2025届高考数学一轮复习教师用书第九章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程讲义（Word附解析）

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.【微点拨】平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角.2.直线的斜率(1)定义:把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α(α≠90°). (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=y2-y1x2-x1.【微点拨】直线的斜率k与倾斜角α之间的关系:牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论.”3.直线的方向向量与法向量(1)方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量.(2)法向量: 如果表示非零向量v的有向线段所在的直线与直线l垂直, 则称向量v为直线l的一个法向量.【微点拨】直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).4.直线方程的5种形式【微点拨】1.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在两种情况讨论,否则会造成失误.2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.若直线斜率为33,则它的倾斜角为30°B.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°C.若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4) D.若直线的斜率为34,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点【解析】选ABC.对于A,设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),则由题意得tan α=33,所以α=30°,故A正确;对于B,因为A(1,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直,则其斜率不存在,故其倾斜角为90°,故B正确;对于C,因为直线过定点(1,2),且斜率为tan 45°=1,所以直线的方程为y-2=x-1,即y=x+1,易知4=3+1,故直线必过(3,4),故C正确;对于D,不妨取y=34x,满足直线的斜率为34,但显然该直线y=34x不过(1,1)与(5,4)两点,故D错误.2.(忽视截距为零的情形致误)过点P(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 (　　)A.4条　 B.2条　 C.3条　 D.1条【解析】选C.当截距为0时,设直线方程为y=kx,将P(1,2)代入y=kx,求得k=2,故方程为y=2x;当截距不为0时,①截距相等时,设方程为xa+ya=1,将P(1,2)代入,即1a+2a=1,解得a=3,故方程为x+y=3;②截距互为相反数时,设直线方程为xm-ym=1,将P(1,2)代入,即1m-2m=1,解得m=-1,故方程为x-y+1=0;所以符合条件的直线一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0),共3条.3.(选择性必修第一册P65例5变条件)已知直线l过点(2,-1),且在x轴上的截距为3,则直线l的方程为 (　　)A.x-y-3=0　 B.x-2y+6=0C.2x+y+3=0 　 D.2x+y-3=0【解析】选A.由题意,直线l过点(3,0)和点(2,-1),所以其斜率为k=-1-02-3=1,直线方程为y=x-3,即x-y-3=0.4.(不明确方向向量与斜率的关系致误)若直线l的倾斜角为2π3,方向向量为e=(-1,a),则实数a的值是 (　　)A.3　 B.-3　 C.33 　 D.-33【解析】选A.因为直线l的方向向量是e=(-1,a),所以直线l的斜率为k=a-1=-a,又直线的倾斜角α=2π3,所以斜率k=tan 2π3=-3=-a,解得a=3.【巧记结论·速算】1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示;2.识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴:y=0;(2)y轴:x=0;(3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0);(4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0);(5)过原点的直线:y=kx或x=0.【即时练】1.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为________. 【解析】经过两点A(2,5)和B(-3,6)的直线方程为y-65-6=x+32+3,即x+5y-27=0,令y=0,得x=27.答案:272.经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程为________. 【解析】因为过点(-5,2)且平行于y轴的直线不存在斜率,所以方程为x+5=0.答案:x+5=0【核心考点·分类突破】考点一　直线的倾斜角与斜率[例1](1)如图,在平面直角坐标系中有三条直线l1,l2,l3,其对应的斜率分别为k1,k2,k3,则下列选项正确的是 (　　)A.k3>k1>k2　 B.k1-k2>0C.k3>k2>k1　 D.k1·k2<0【解析】选C.