2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第二节第3课时函数性质的综合应用讲义（Word附解析）

第3课时　函数性质的综合应用【核心考点·分类突破】考点一　函数的奇偶性与单调性[例1](1)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为 (　　)A.a0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≥0,得1≤x≤3.故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].【解题技法】综合应用奇偶性与单调性解题的技巧(1)比较大小:先利用奇偶性,将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为同一单调区间上的自变量的函数值,然后利用单调性比较大小.(2)解不等式:先将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系,再利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.【对点训练】1.(2023·合肥质检)若f(x)是定义在R上的偶函数,对∀x1,x2∈(-∞,0],当x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则a=f(sin 3),b=f(ln 13),c=f(21.5)的大小关系是 (　　)A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】选A.因为∀x1,x2∈(-∞,0]且x1≠x2时,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增.由f(x)为偶函数,得函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,因为0a的解集为__________. 【解析】由f(-x)=-f(x),得a=0,即f(x)=-x|x|+1=-xx+1,x≥0,-x-x+1,x0可化为f(x2)>f(3-2x),得x20时,f(x)=3x+1,则f(-2)= (　　)A.1 B.3 C.-1 D.-3【解析】选C.因为将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=f(x)的图象且y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)成中心对称,所以y=f(x)的图象关于原点成中心对称,则y=f(x)在R上是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-32+1=-1.(2)(多选题)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),则下列结论一定正确的是 (　　)A.f(x+2)=f(x)B.函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称C.函数y=f(x+1)是偶函数D.f(2-x)=f(x-1)【解析】选BC.对于A选项,因为f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),则f(1-(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=-f(x),A错;对于B选项,因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因为f(-x)+f(x)=0,所以f(-(2+x))+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(-2-x)=-f(2-x),即f(2+x)+f(2-x)=0,故函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称,B对;对于C选项,因为f(1-x)=f(1+x),所以函数y=f(x+1)是偶函数,C对;对于D选项,因为f(1-x)=f(1+x),所以f(1-(x-1))=f(1+(x-1)),即f(2-x)=f(x)≠f(x-1),D错.【解题技法】由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期,常用于化简求值、比较大小等.【对点训练】已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)的图象关于点(1,0)对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2-2x,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)的值为 (　　)A.-2 B.-1 C.0 D.1【解析】选D.因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(-x)=-f(2+x),又f(x)为R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以f(x+2)=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0.又f(0)=1,f(2)=-f(0)=-1,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2 024)=506×(1+0-1+0)+f(0)=1.考点四　函数的周期性与对称性[例4](1)(2023·新乡模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x-12)为偶函数,当x∈-12,12时,f(x)=x3,则f(2 023)= (　　)A.0 B.18 C.-18 D.1【解析】选A.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x)的周期为4.又f(x-12)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=-12对称,则f(2 023)=f(-1)=f(0)=0.(2)(多选题)(2023·邯郸模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)-f(-x)=0,且满足f(x+1)为奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=-cos πx2,则下列结论正确的是 (　　)A.f(1)=0B.f(x)的周期为2C.f(x)的图象关于点(1,0)对称D.f(2 0232)=-22【解析】选ACD.因为f(x+1)为奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1),所以f(-0+1)=-f(0+1),所以f(1)=0,A正确;因为当x∈[0,1)时,f(x)=-cos πx2,所以f(0)=-cos 0=-1.因为f(-x+1)=-f(x+1),所以f(2)=-f(0)=1,故f(2)≠f(0),所以2不是f(x)的周期,故B错误;因为f(x+1)为奇函数,所以函数f(x+1)的图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,C正确;由f(-x+1)=-f(x+1),f(x)-f(-x)=0,可得f(x+2)=-f(-x-1+1)=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)为周期函数,周期为4,所以f(2 0232)=f(4×253-12)=f(-12)=f(12),又当x∈[0,1)时,f(x)=-cos πx2,所以f(2 0232)=-cos π4=-22,D正确.【解题技法】区别两个对应关系函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.【对点训练】1.(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数.则下列命题正确的是 (　　)A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于直线x=1对称C.f(x)在[1,2]上是增函数D.f(2)=f(0)【解析】选ABD.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,即f(x)是周期函数,故A正确;因为f(x+2)=-f(x),所以f(-x+2)=-f(-x).又因为f(x)为奇函数,所以f(2-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(x)在[-1,0]上为增函数,且f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数.因为f(x)关于直线x=1对称,所以f(x)在[1,2]上为减函数,故C错误;因为f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0),故D正确.2.(多选题)已知f(x)是定义域为R的函数,满足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),当0≤x≤2时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是 (　　)A.f(x)的周期为4B.f(x)的图象关于直线x=2对称C.当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为2D.当6≤x≤8时,函数f(x)的最小值为-12【解析】选ABC.对于A,因为f(x+1)=f(x-3),所以f(x+3+1)=f(x+3-3),则f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,故A正确;对于B,由f(1+x)=f(3-x)知,f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确;对于C,当0≤x≤2时,f(x)=x2-x在(0,12)上单调递减,在(12,2)上单调递增,根据对称性可知,函数f(x)在(0,12), (2,72)上单调递减,在(12,2),(72,4)上单调递增,则函数f(x)在[0,4]上的最大值为f(2)=4-2=2,故C正确;对于D,根据周期性以及单调性可知,函数f(x)在(6,152)上单调递减,在(152,8)上单调递增,则函数f(x)在[6,8]上的最小值为f(152)=f(4+72)=f(72)=f(12)=14-12=-14,故D错误.