2025届高考数学一轮复习教师用书第十章第二节用样本估计总体讲义（Word附解析）

第二节　用样本估计总体【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.总体取值规律的估计(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.(2)作频率分布直方图的步骤①求极差;②决定组距与组数;③将数据分组;④列频率分布表;⑤画频率分布直方图.2.第p百分位数一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.【微点拨】第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.3.总体集中趋势的估计(1)平均数、中位数和众数的应用数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势多用平均数、中位数描述;分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势多用众数描述.(2)平均数、中位数、众数的求法4.总体离散程度的估计(1)方差、标准差的定义:假设一组数据为x1,x2,…,xn,其平均数为x,则方差:s2=或;标准差:s=s2.(2)总体(样本)方差①一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为Y,则总体方差S2=.②加权式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的为 (　　)A.对一组数据来说,平均数和中位数总是非常接近B.方差与标准差具有相同的单位C.如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变D.在频率分布直方图中,最高的小矩形底边中点的横坐标是众数【解析】选CD.因为一组数据如果出现极端值,其平均数与中位数不会接近,例如:1 000,0,0,0,0,所以选项A错误;因为标准差是方差的算术平方根,其单位不一样,所以选项B错误;因为一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,每个数与平均数的差值不变,所以方差不变,所以选项C正确;因为在频率分布直方图中,最高的小矩形底边中点的横坐标为众数,所以选项D正确.2.(必修第二册P215练习T2)若数据x1,x2,…,x9的方差为2,则数据2x1,2x2,…,2x9的方差为 (　　)A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选D.根据方差的性质可知,数据x1,x2,…,x9的方差s2=2,那么数据2x1,2x2,…,2x9的方差为22s2=8.3.(必修第二册P203例2)某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85,则这7次成绩的第80百分位数为 (　　)A.88.5 B.89 C.91 D.89.5【解析】选B.7次的训练成绩从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90,7×80%=5.6,所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据,即89.4.(统计图识别错误)某中学初中部共有120名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为__________. 【解析】因为初中部女教师占70%,高中部女教师占40%,所以该校女教师的人数为120×0.7+150×0.4=84+60=144.答案:144【核心考点·分类突破】考点一　统计图表的识别[例1](多选题)新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液,再根据消费者偏好,添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料.如图为我国2022年消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图.根据所给统计图,下列结论中正确的是 (　　)A.每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%B.每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%C.月均消费新式茶饮50~200元的消费者占比超过50%D.月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%【解析】选BC.每周都消费新式茶饮的消费者占比1-9.1%>90%,A错误;每天都消费新式茶饮的消费者占比5.4%+16.4%>20%,B正确;月均消费新式茶饮50~200元的消费者占比30.5%+25.6%>50%,C正确;月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比1-14.5%-30.5%x,发生改变.【加练备选】某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130,则这8名学生数学成绩的第75百分位数为 (　　)A.102 B.103 C.109.5 D.116【解析】选C.这组数据已经按照由小到大的顺序排列,8×75%=6,则这8名学生数学成绩的第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数,即为103+1162=109.5.考点三　频率分布直方图的数字特征[例3](多选题)在某次单元测试中,4 000名考生的考试成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表,则下列说法中正确的有 (　　)A.成绩在[70,80)分的考生人数最多B.考生考试成绩的第80百分位数为83.3C.考生考试成绩的平均分约为70.5分D.考生考试成绩的中位数为75分【解析】选ABC.根据题图得,成绩出现在[70,80)的频率最大,故A正确;考生考试成绩的第80百分位数为80+0.050.15×10≈83.3,故B正确;根据频率分布直方图估计考试的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85× 0.15+95×0.1=70.5,故C正确;0.1+0.15+0.2=0.450.5,所以考生考试成绩的中位数为70+0.5-0.450.3×10≈71.67,故D错误.【解题技法】频率分布直方图中的数字特征(1)众数:最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数:中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.(3)平均数:平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.(4)第p百分位数: ①确定第p百分位数所在的区间[a,b],②确定小于a和小于b的数据所占的百分比fa%,fb%,则第p百分位数为a+p%-fa%fb%-fa%×(b-a).【对点训练】治理沙漠化离不开优质的树苗,现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位:cm),得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值及众数、中位数;(2)若树苗高度在185 cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取20株树苗作进一步研究,不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株?【解析】(1)因为(0.001 5+0.011 0+0.022 5+0.030 0+a+0.008 0+0.002 0)×10=1,所以a=0.025 0,众数为185+1952=190,设中位数为x,因为(0.001 5+0.011 0+0.022 5)×10=0.350.5,则185