2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第七节第2课时函数模型及其应用讲义（Word附解析）

第2课时　函数模型及其应用【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.三种函数模型的性质2.常见的函数模型【微点拨】函数模型应用问题的步骤(四步八字方针):审题,建模,解模,还原.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法错误的是(　　)A.某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利B.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大C.不存在x0,使ax00)的增长速度【解析】选ABC.2.(必修第一册P152例6变条件)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　)A.y=ax+bB.y=a·14x+b(a>0)C.y=xa+b(a>0)D.y=ax+bx(a>0,b>0)【解析】选B.由题图可知,函数在(0,+∞)上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数y=a·14x+b的图象为一条曲线,且当a>0时,该函数单调递减,符合题意.3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)(　　)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【解析】选C.由题意知,lgV=4.9-5=-0.1,故V=10-0.1=11010≈0.8.4.(建错函数模型)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).1万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为(　　)A.36万件 B.18万件C.22万件 D.9万件【解析】选B.利润L(x)=20x-C(x)=-12(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.【核心考点·分类突破】考点一　用函数图象刻画变化过程[例1](多选题)该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是(　　)A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒【解析】选ABC.从题中图象可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.【解题技法】判断实际问题变化过程的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.【对点训练】如图,在正方形ABCD中,AB=2,点M从点A出发,沿A→B→C→D→A的方向,以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动;点N从点B出发,沿B→C→D→A→B的方向,以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发,运动时间为t(单位:秒),△AMN的面积为f(t),规定A,M,N三点共线时其面积为零,则点M第一次到达点A时,y=f(t)的图象为(　　)【解析】选A.根据题意,当0≤t≤1时,△AMN的面积为f(t)=12·2t·t=t2;当1