2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第四节指数与指数函数讲义（Word附解析）

第四节　指数与指数函数【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n=a(a使na有意义);②当n是奇数时,nan=a;当n是偶数时,nan=|a|=.(2)分数指数幂的意义①amn= (a>0,m,n∈N*,且n>1);②a-mn=1amn=(a>0,m,n∈N*,且n>1);③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.(3)有理数指数幂的运算性质:ar·as=ar+s,(ar)s=ars(其中a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r∈Q).【微点拨】化简nan时,一定要注意区分n是奇数还是偶数.2.指数函数的图象与性质【微点拨】(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a), (-1,1a).(2)讨论指数函数的性质时,要注意分底数a>1和0c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b【解析】选C.因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.3.(忽视函数的定义域)函数f(x)=21x-1的值域为________. 【解析】因为f(x)的定义域为{x|x≠1},所以1x-1≠0,故f(x)>0且f(x)≠1,即函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).答案:(0,1)∪(1,+∞)4.(忽视底数的取值)若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=________. 【解析】若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若0d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.【即时练】1.若a>0且a≠1,则函数f(x)=ax-4+3的图象恒过的定点的坐标为________. 【解析】令x-4=0,得x=4,所以f(4)=a0+3=4,所以函数f(x)=ax-4+3的图象恒过定点(4,4).答案:(4,4)2.已知y1=(13)x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象为 (　　)【解析】选A.y2=3x与y4=10x在R上单调递增;y1=(13)x与y3=10-x=(110)x在R上单调递减,在第一象限内作直线x=1(图略),由结论可得选项A正确.【核心考点·分类突破】考点一　指数幂的运算[例1](1)已知x0,化简:49x8y4= (　　)A.-3x2y B.3x2yC.-3x2y D.3x2y【解析】选B.由题意得49x8y4=914(x8)14(y4)14=3x2·|y|=3x2y.(2)计算:(-1.8)0+(32)-2·3(338) 2-10.01+93=__________. 【解析】(-1.8)0+(32)-2·3(338) 2-10.01+93=1+232·27823-10+932=1+(23)2·(32)2-10+33=1+1-10+27=19.答案:19(3)已知a2x=5,则a3x-a-3xax-a-x=__________. 【解析】a3x-a-3xax-a-x=(ax-a-x)(a2x+1+a-2x)ax-a-x=a2x+1+a-2x=5+1+15=315.答案:315【解题技法】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是字母,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来计算.【对点训练】1.已知3a+2b=1,则9a·3b3a=________. 【解析】因为3a+2b=1,所以32a+b=12,所以原式=(32)a·3b(3a)12=32a+b-12a=332a+b=312=3.答案:32.计算:(14) -12·(4ab-1)3(0.1)-1·(a3·b-3)12=________(a>0,b>0). 【解析】原式=2·432a32b-3210a32b-32=85.答案:853.若a,b,c为正实数,ax=by=cz,1x+1y+1z=0,则abc=________. 【解析】设ax=by=cz=k,则k>0,a=k1x,b=k1y,c=k1z,因此abc=k1xk1yk1z=k1x+1y+1z=k0=1.答案:1考点二　指数函数的图象及应用[例2](1)函数f(x)=(12)|x+1|的图象大致为 (　　)【解析】选B.作出函数y=(12)|x|的图象,如图所示,将y=(12)|x|的图象向左平移1个单位得到f(x)=(12)|x+1|的图象.(2)(多选题)(2023·福州调研)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成立的是 (　　)A.a=b=0 B.a