C.如果随机变量X的分布列由下表给出,则它服从两点分布D.方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小【解析】选BD.2.(选择性必修三P63例1·变形式)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为 (　　)A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1【解析】选C.某篮球运动员罚球1次的得分为X,X的取值可能为0,1,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.3.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 (　　)A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2【解析】选B.对于A,该组数据的平均数为(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,方差为(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;对于B,该组数据的平均数为(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,方差为(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;对于C,该组数据的平均数为(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,方差为(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.05;对于D,该组数据的平均数为(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.5,方差为(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45.所以B这一组的标准差最大.4.(均值性质应用错误)已知随机变量X的分布列如表:若Y=2X+3,则E(Y)的值为________. 【解析】E(X)=-12+16=-13,则E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.答案:73【核心考点·分类突破】考点一　离散型随机变量分布列的性质[例1](1)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P（54