由题图可知,k1<0,k2<0,k3>0,且k10,b>0),因为直线l经过点P(4,1),所以4a+1b=1.(1)因为4a+1b=1≥24a·1b=4ab,所以ab≥16,S△AOB=12ab≥8,当且仅当a=8,b=2时等号成立.所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x8+y2=1,即x+4y-8=0.【解析】(2)因为4a+1b=1,a>0,b>0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) (4a+1b)=5+ab+4ba≥9,当且仅当a=6,b=3时等号成立.所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x6+y3=1,即x+2y-6=0.角度2 由直线方程求参数的值或范围[例4]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;【解析】(1)若2-a=0,解得a=2,因此直线的方程为3x+y=0,此时l在两坐标轴上的截距同为0,符合题意.若a+1=0,解得a=-1,原方程化为y+3=0,舍去.若a≠-1,2,化为xa-2a+1+ya-2=1,令a-2a+1=a-2,化为a+1=1,解得a=0,可得直线l的方程为x+y+2=0,l在两坐标轴上的截距同为-2.综上所述,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.[例4]设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(2)若l经过第二象限,求实数a的取值范围.【解析】(2)当y=-(a+1)x+a-2不经过第二象限时,-(a+1)≥0,a-2≤0,解得a≤-1,所以l经过第二象限时,实数a的取值范围是(-1,+∞).【解题技法】直线综合问题的求解策略(1)求解含有参数的直线过定点问题的方法是分项整理,将含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求定点.(2)涉及直线在坐标轴上的截距问题(或与坐标轴的交点构成的图形面积、周长等问题),常用直线的截距式方程求解.【对点训练】1.定义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是f(x)图象上的任意一点,其中x=λa+(1-λ)b(λ∈R),向量ON=λOA+(1-λ)OB,其中O是坐标原点.若不等式|MN|≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若y=x+1x在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围是____________. 【分析】由题意求得点A,B的坐标,写出直线AB的方程,再求出M,N两点的坐标以及|MN|,利用基本不等式求得|MN|的最大值,从而求出k的取值范围.【解析】由题意知a=1,b=2,所以A(1,2),B(2,52),所以直线AB的方程为y=12x+32.因为xM=λ+2(1-λ)=2-λ,ON=λ(1,2)+(1-λ) (2,52)= (2-λ,52-λ2),所以M,N两点的横坐标相同,且点N在直线AB上,所以|MN|=|yM-yN|=|x+1x-12x-32|=|x2+1x-32|,x2+1x≥2x2·1x=2,当且仅当x=2时取等号.又因为2<32,所以|MN|=|x2+1x-32|≤32-2,要使|MN|≤k恒成立,k的取值范围是[32-2,+∞).答案: [32-2,+∞)2.(2024·温州模拟)已知直线l: kx-y+2-k=0(k∈R)交x轴正半轴于A,交y轴正半轴于B.(1)O为坐标原点,求△AOB的面积最小时直线l的方程;【解析】(1)作图可知k<0.因为直线l的方程为kx-y+2-k=0,令y=0,x=1-2k,所以A(1-2k,0),令x=0,y=2-k,所以B(0,2-k),所以|OA|=1-2k,|OB|=2-k,所以S△AOB=12|OA||OB|=12(1-2k)(2-k)=2-k2-2k.因为-k2>0,-2k>0,由基本不等式可得-k2-2k≥2(-k2)(-2k)=2,当且仅当k=-2时取等号,所以S△AOB=2-k2-2k≥2+2=4,当且仅当k=-2时取等号,所以△AOB面积最小时,直线l的方程为2x+y-4=0.2.(2024·温州模拟)已知直线l: kx-y+2-k=0(k∈R)交x轴正半轴于A,交y轴正半轴于B.(2)设点P是直线l经过的定点,求|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程.【解析】(2)因为直线l的方程可化为k(x-1)+(2-y)=0,所以直线l经过定点P(1,2),所以PA=(-2k,-2),PB=(-1,-k),所以PA·PB=(-2k,-2)·(-1,-k)=2k+2k=|PA|·|PB|cos π=-|PA|·|PB|,又-2k>0,-2k>0,所以|PA|·|PB|=-2k-2k≥2(-2k)(-2k)=4,当且仅当k=-1时等号成立,所以|PA|·|PB|的值最小时,直线l的方程为x+y-3=0.【课程标准】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程.2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式.【考情分析】考点考法:本节内容高考一般不单独命题,时常与圆的方程相结合,考查直线与圆的位置关系,多以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0名称方程适用条件点斜式y-y0=k(x-x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)截距式xa+yb=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)平面内所有直线类型辨析改编易错题号132,4