新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题14 双曲线中的向量问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若斜率为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的直线 SKIPIF 1 < 0 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的上焦点 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线方程消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
判别式 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线 SKIPIF 1 < 0 与C的一个交点为B，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 结合比例易得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
3．已知点P为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A， SKIPIF 1 < 0 为双曲线C的左焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则渐近线l的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，①
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，②
联立①②可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由P在双曲线上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
4．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．9C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由点P为AB的中点，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将P点代入双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
5．过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交双曲线的渐近线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 在第二象限，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【解析】由题意得：由双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
6．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线的右支于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，者 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】如下图所示，取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，

因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此，该双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的左顶点 SKIPIF 1 < 0 作一条与渐近线平行的直线与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一个动点，当 SKIPIF 1 < 0 分别取得最小值和最大值时，点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标分别记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的左焦点 SKIPIF 1 < 0 、右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是两曲线的一个交点，且 SKIPIF 1 < 0 .过 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为45°的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方），且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】不妨设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且C的一条渐近线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（ ）
A．C的离心率为2
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的方程为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）的面积为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的焦距为 SKIPIF 1 < 0
【解析】对A，双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为C的一条渐近线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点P在圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 . 又离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对C，由Ｂ得， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对D，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以C的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确.
故选：ABD.
10．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象开口向上，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 的值可以是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .故选：BCD.
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直B． SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）
【解析】由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 轴，即 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，易知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C的渐近线的斜率的平方为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D错误．
故选：AB．
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的斜率的可能取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－ SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．－ SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．故选：AB.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设双曲线C的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，P是C上一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为 ．
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故周长为 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知 SKIPIF 1 < 0 ，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，动点M，N满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 的中点O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是3．
15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为1， SKIPIF 1 < 0 是双曲线右支上的一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 是双曲线右支上的一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
16．设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 .
【解析】如图，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，设 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线的定义知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线C的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 SKIPIF 1 < 0 时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .

18．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，无论直线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 怎样转动，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立？如果存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 ；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 知，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线的右支．
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， 轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由条件得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
设存在点 SKIPIF 1 < 0 满足条件，
由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， 因此存在定点 SKIPIF 1 < 0 满足条件．
若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 验证，结果也成立.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
19．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 ，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知C： SKIPIF 1 < 0 ，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C： SKIPIF 1 < 0 .
（2）设l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
与双曲线方程联立得： SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②
由①②得： SKIPIF 1 < 0 ，由已知 SKIPIF 1 < 0 ，故存在定直线l： SKIPIF 1 < 0 满足条件.
20．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为F．
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，求出点P的坐标及该定值．
【解析】（1）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知，直线l与 SKIPIF 1 < 0 垂直和直线l与 SKIPIF 1 < 0 垂直这两种情况下 SKIPIF 1 < 0 的面积是相等，
不妨设直线l与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点A在渐近线 SKIPIF 1 < 0 上，点B在渐近线 SKIPIF 1 < 0 上，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 轴时，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
综上可知，当点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为定值0．
21．点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
(1)求双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线分别与双曲线渐近线相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若过点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为非零常数）的直线 SKIPIF 1 < 0 与（2）中双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同于双曲线顶点的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为非零常数），问在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出所有这种定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此，该双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）假设在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，（*）
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入（*）可得 SKIPIF 1 < 0 ，（**）
将 SKIPIF 1 < 0 代入韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入（**）式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ．
22．已知 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上），点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 双曲线的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
直线 SKIPIF 1 < 0 斜率显然存在，可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .