新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题30 圆锥曲线中的定值问题（2份打包，原卷版+解析版）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则 SKIPIF 1 < 0 为常数．若C的离心率为2，则该常数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，A，B分别是椭圆C的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 ，直线m经过点B且垂直于x轴，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知F为抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（ ）
A．－2B．－2PC．－4D．－4P
4．过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P.已知 SKIPIF 1 < 0 是一个定值，则该定值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．5
6．双曲线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 上第一象限内不同于 SKIPIF 1 < 0 的点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四条直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为（ ）
A．1B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．不确定值
7．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．与 SKIPIF 1 < 0 位置有关
8．已知P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，点M，N分别在直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为定值，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．存在某条直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．若点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左右顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为零的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别表示直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0
11．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上位于第一象限的动点，记 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 B．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 D．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
12．点 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点且 SKIPIF 1 < 0 ．点P为椭圆上任意一点， SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值是1，点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点，则下列结论成立的是（ ）
A．椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的值与k相关
C． SKIPIF 1 < 0 的值为常数 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的值为常数-1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交该抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 ．
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，O为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于M，N两点，射线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于点P，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知点M、N分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两动点，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的乘积为 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上任一点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
16．已知A，B是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，动点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，则该定值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上；

(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的两条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（不与 SKIPIF 1 < 0 点重合），且两条直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求证： SKIPIF 1 < 0 的面积为定值.
18．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 实轴 SKIPIF 1 < 0 长为4（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左侧），双曲线 SKIPIF 1 < 0 上第一象限内的一点 SKIPIF 1 < 0 到两渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
① SKIPIF 1 < 0 为定值；
② SKIPIF 1 < 0 为定值；
③ SKIPIF 1 < 0 为定值
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同于顶点的任意一点，射线 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长为8.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 .求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
20．如图3所示，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点和右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）.

(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 并延长交抛物线的准线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
21．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若直线l与 SKIPIF 1 < 0 交于M，N两点，与 SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值．
22．设点F为抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点，过点F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与C交于A，B两点 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作两条斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知 SKIPIF 1 < 0 ，问：是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值?若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值，若不存在，请说明理由.