2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第二节第2课时函数的奇偶性与周期性讲义（Word附解析）

第2课时　函数的奇偶性与周期性【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的奇偶性【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2.函数的周期性(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般就是指最小正周期).【微点拨】存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 (　　)A.函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数B.若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0C.若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期D若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(a+b2,0)对称【解析】选AB.2.(2023·上海高考)下列函数是偶函数的是 (　　)A.y=sin x B.y=cos xC.y=x3 D.y=2x【解析】选B.对于A,由正弦函数的性质可知,y=sin x为奇函数;对于B,由余弦函数的性质可知,y=cos x为偶函数;对于C,由幂函数的性质可知,y=x3为奇函数;对于D,由指数函数的性质可知,y=2x为非奇非偶函数.3.(忽略奇偶函数定义域关于原点对称)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 (　　)A.-13 B.13 C.12 D.-12【解析】选B.因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=13.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=13.4.(必修第一册P86习题T11·变设问)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=__________. 【解析】f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.答案:-2【巧记结论·速算】函数奇偶性的常用结论1.如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;2.如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|);3.如果函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.【即时练】　　　　　 　　　　　　　　　　1.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}= (　　)A.{x|x4}B.{x|x4}C.{x|x6}D.{x|x2}【解析】选B.由f(x)=x3-8,知f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.由已知条件可知f(x-2)>0⇒f(|x-2|)>f(2),所以|x-2|>2,解得x4.2.已知函数f(x)=a-2ex+1(a∈R)是奇函数,则a=________. 【解析】函数f(x)的定义域为R,且函数f(x)是奇函数,f(0)=a-1=0,即a=1,经验证a=1满足条件.答案:13.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=__________. 【解析】函数f(x)的定义域为R,f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以,g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案:2【核心考点·分类突破】考点一　函数奇偶性的判断[例1]判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3-1x;(2)f(x)=x2-1+1-x2;(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];(4)f(x)=-x2+2x+1,x>0,x2+2x-1,x0时,f(x)=-x2+2x+1,-x0,因为x在分母位置,所以x≠0.当x2.综上,不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)